Lyc´ee Benjamin Franklin PT − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚1
L’exercice 1 est `a r´ealiser au tableau, l’exercice 2 avec l’aide de Maple
Exercice 1 (Endomorphisme sym´etrique d’un espace euclidien)
Soit n un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Soit (E, <·,·>) un espace euclidien de dimen- sion n, soit a un vecteur unitaire deE et soit k un nombre r´eel diff´erent de −1.
1. Montrer que :
f : E → E
x 7→ x+k < x, a > a
d´efinit un endomorphisme sym´etrique de E. 2. Montrer que f est un automorphisme de E.
3. Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres de´ f.
Exercice 2 (EDLCC2)
On note (E) l’´equation diff´erentielle :
y′′−y= exp(−|t|) d’inconnue une fonction y:R→R deux fois d´erivable sur R.
1. R´esoudre (E).
2. Tracer seize courbes int´egrales de (E).
3. D´eterminer (y0, y1)∈R2 pour que la solution du probl`eme de Cauchy :
y′′−y = exp(−|t|) y(0) =y0
y′(0) =y1
d’inconnue une fonction y: R→R deux fois d´erivable sur R soit born´ee.
