Variantes de condorcication pour l'uninominal

Tout d'abord, précisons comment nous généralisons l'uninominal, U2TI et VTI si les électeurs peuvent avoir des ordres stricts faibles de préférence. Nous allons considérer les deux règles que nous avons présentées dans la section1.6.2: si un électeur a plusieurs candidats préférés à égalité (parmi les candidats non éliminés),

on peut décider que sa voix est divisée également entre eux, ou n'est pas comptée du tout. Nos résultats seront valables dans les deux cas.

Proposition 2.11

Le SVBE f considéré est l'uninominal. 1. On a : MCfrel ⊆MCf∗.

2. Il existe (V, C) t.q. l'inclusion précédente est stricte.

3. Il existe (V, C) t.q. pour tout système g choisi parmi les variantes f!faible_, ffaible, f!adm _{ou f}adm_{, on n'a pas MC}

g⊆MCf.

An de démontrer le point 1, nous allons d'abord prouver le lemme suivant, que nous appliquerons ensuite à h = f∗_.

Lemme 2.12

Soit h un SVBE. On suppose que, pour toute conguration ω et tout candidat d 6= h(ω), si h(ω) a une défaite relative contre d, alors h est manipulable en ω.

Alors MChrel ⊆MCh.

Démonstration. Supposons qu'il existe une conguration ω où h n'est pas mani- pulable mais où hrel _{est manipulable vers une certaine conguration ψ.}

Notons c = h(ω). Comme h n'est pas manipulable en ω, l'hypothèse du lemme implique que c n'a pas de défaite relative, donc aucun autre candidat ne peut être vainqueur de Condorcet relatif. Par conséquent, hrel_{(ω) = c.}

Notons d = hrel_{(ψ). Comme le résultat relatif du duel de d contre c ne peut} pas avoir été amélioré par la manipulation (lemmes2.4et2.6), d n'a toujours pas de victoire relative contre c, donc il n'est pas vainqueur de Condorcet relatif. Par dénition de hrel_{, on en déduit que h(ψ) = d.}

Ainsi, h(ω) = hrel_{(ω) = cet h(ψ) = h}rel_{(ψ) = ddonc h est manipulable en ω} vers ψ : c'est absurde !

Nous pouvons maintenant prouver la proposition 2.11.

Démonstration. 1. On envisage d'appliquer le lemme à h = f∗ _{et h}rel_{= (f}∗₎rel₌ frel. Il sut de montrer que h = f∗vérie l'hypothèse du lemme pour en conclure que MCfrel⊆MCf∗.

Soit ω une conguration, c = f∗_{(ω)et d un autre candidat. Supposons que c} a une défaite relative contre d et montrons que f∗ _{est manipulable. Comme c a} une défaite relative, il n'est pas vainqueur de Condorcet absolu. Et puisqu'il est vainqueur par f∗_{, aucun autre candidat non plus n'est vainqueur de Condorcet} absolu dans ω.

Dénissons ψ ainsi : tous les électeurs qui préféraient d à c arment maintenant préférer d à tous les autres candidats, sans modier leurs autres préférences.

Alors, à présent, d est vainqueur en uninominal. En eet, on peut raisonner en excluant les électeurs qui placent c et d en tête à égalité : selon la généralisation d'uninominal choisie, ils répartissent leurs voix également entre c et d ou ne leur en donnent aucune. À ces électeurs près, on a score(d) = |d Pv c| > |cPv d| ≥ score(c). Or le score de c n'a pas diminué par rapport au vote sincère, donc f (ω) = d.

De plus, les seuls duels dont le résultat s'est amélioré sont ceux de d, donc aucun autre candidat ne peut être vainqueur de Condorcet absolu. Donc f∗_{(ψ) =} d. Par conséquent, f∗ est manipulable en ω vers ψ en faveur de d.

2.5 Variantes de condorcication

2. Nous allons exhiber une conguration où frel _{n'est pas manipulable mais} où f∗_{l'est. Considérons la conguration ω suivante.}

24 19 19 19 19

a d1 d2 d3 d4

c c c a, c a, c

Autres Autres Autres Autres Autres

En uninominal, on a f(ω) = a. Par ailleurs, c a une victoire relative contre a (38 voix contre 24) et une victoire absolue contre chaque di (81 voix contre 19), donc il est vainqueur de Condorcet relatif mais pas absolu. Par conséquent, f∗(ω) = aet frel(ω) = c.

Montrons que frel _{n'est pas manipulable en ω. Il est impossible que le nouveau} vainqueur soit vainqueur de Condorcet relatif (car il ne peut améliorer son duel contre c), donc il faut qu'il soit vainqueur en uninominal et qu'il n'y ait plus de vainqueur de Condorcet relatif. Seul a peut devenir (en fait, rester) vainqueur en uninominal. Mais, en cas de manipulation pour a, on ne peut éviter que c reste vainqueur de Condorcet relatif, donc la manipulation échoue.

Reste à montrer que f∗ _{est manipulable en ω. Considérons la conguration} suivante ψ, qui est une tentative de manipulation en faveur de c.

24 19 19 19 19

a c c d3 d4

c a, c a, c

Autres Autres Autres Autres Autres

En uninominal, on a f(ω) = c. Par ailleurs, c est toujours vainqueur de Condorcet relatif, donc aucun autre candidat n'est vainqueur de Condorcet absolu et on a f∗(ω) = c. Ainsi, f∗ est manipulable en ω vers ψ en faveur de c.

3. Montrons, tout d'abord, que pour g = f!adm _{ou g = f}adm_{, on peut exhiber} une conguration où g est manipulable, mais où f ne l'est pas. Considérons la conguration ω suivante. 4 3 2 a b d d a, c c c d a, b b D(ω) a b c d a  4 4 7 b 3  3 3 c 2 6  3 d 2 6 6 

En uninominal, le candidat a est élu et il est facile de voir que ce n'est pas manipulable. Par ailleurs, comme a est vainqueur de Condorcet relatif, il reste élu quelle que soit la variante g utilisée.

Considérons maintenant la situation ψ suivante, où les 2 derniers électeurs ont changé leur bulletin dans le but de faire gagner c.

4 3 2 a b c d a, c d c d b b a D(ω) a b c d a  4 4 7 b 5  3 3 c 2 6  5 d 2 6 4 

À présent, c est le seul candidat Condorcet-admissible (chaque autre candidat a une défaite absolue dans sa colonne), donc a g(ψ) = c, aussi bien pour g = f!adm que pour g = fadm_.

Par conséquent, fadm _{et f}!adm _{sont manipulables en ω vers ψ en faveur de c,} alors que f n'est pas manipulable en ω.

An de montrer le résultat pour f!_{faible et ffaible, comme nous allons utiliser} des égalités, nous devons préciser la règle de départage7_{. On peut décider, par} exemple, qu'en cas d'égalité dans f, les candidats sont départagés par ordre al- phabétique ; ou par l'ordre donné par le bulletin d'un électeur choisi à l'avance, quitte à utiliser une règle complémentaire si son bulletin est un ordre faible.

Redénissons les congurations ω et ψ précédentes avec 3 électeurs dans chaque groupe. Si on a choisi de départager par un électeur privilégié, on consi- dère le cas où il fait partie du premier groupe, c'est-à-dire les partisans de a. Si on a choisi de départager les candidats par ordre alphabétique, aucune précaution n'est nécessaire, puisque a est favorisé de toute façon. Par le même raisonnement que précédemment, on a f(ω) = a et ce n'est pas manipulable. Mais g(ω) = a et g(ψ) = c (car c est le seul vainqueur de Condorcet faible dans ψ) donc g est manipulable en ω.

Pour l'uninominal, nous avons donc vu qu'on ne peut pas généraliser le théo- rème faible de condorcication 2.9 aux vainqueurs de Condorcet faibles ou aux candidats Condorcet-admissible. En revanche, cela fonctionne pour le vainqueur de Condorcet relatif, et la condorcication relative est même moins manipulable que la condorcication absolue.