Borne supérieure de manipulabilité pour les systèmes Condorcet

Puisque tout SVBE Condorcet est non-manipulable dans les congurations résistantes, ceci nous fournit une borne supérieure de manipulabilité. Plus pré- cisément, notons τπ

CR la probabilité qu'une conguration soit résistante dans la culture π. Alors, pour tout SVBE f vériant le critère de Condorcet, on a :

τ_MCπ (f ) ≤ 1 − τ_CRπ .

On peut donc se demander si cette borne supérieure est ajustée, c'est-à-dire s'il existe un système de vote Condorcet qui est manipulable dans toutes les congu- rations non résistantes. Nous allons voir que, dans une importante classe d'espaces électoraux, un tel système existe.

Considérons l'espace électoral des ordres stricts totaux pour C ≥ 6 et V quel- conque. Le système de vote f est déni de la façon suivante. Au préalable, on choisit une bijection arbitraire entre les permutations de C − 3 éléments et les entiers de l'intervalleJ1, (C − 3)!K. Puis les électeurs fournissent leurs bulletin et on calcule le résultat de la façon suivante.

 Sinon, pour chaque électeur v, on note xv l'entier associé à son ordre de préférence sur les C − 3 derniers candidats de son bulletin. On déclare vainqueur le candidat P xv, en comptant modulo C pour le ramener dans l'intervalleJ1, C K.

Considérons une conguration non résistante ω et montrons qu'elle est mani- pulable. Soit w = f(ω) le vainqueur sincère.

Cas 1 Si w est vainqueur de Condorcet mais pas vainqueur de Condorcet résis- tant, alors il existe deux candidats distincts d et e tels que les électeurs préférant simultanément w à d et e ne forment pas une majorité stricte (en eet, w ne peut pas violer la dénition de vainqueur de Condorcet résistant pour d = e, sinon il ne serait pas vainqueur de Condorcet). Quitte à échanger les rôles de d et e, on peut supposer que d a une victoire contre e. Nous allons construire une manipulation en faveur de d.

Tous les manipulateurs (les électeurs préférant d à c) mettent d en tête de bulletin, puis e, puis c. Ceci assure qu'aucun candidat n'est vainqueur de Condor- cet (comme dans le cas 2 de la preuve du théorème 2.17, on utilise le fait que e n'a pas de victoire contre d). Tous les manipulateurs, sauf un, mettent les autres candidats en bas de leur bulletin dans un ordre arbitraire. Pour le dernier manipu- lateur v, en choisissant de façon adéquate l'ordre de ses trois derniers candidats, il peut rendre sa valeur xv égale à n'importe quel entier de l'intervalleJ1, (C − 3)!K et puisque (C −3)! ≥ C, il peut choisir n'importe quel vainqueur, en particulier d. Cas 2 Si w est Condorcet-admissible mais pas vainqueur de Condorcet, le pro- cessus est similaire. Il existe un candidat c tel que |c Pv w| = V₂. On construit une manipulation en faveur de c. Les manipulateurs placent c en tête, ce qui as- sure qu'aucun autre candidat n'est vainqueur de Condorcet (et c lui-même non plus puisqu'il n'a toujours pas de victoire contre w). Puis tous les manipulateurs choisissent de façon arbitraire l'ordre dans lequel ils placent les autres candidats, sauf le dernier manipulateur v dont le choix de xv permet de choisir n'importe quel vainqueur, en particulier c.

Cas 3 Enn, si w n'est pas Condorcet-admissible, alors on sait que ω est mani- pulable (lemme2.7).

Par conséquent, le système de vote f est aussi manipulable que possible pour un système de Condorcet : en eet, il est non-manipulable seulement dans les congurations résistantes ! Ainsi, dans toute culture π, il atteint la borne supé- rieure de manipulabilité que nous avons donnée : τπ

MC(f ) = 1 − τCR.

Nous verrons cependant qu'exhiber un système de vote Condorcet qui est manipulable dans toutes les congurations non-résistantes n'est pas possible pour toutes les valeurs de (V, C) : dans l'espace électoral des ordres stricts totaux avec V = 3électeurs et C = 3 candidats, la section 10.2.1révèlera qu'un tel système n'existe pas.

2.9 Condorcication et systèmes optimaux

Jusqu'à présent, nous considérions généralement un système de vote f donné et nous comparions l'ensemble des congurations manipulables pour f et pour sa condorcication f∗_{. Nous avons montré que, sous certaines hypothèses, f}∗ était au plus aussi manipulable que f (théorème faible de condorcication 2.9), voire strictement moins manipulable (théorème fort de condorcication2.20). Ces

2.9 Condorcication et systèmes optimaux

résultats pourraient suggérer d'utiliser des systèmes comme la condorcication de l'uninominal, de VTI, etc.

Si on ne se concentre pas sur un système de vote particulier, les théorèmes de condorcication ont également des conséquences profondes qui concernent tout planicateur social qui souhaiterait trouver un système de vote acceptable dont la manipulabilité soit minimale.

Corollaire 2.22 Considérons la fonction : MC :      CMInf → P(Ω) f → MCf,

qui renvoie, pour chaque SVBE f vériant CMInf, l'ensemble de ses congura- tions manipulables.

Soit A ∈ P(Ω) une valeur minimale de MC (s'il en existe), c'est-à-dire un sous-ensemble de Ω tel qu'au moins un système f ∈ CMInf vérie MCf = A, mais aucun système f ∈ CMInf ne vérie MCf $ A. Alors :

 Tout système f ∈ CMInf vériant MCf = Avérie rCond ;  Il existe f ∈ Cond t.q. MCf = A.

Pour bien comprendre la portée de ce corollaire, il faut remarquer que la fonc- tion MC peut avoir plusieurs minima qui sont non comparables, puisque la relation d'inclusion sur P(Ω) n'est pas un ordre total. Il peut ainsi exister deux systèmes f et g tels qu'aucun système n'est moins manipulable que f ou g, mais dont les ensembles de congurations manipulables sont non inclus l'un dans l'autre.

Le corollaire 2.22 peut être résumé de la façon suivante : si on cherche un système de vote vériant CMInf et dont la manipulabilité est minimale (au sens ensembliste), alors l'étude doit être restreinte à rCond et peut être restreinte à Cond.

De même, les théorèmes de condorcication entraînent le corollaire suivant. Corollaire 2.23

Pour une culture donnée π, considérons la fonction : τ_MCπ :      CMInf → [0, 1] f → τ_MCπ (f ).

Soit τ0la borne inférieure de τ_MCπ . Si elle est atteinte, alors il existe f ∈ Cond t.q. τπ

MC(f ) = τ0.

Contrairement à ce qui se passe dans le corollaire 2.22, il n'est a priori pas nécessaire qu'un système de manipulabilité minimale (au sens probabiliste) vérie rCond: en eet, si certaines congurations résistantes sont de mesure nulle, alors elles peuvent être manipulables sans altérer le taux de manipulabilité. Cependant, pour tout système de taux de manipulabilité minimal (au sein de CMInf), on peut le condorcier pour obtenir un optimum qui vérie Cond et a fortiori rCond.

Le corollaire 2.23 peut être résumé de la façon suivante : si on cherche un système de vote vériant CMInf et dont le taux de manipulabilité soit minimal, alors l'étude peut être restreinte à Cond.

Dans les deux corollaires2.22et2.23, on peut se demander si un optimum tel que celui mentionné existe. Si on considère un espace électoral ni (en particulier un espace électoral ordinal, comme celui des ordres stricts totaux ou celui des

ordres stricts faibles), alors il existe un nombre ni de SVBE possibles, a fortiori si on exige qu'ils vérient CMInf, donc il existe un optimum.

À l'inverse, si on considère un espace électoral inni (donc nécessairement non limité à l'aspect ordinal, comme l'espace électoral de référence), alors l'existence d'un optimum n'est pas garantie a priori. Dans le chapitre 5 consacré à l'étude des systèmes non ordinaux, nous nous intéresserons à cette question pour le taux de manipulabilité : nous donnerons une condition susante pour qu'il existe un SVBE qui (au sein de la classe CMInf) minimise le taux de manipulabilité dans une culture donnée.

Chapitre 3

Critères majoritaires

Dans les chapitres précédents, nous avons rappelé le critère de Condorcet (Cond) puis nous avons introduit le critère de la coalition majoritaire informée (CMInf) et le critère de Condorcet-résistant (rCond). Nous allons maintenant voir comment ces propriétés s'inscrivent dans une famille plus large de critères majoritaires et développer des liens avec des concepts de théorie des jeux comme l'ensemble des équilibres de Nash forts (ENF) et la capacité à les atteindre.

Dans la section3.1, nous dénissons d'autres critères liés à la notion de majo- rité. En théorie du vote, il est classique de considérer le critère majoritaire, dont nous rappelons la dénition et que nous appelons critère du favori majoritaire (FavMaj) an de le distinguer des autres critères majoritaires. Nous introdui- sons également le critère de la coalition majoritaire ignorante et le critère du bulletin majoritaire. La motivation initiale de ces dénitions est simplement pra- tique : il s'agit de se doter de critères faciles à tester qui permettent de prouver qu'un système de vote vérie CMInf.

En eet, nous montrons dans la section3.2que tous les autres critères évoqués impliquent CMInf. Nous montrons, en outre, qu'ils forment une chaîne d'impli- cations1_{, du critère le plus fort (Cond) au critère le plus faible (CMInf).}

En introduction, nous avons déjà évoqué les équilibres de Nash forts (ENF) et discuté l'intérêt d'une telle notion2_{. En particulier, la non-manipulabilité d'une} conguration signie exactement que le vote sincère est un ENF pour les préfé- rences correspondantes.Brill et Conitzer(2015) ont montré que, pour un système de vote vériant CMInf, s'il existe un vainqueur de Condorcet pour les préfé- rences sincères des électeurs, alors il est le seul à pouvoir être vainqueur d'un équilibre de Nash fort. Ce lien déjà connu entre un critère majoritaire et une no- tion d'équilibre nous amène en section 3.3 à nous intéresser à plusieurs critères d'équilibre pour un système de vote : le fait que l'existence d'un ENF soit garanti par l'existence d'un vainqueur de Condorcet (XENFC) ou par celle d'un candi- dat Condorcet-admissible (XENFA) et la restriction des ENF aux vainqueurs de Condorcet (RENFC) ou aux candidats Condorcet-admissible (RENFA). Si les premiers sont des critères d'existence, les seconds peuvent être vus comme une version faible de critères d'unicité. Nous révélons les relations d'implication entre ces critères d'équilibre et les critères majoritaires. En particulier, non seulement

1. Pour être tout à fait rigoureux, nous verrons que la chaîne d'implications est complète si l'espace électoral autorise tout candidat comme préféré, ce qui est une hypothèse courante (cf. dénition1.10).

2. À propos des ENF et de diverses variantes de ce concept, on pourra consulterBernheim et al.(1987).

Systèmes de vote : KR, Veto. . . CMInf = RENFA: Bor. . . CMIgn : Jeu de la trahison. . .

XENFC : Jeu de coordination étrange. . . BulMaj: Coo., JM, VA, VN. . .

FavMaj: BI, Buck., Uni., U2TI, VTI, VTIM. . . rCond : RDoy. . .

Cond : Bald., CBor., CDict., CDoy., CSD, Dodg., Kem., Max., Nan., PO, Sch., VTID. . .

Figure 3.1  Diagramme d'inclusion des critères majoritaires. On suppose que les préférences sont antisymétriques et que l'espace électoral autorise tout candidat comme préféré.

la simple formulation des critères permet de généraliser le résultat de Brill et Co- nitzer en montrant que CMInf implique RENFA mais nous montrons que ces deux critères sont en fait équivalents.

Dans la proposition 2.3, nous avions énoncé sans démonstration que presque tous les systèmes classiques vérient CMInf. Dans la section3.4, nous prouvons et précisons ce résultat en étudiant quels critères sont vériés par les modes de scrutin classiques et nous détaillons cette étude en fonction du nombre de candidats C. Ceci nous permettra d'établir progressivement le diagramme d'inclusion de la gure 3.1, qui présente l'inconvénient d'interrompre un suspense haletant mais l'avantage de fournir une carte d'orientation au lecteur pendant la lecture de ce chapitre. Ce diagramme se lit de la façon suivante. Par exemple, l'ensemble des systèmes de vote qui vérient FavMaj est inclus (en général, strictement) dans l'ensemble de ceux qui vérient BulMaj ; la méthode de Coombs appartient au second, mais généralement pas au premier (sauf dans des espaces électoraux particuliers, par exemple un espace des ordres stricts totaux avec 2 candidats).

Cette section 3.4consacrée aux critères vériés par diérents systèmes opère la synthèse de résultats classiques et de contributions originales. À notre connais- sance, les résultats sur CMInf, CMIgn, BulMaj et rCond sont tous originaux puisque nous avons introduit ces critères ; ceci dit, les résultats sur CMIgn et BulMajdécoulent essentiellement de la dénition, puisque ces critères sont jus- tement conçus pour être faciles à tester. Les résultats sur CMInf et rCond demandent en général plus d'eort. Les résultats sur FavMaj et Cond sont des résultats classiques, avec les nuances suivantes. Premièrement, nous n'avons pas trouvé d'étude exhaustive de FavMaj pour les RPSI-EM dans la littérature ; ceci dit, il serait surprenant que les résultats que nous présentons n'aient pas été énoncés, puisqu'il s'agit d'un critère et de modes de scrutin très classiques. Deuxièmement, les résultats sur la méthode Bucklin itérée sont tous originaux, puisque ce système de vote est une contribution de ce mémoire.

3.1 Dénition des critères majoritaires

Enn, dans la section3.5, nous proposons une réexion sur les critères étudiés en terme de quantité d'information nécessaire pour coordonner des stratégies de manipulation et pour obtenir des ENF. Ceci permet de discuter en quoi ces dif- férents critères peuvent être considérés comme souhaitables pour un système de vote.

3.1 Dénition des critères majoritaires

Dans les chapitres précédents, nous avons déjà rappelé le critère de Condorcet (dénition1.32) et introduit le critère de la coalition majoritaire informée (dé- nition2.1) et le critère de Condorcet-résistant (dénition2.18). Nous dénissons, à présent, trois autres critères, dont on verra par la suite qu'ils sont des outils commodes pour prouver qu'un système de vote donné vérie CMInf (et qu'il est, par conséquent, concerné par le théorème faible de condorcication2.9).

Avant de passer aux critères proprement dits, dénissons la notion de favori majoritaire.

Dénition 3.1 (favori majoritaire)

Pour une conguration ω ∈ Ω et un candidat c ∈ C, on dit que c est un favori majoritaire dans ω ssi une majorité stricte d'électeurs préfère strictement c à tout autre candidat : |∀d ∈ C \ {c}, c PPv d| > V₂. Quand les préférences sont des ordres stricts (faibles ou totaux), cela signie, simplement, que plus de la moitié des électeurs placent c en première position dans leur ordre de préférence, sans égalité avec d'autres candidats.

Si c est favori majoritaire, alors il est immédiat que c est un vainqueur de Condorcet résistant.

Dénition 3.2 (critères majoritaires)

On dit que f vérie le critère du favori majoritaire (FavMaj) ssi, pour toute conguration ω ∈ Ω et pour tout candidat c ∈ C, si c est favori majoritaire dans ω, alors f(ω) = c.

On dit que f vérie le critère du bulletin majoritaire (BulMaj) ssi, pour tout candidat c, il existe une assignation de bulletins aux électeurs vériant la propriété suivante : si elle est respectée par une majorité stricte d'électeurs, alors c est élu. Formellement, cette condition s'écrit : ∀c ∈ C, ∃ψc _{∈ Ω t.q. ∀ω ∈} Ω,|ωv= ψcv| >

V

2 ⇒ f (ω) = c 

.

On dit que f vérie le critère de la coalition majoritaire ignorante (CMIgn) ssi toute coalition majoritaire peut décider du résultat, quoi que fassent les autres électeurs. Formellement, ∀M ∈ P(V), si card(M) > V

2 alors : ∀c ∈ C, ∃ωM ∈ ΩM t.q. ∀ωV\M ∈ ΩV\M, f (ωM, ωV\M) = c.

Comme pour CMInf, Cond ou rCond, chaque notation FavMaj, BulMaj ou CMIgn désigne indiéremment le critère lui-même ou l'ensemble des SVBE (sur Ω) qui le vérient.

Il est assez facile d'étendre les critères majoritaires aux systèmes de vote gé- néraux dénis en section 1.4. Dans ce cas, il apparaît que CMInf, CMIgn et BulMaj sont des propriétés du mode de scrutin : ces critères décrivent le pou- voir que la règle de dépouillement alloue à une majorité stricte d'électeurs. En revanche, FavMaj, rCond et Cond sont des propriétés du système de vote : elles relient les préférences des électeurs et le résultat sincère du vote. Pour ces der- niers critères, il est donc nécessaire d'expliciter l'espace électoral et les fonctions de sincérité.

Dans un espace électoral anonyme (section1.2.2), on peut également dénir le critère du bulletin majoritaire unisson (BulMajUni) par la propriété suivante : pour tout candidat c, il existe un bulletin ψc

0 (appartenant à un Ωv quelconque, puisqu'ils sont tous identiques) tel que, s'il est utilisé par une majorité stricte d'électeurs, c est élu. Nous avons choisi de ne pas inclure cette notion dans le diagramme d'inclusion de la gure 3.1 car elle n'est pas dénie dans tous les espaces électoraux.

La dénition plus générale de BulMaj évite d'avoir besoin de supposer que l'espace électoral est anonyme. Cette formulation permet aussi d'appliquer ce critère à des modes de scrutin non anonymes (même si l'espace électoral l'est) : on peut, en eet, donner une consigne diérente à chaque électeur ; tout ce que le critère exige, c'est qu'en cas de respect de la consigne par une majorité stricte d'électeurs, le candidat c désiré soit élu. Dans le cas d'un système de vote général (section1.4), cette formulation présente, en outre, l'avantage qu'elle est stable par isomorphisme de mode de scrutin, au sens suivant : si on change les étiquettes des bulletins en adaptant la règle de dépouillement en conséquence, cela n'a pas d'impact sur le fait que ce critère soit vérié ou non.

Le critère CMIgn est très semblable à CMInf (dénition2.1) : la seule dif- férence réside dans l'échange des quanticateurs  ∃ωM ∈ ΩM et  ∀ωV\M ∈ ΩV\M. En pratique, si les quanticateurs sont dans cet ordre, qui est celui de CMIgn, la manipulation est plus dicile car les manipulateurs votent d'abord et les autres électeurs peuvent riposter ; dans l'ordre inverse qui est celui de CMInf, les bulletins des électeurs sincères sont connus d'abord et les manipula- teurs peuvent choisir leur vote en fonction de ceux-ci. Le critère CMIgn est donc plus exigeant que CMInf.

3.2 Implications entre les critères majoritaires