Théorème de condorcication maximale

À présent, on cherche à savoir s'il existe une  meilleure  famille pour appli- quer la condorcication, c'est-à-dire pour diminuer la manipulabilité en utilisant le théorème de condorcication généralisée4.18. L'idée naturelle est d'utiliser la famille qui, pour tout candidat c, considère les coalitions qui ont le pouvoir de faire gagner c quand elles sont informées du bulletin des autres électeurs : c'est ce

4.5 Théorème de condorcication maximale

que nous appellerons la famille maximale d'un système de vote. Dans cette sec- tion, nous examinons sous quelles conditions cette famille permet d'obtenir une condorcication généralisée qui, en un certain sens, est optimale.

Dénition 4.22 (famille maximale de coalitions informées gagnantes) On appelle famille maximale de coalitions informées gagnantes de f, ou famille maximale de f, la famille la plus grande M0 _{(au sens de l'inclusion) telle que f} vérie M0_{-CInf, c'est-à-dire telle que ∀c ∈ C, ∀M ∈ P(V) :}

M ∈ M0_c⇔∀ωV\M ∈ ΩV\M, ∃ωM ∈ ΩM t.q. f(ωM, ωV\M) = c . Avec cette notation, le système de vote fM0

est appelé la condorcication maximale de f.

Par dénition, la famille maximale est la plus grande famille avec laquelle on puisse envisager d'appliquer le théorème de condorcication généralisée4.18. On peut donc se demander si c'est également celle qui permet de diminuer le plus la manipulabilité par condorcication généralisée.

Une autre convention possible serait d'appeler famille maximale la plus grande famille M0 _{telle que f vérie M}0_{CInfA, qui est, par dénition, incluse dans} la famille maximale au sens ci-dessus. Comme nous le verrons, le théorème de condorcication maximale4.25portera sur les modes de scrutin raisonnables, où les deux notions sont confondues. Or, il nous semble qu'en pratique, il est plus facile d'identier la famille maximale M0 _{(au sens ci-dessus) puis de vérier que} f vérie aussi M0CInfA, plutôt que d'identier la plus grande famille telle que f vérie M0CIgnA puis de vérier qu'elle est aussi maximale pour la notion M0_CInf.

La proposition suivante découle de la dénition : en eet, si une coalition informée est toujours capable de faire gagner c, alors toute coalition informée plus grande (au sens de l'inclusion) est également capable de faire gagner c. Proposition 4.23

La famille maximale de f est monotone.

Par conséquent, on peut appliquer le théorème de condorcication générali- sée4.18à la famille maximale M0_{, ce qui prouve que f}M0

est moins manipulable que f. Nous allons montrer que, sous certaines hypothèses, la condorcication maximale fM0

est la moins manipulable des fM_{, où M est une famille telle que} f vérie MCInf.

Par la proposition 4.23, on sait donc que la famille maximale est monotone. Mais elle n'est pas forcément exclusive. En eet, pour le vote de parité (avec V ≥ 2), il est facile de montrer que la famille maximale est celle qui comprend toutes les coalitions non vides ; mais nous avons déjà remarqué que celle-ci n'est pas exclusive.

An d'appliquer le théorème de condorcication comparée 4.21, nous allons montrer dans la proposition suivante que, sous certaines hypothèses, toute autre famille M susceptible de bénécier du théorème de condorcication générali- sée4.18est moins condorciante que la famille maximale M0_.

Proposition 4.24

Soit M0 _{la famille maximale de f et M une famille.} On suppose que :

 M0 _{est exclusive.}

Si f vérie MCInf, alors M0 _{est plus condorciante que M.}

Démonstration. Soit φ ∈ Ω et c ∈ C. Supposons que c est M-Condorcet en φ et montrons qu'il est également M0_{-Condorcet, c'est-à-dire au sens de la famille} maximale de f.

Pour tout d ∈ C \ {c}, le candidat c a une M-victoire contre d : M = {v ∈ V t.q. c Pvd} ∈ Mc.

Comme M ∈ Mc et f vérie MCInf, on a :

∀ωV\M ∈ ΩV\M, ∃ωM ∈ ΩM t.q. f(ωM, ωV\M) = c.

Par dénition de la famille maximale M0 _{de f, ceci implique que M ∈ M}0 c. Donc ca une M0-victoire contre d.

Puisque M0 _{est exclusive et que les préférences sont antisymétriques, la pro-} position4.5assure que cette M0_{-victoire est stricte.}

En pratique, on considère généralement des préférences antisymétriques, donc l'hypothèse de la proposition4.24 qui est la plus susceptible de ne pas être vé- riée est l'exclusivité de la famille maximale M0_{. Montrons que, dans ce cas, la} conclusion de la proposition4.24n'est pas vériée.

Pour cela, considérons le vote de parité (boules noires et blanches). Il est facile de voir que la famille M0 _{maximale est neutre et contient toutes les coalitions non} vides. Cette famille n'est pas exclusive (en supposant V ≥ 2) car deux singletons d'électeurs distincts sont des coalitions gagnantes pour les candidats a et b res- pectivement. Pour que le candidat a soit M0_{-Condorcet, il faut et il sut qu'il} ait une victoire, c'est-à-dire qu'au moins un électeur le préfère à b, et qu'il n'ait pas de défaite, c'est-à-dire qu'aucun électeur ne préfère b à a ; autrement dit (en supposant que les préférences sont des ordres stricts), il faut et il sut que a soit le candidat préféré de tous les électeurs. Si on considère, à présent, la famille majoritaire M, pour que a soit M-Condorcet, il faut et il sut qu'il soit préféré par une majorité stricte des électeurs, ce qui est une condition moins exigeante. Donc il est faux de dire que M0 _{est plus condorciante que M. En l'occurrence,} on a même l'inverse : c'est M qui est plus condorciante que M0_.

Il ne nous reste plus qu'à regrouper les propriétés connues pour la famille maximale dans le théorème suivant.

Théorème 4.25 (Condorcication maximale) Soit f un SVBE et M0 _{sa famille maximale.} On suppose que f vérie M0_CInfA.

1. La condorcication maximale fM0

est au plus aussi manipulable que f : MCfM0 ⊆MCf.

2. Pour toute famille M qui est moins condorciante que M0_{(au sens large),} la condorcication maximale fM0

est au plus aussi manipulable que fM _: MCfM0 ⊆MCfM.

3. On suppose en outre que les préférences Pv sont toujours antisymétriques et que la famille maximale M0 _{est exclusive. Alors, pour toute famille M} telle que f vérie MCInf, la condorcication maximale fM0 _{est au plus} aussi manipulable que fM _: