Théorème de condorcication comparée

On appelle M-condorcication de f le SVBE : fM:

Ω → C

ω → si ω a un candidat M-Condorcet c, alors c, sinon, f(ω).

Par dénition, la M-condorcication de f vérie le critère de M-Condorcet. En particulier, si la famille M est monotone et exclusive et si l'espace électoral autorise tout candidat comme préféré, alors elle vérie MCInf (proposition4.14). Dans le contexte de ce chapitre, nous appellerons condorcication majoritaire la condorcication f∗ _{usuelle (dénition2.8), c'est-à-dire basée sur la famille ma-} joritaire.

Nous avons, à présent, tous les outils pour généraliser le théorème faible de condorcication2.9.

Théorème 4.18 (condorcication généralisée) Soit f un SVBE et M une famille. On suppose que :  M est monotone ;

 f vérie MCInf.

Alors fM _{est au plus aussi manipulable que f :} MCfM ⊆MC_f.

Démonstration. Supposons que fM_{est manipulable en ω vers ψ, mais que f n'est} pas manipulable en ω.

Comme f n'est pas manipulable en ω, le lemme 4.16assure que f(ω) est M- admissible en ω. S'il est M-Condorcet en ω, alors fM_{(ω) = f (ω); sinon, il n'y a} pas de candidat M-Condorcet en ω (proposition4.8) donc par dénition de fM_, on a aussi fM_{(ω) = f (ω).}

Notons w = fM_{(ω) = f (ω)et c = f}M_{(ψ). Comme w est M-admissible en ω,} le lemme4.15(appliqué à fM_{) assure que w n'est pas M-Condorcet en ψ. Donc,} par dénition de fM_{, on a f}M_{(ψ) = f (ψ).}

Par conséquent, on a f(ω) = fM_{(ω)et f(ψ) = f}M_{(ψ)donc f est manipulable} en ω : c'est absurde !

4.4 Théorème de condorcication comparée

Tout comme nous venons de généraliser le théorème faible de condorcica- tion 2.9, on pourrait aussi généraliser le théorème fort de condorcication 2.20

en dénissant une notion de candidat M-Condorcet résistant qui généraliserait la notion de vainqueur de Condorcet résistant (dénition2.16). Nous ne développe- rons cependant pas ce point an de ne pas alourdir inutilement l'exposé et nous nous concentrerons sur un point spécique à la condorcication généralisée : le choix de la famille M utilisée pour condorcier.

En eet, il est possible en général qu'un système de vote vérie MCInf pour plusieurs choix possibles de la famille M. Dans ce cas, on peut envisa- ger d'utiliser le théorème de condorcication généralisée 4.18 en utilisant l'une ou l'autre famille. Il se pose alors des questions naturelles : dans quels cas peut- on  condorcier une condorcication  tout en continuant de diminuer (au sens large) la manipulabilité ? Est-ce qu'une condorcication permet de diminuer la

manipulabilité plus (ou au moins autant) qu'une autre ? Enn, existe-t-il une fa- mille qui permette de diminuer la manipulabilité plus (ou au moins autant) que toutes les autres ?

Sauf mention particulière, M et M0 _{désigneront deux familles a priori quel-} conques.

Dénition 4.19 (famille plus condorciante)

On dit que M0 _{est plus condorciante que M (au sens large) ssi un candidat} M-Condorcet est toujours également M0_{-Condorcet, c'est-à-dire :}

∀ω ∈ Ω, ∀c ∈ C : cest M-Condorcet en ω ⇒ c est M0-Condorcet en ω. Cette notion donne un cas particulier pour la composition de deux condor- cications : si M0 _{est plus condorciante que M, alors on a (f}M₎M0 _{= f}M0_. En eet, pour les congurations où fM _{et f ont des vainqueurs distincts, il y a} un candidat M-Condorcet, qui est, par conséquent, M0_{-Condorcet ; donc quand} on condorcie avec la famille M0_{, le vainqueur est ce candidat, quel que soit le} système initial.

Le lemme suivant va permettre que la première condorcication, réalisée avec la famille M, vérie les hypothèses qui lui permettront de bénécier de la deuxième condorcication, réalisée avec la famille M0_{. Ce lemme est la} motivation principale de la dénition du critère MCInfA.

Lemme 4.20 (de la coalition informée admissible) On suppose que :

 M0 _{est plus condorciante que M ;}  f vérie M0_CInfA.

Alors fM _{vérie M}0_CInfA.

Interprétons ce lemme à l'énoncé quelque peu obscur : on suppose que f vé- rie une bonne propriété (M0_{CInfA) pour M}0_{, c'est-à-dire la deuxième famille} que nous allons utiliser, et on en conclut que fM _{vérie cette même propriété} (M0_{CInfA), toujours pour cette deuxième famille M}0_{. Intuitivement, la motiva-} tion est la suivante : dans la suite, on prendra pour M0 _{une famille xée, très} condorciante, et il sura de tester que f vérie M0_{CInfA pour cette famille} xée, donc une bonne fois pour toutes. Ensuite, la première famille M pourra être n'importe quelle famille moins condorciante que M0 _{: ce lemme nous permettra} de montrer que, dans tous les cas, fM _{vérie la propriété qui nous permettra} d'enchaîner avec la M0_{-condorcication tout en continuant à diminuer la mani-} pulabilité ; et ce, sans que nous ayons besoin de tester des conditions dépendant de M pour chaque famille M concernée. En réalité, il nous surait d'avoir que fMvérie M0CInfdans la conclusion du lemme pour les applications suivantes ; le fait que fM _{vérie aussi M}0_{CInfAest oert par la maison.}

Démonstration. Soit ω ∈ Ω, c ∈ C, M ∈ M0

c. Comme f vérie M0CInfA, il existe un bulletin ψM ∈ ΩM de la coalition tel que :

(

f (ωV\M, ψM) = c,

cest M0-admissible en (ω_V\M, ψM). Notons d = fM_(ω

V\M, ψM). Si d est M-Condorcet en (ωV\M, ψM), alors comme M0 _{est plus condorciante que M, le candidat d est également M}0_- Condorcet, donc il est le seul candidat M0_{-admissible (proposition 4.8), donc}

4.4 Théorème de condorcication comparée

d = c. À l'inverse, si d n'est pas M-Condorcet en (ωV\M, ψM), alors par déni- tion de fM_{, on a également d = c. Par conséquent, M peut faire gagner c de façon} informée dans le système fM_{, tout en garantissant que c soit M}0_{-admissible. Donc} fM vérie M0CInfA.

Les exemples que nous verrons dans la section 4.6 montrerons que les hypo- thèses du lemme4.20sont en fait assez courantes en pratique. Sous ces hypothèses, nous pouvons, à présent, comparer les condorcications obtenues en utilisant les familles M et M0_{. C'est l'objet du théorème de condorcication comparée.} Théorème 4.21 (condorcication comparée)

Soit f un SVBE, M et M0 _{deux familles.} On suppose que :

 M0 _{est monotone ;}

 M0 _{est plus condorciante que M ;}  f vérie M0_CInfA.

Alors fM0 _{est au plus aussi manipulable que f}M _: MCfM0 ⊆MCfM.

Démonstration. Par le lemme4.20, on sait que fM_{vérie M}0_{CInf. Il sut alors} d'appliquer le théorème de condorcication généralisée4.18à fM _{et M}0 _{et de se} souvenir que (fM₎M0 _{= f}M0_.

Ce n'est pas évident à première vue, mais ce théorème contient implicite- ment l'armation que fM0

est moins manipulable que f (ce que nous savons par ailleurs, par le théorème de condorcication généralisée 4.18). En eet, considé- rons le cas particulier de la famille M telle que pour tout candidat c, Mc = ∅. Alors un candidat est toujours M-admissible et jamais M-Condorcet. En par- ticulier, toute famille est plus condorciante que M et on a fM _{= f. Donc la} conclusion du théorème devient : MCfM0 ⊆MCf.

Avec seulement les hypothèses de ce théorème, on n'a pas la garantie que fM soit moins manipulable que f : en eet, on n'a pas supposé que M vérie les hypothèses du théorème de condorcication généralisée4.18. Ceci dit, on sait l'essentiel : fM0

est au plus aussi manipulable que f et que tout système fM_{, où} Mest moins condorciante que M0_.

À la lecture de ce théorème, une question se pose immédiatement : est-ce que la conclusion est toujours vraie si on suppose seulement que f vérie M0_{CInf au} lieu de M0_{CInfA? Nous allons voir que ce n'est pas le cas.}

Considérons l'espace électoral des ordres avec V = 3 électeurs et C = 3 can- didats nommés a, b et c. On utilise le système de vote f suivant.

1. Si tous les électeurs placent le même candidat en tête de bulletin, alors c est vainqueur.

2. Si au moins un électeur place a en tête et au moins un électeur place c en tête, alors a est vainqueur.

3. Dans tous les autres cas, b est vainqueur.

On note M la famille unanime, c'est-à-dire la famille des coalitions contenant tous les électeurs, et M0_{la famille majoritaire. Comme M}0 _{est une famille à seuil,} elle est monotone, et il est facile de vérier qu'elle est plus condorciante que M : en eet, un candidat qui est M-Condorcet est préféré par tous les électeurs donc il est vainqueur de Condorcet, c'est-à-dire M0_-Condorcet.

 Pour faire gagner c, il sut que 2 manipulateurs votent comme le troisième électeur (que celui-ci soit sincère ou pas).

 Pour faire gagner a, il sut qu'un manipulateur place a en tête et qu'un autre manipulateur place c en tête.

 Pour faire gagner b, si l'électeur sincère place b en tête, il sut que les manipulateurs placent a et b en tête ; et si l'électeur sincère place a ou c en tête, il sut que les manipulateurs placent tous les deux b en tête. On remarquera que les manipulations proposées ne sont pas admissibles. Par ailleurs, la manipulation pour c crée forcément un favori unanime (préféré par tous les électeurs) et on ne peut pas toujours choisir que ce soit c : en particulier, on ne peut pas toujours faire en sorte que c soit Condorcet-admissible donc f ne vérie pas M0_CInfA.

Considérons alors le prol ω suivant, que nous connaissons bien : il s'agit d'un exemple minimal de paradoxe de Condorcet.

a b c

b c a

c a b

Dans f, c'est le candidat a qui est vainqueur en vertu de la règle2. Comme il n'y a ni M-Condorcet (candidat unanimement préféré) ni M0_{-Condorcet (vainqueur de} Condorcet classique), le candidat a est également vainqueur dans fM_{et dans f}M0

. Dans fM0

, c'est-à-dire la condorcication de f au sens habituel majoritaire, la conguration ω est clairement manipulable puisqu'elle est non admissible (lemme2.7). On pourra, d'ailleurs, remarquer que la manipulation en faveur de c ne s'eectue pas de la même façon dans f et fM0

. Dans f, les manipulateurs doivent mettre a en tête pour bénécier de la règle 1. Dans fM0

, ils doivent mettre c en tête pour que c soit vainqueur de Condorcet.

En revanche, dans fM _{(qui utilise la famille unanime), nous allons montrer} que la conguration n'est pas manipulable.

 Pour manipuler en faveur de c, les deux derniers électeurs ont besoin que csoit en tête de tous les bulletins, ce qu'ils ne peuvent garantir.

 Pour manipuler en faveur de b, seul le deuxième électeur est intéressé. Pour qu'il réussisse, il faut soit que b soit en tête de tous les bulletins dans la conguration nale (pour bénécier de la M-condorcication), soit éviter qu'il y ait deux bulletins avec respectivement a et c en tête (pour bénécier de la règle originale f en évitant le cas 2) ; mais dans les deux cas, c'est impossible.

Résumons : toute les hypothèses du théorème sont vériées, hormis le fait qu'au lieu de vérier M0_{CInfA, le système f vérie seulement M}0_{CInf. Et nous} avons exhibé une conguration où fM0

est manipulable mais où fM _{n'est pas} manipulable. Ainsi, la conclusion du théorème n'est plus valide si l'on suppose seulement que f vérie M0_{CInf. Ce contre-exemple motive donc l'emploi de} l'hypothèse M0_CInfA.