BulMaj ⊆ CMIgn: pour tout candidat c, BulMaj assure l'existence d'une assignation de bulletins ψcqui permet d'élire c si elle est utilisée par une majorité stricte d'électeurs. Si une coalition strictement majoritaire souhaite faire élire c, il leur su t d'utiliser ces bulletins pour que c soit élu, quelle que soit la réaction des autres électeurs. Donc le système utilisé véri e CMIgn.
CMIgn ⊆ CMInf : cette inclusion découle immédiatement de la remarque que nous avons faite sur l'ordre des quanti cateurs dans les dé nitions de ces critères.
FavMaj ⊆ BulMaj : considérons une assignation de bulletins où chaque électeur a rme strictement préférer un certain candidat c à tout autre candidat, ce qui est possible puisque l'espace électoral autorise tout candidat comme favori. Si le système considéré respecte FavMaj, il su t qu'une majorité stricte d'électeurs respecte cette assignation pour que c soit élu. Donc le système considéré véri e BulMaj.
Le fait que les réciproques soient fausses découlera de l'étude des modes de scrutin classiques que nous ferons en section 3.4. On peut déjà avoir un aperçu des contre-exemples de chaque inclusion réciproque en consultant le diagramme d'inclusion de la gure3.1.
Dans un espace électoral anonyme, il est clair qu'on a également BulMajUni ⊆ BulMaj. Si, en outre, l'espace électoral autorise tout candidat comme favori, alors on a aussi FavMaj ⊆ BulMajUni.
3.3 Lien avec les équilibres de Nash forts (ENF)
Comme le remarqueGibbard(1973), la donnée d'un mode de scrutin et d'une con guration de préférence ω pour les électeurs dé nit un jeu, au sens habituel de la théorie des jeux : chaque joueur-électeur dispose d'un ensemble de stratégies, d'objectifs bien déterminés et il existe une règle qui permet de décider le résultat en fonction des stratégies des joueurs. Il est donc immédiat d'adapter la notion classique d'équilibre de Nash fort dans ce cadre.On pourra d'ailleurs remarquer qu'en utilisant le formalisme des systèmes de vote généraux (section1.4), tout jeu peut être exprimé sous forme d'un mode de scrutin et d'un état de préférence des électeurs. C'est ce qui amène Gibbard à appeler un mode de scrutin (au sens de la dé nition1.18) un game form : il s'agit d'un proto-jeu qui dé nit une procédure à suivre et auquel il ne manque que la donnée des préférences des joueurs sur les issues possibles du jeu.
Dé nition 3.4 (équilibre de Nash fort) Soit f un SVBE et (ω, ψ) ∈ Ω2.
On dit que ψ est un équilibre de Nash fort (ENF) pour les préférences ω dans le système f ssi ψ est un équilibre de Nash fort pour le jeu dé ni par (f, ω). C'est-à-dire qu'il n'existe pas de con guration φ telle que :
(
f (φ) 6= f (ψ),
∀v ∈ Sincω(f (ψ) → f (φ)), φv= ψv.
Dans le cas d'un système de vote général, en utilisant les notations de la sec- tion1.4, on adapterait la dé nition en disant qu'un vecteur S = (S1, . . . , SV)de stratégies des électeurs (c'est-à-dire de bulletins) est un ENF pour une con gura- tion de préférence ω. Comme nous l'avons déjà remarqué, le fait qu'une con gu- ration ω soit non-manipulable signi e simplement que le vote sincère s(ω) est un ENF pour ω.
Pour un SVBE, le formalisme est simpli é puisque les notions de bulletin auto- risé et d'état de préférence possible sont confondues. Le fait qu'une con guration ωsoit non-manipulable signi e alors que la con guration ω (vue comme la donnée des bulletins) est un ENF pour ω (vue comme les préférences des électeurs).
Comme nous l'évoquions en introduisant ce chapitre, Brill et Conitzer(2015) ont montré que, dans un système qui véri e CMInf, si une con guration est Condorcet, alors seul le vainqueur de Condorcet peut être le vainqueur d'un ENF. Ce résultat suggère un lien profond entre certains critères majoritaires, non seule- ment avec la manipulabilité, mais avec la notion d'ENF en général. À la suite de la lecture de cet article et d'enrichissants échanges autour d'une boisson pro- bablement sans alcool avec Markus Brill, que nous remercions ici, nous avons examiné quelques question liées à cette problématique. Nous avons donc dé ni les quatre critères d'équilibre suivants et nous avons étudié leur lien avec les critères majoritaires.
Dé nition 3.5 (critères d'équilibre)
On dit que f véri e le critère de restriction des ENF possibles aux candidats Condorcet-admissibles (RENFA) ssi pour tout (ω, ψ) ∈ Ω2 : si ψ est un ENF pour les préférences ω, alors f(ψ) est Condorcet-admissible en ω.
On dit que f véri e le critère de restriction des ENF possibles aux vainqueurs de Condorcet (RENFC) ssi pour tout (ω, ψ) ∈ Ω2 : si ψ est un ENF pour les préférences ω, alors f(ψ) est vainqueur de Condorcet en ω.
On dit que f véri e le critère d'existence d'ENF pour un vainqueur de Condor- cet (XENFC) ssi ∀(ω, c) ∈ Ω × C : si c est vainqueur de Condorcet dans ω, alors il existe ψ qui est un ENF pour ω et tel que f(ψ) = c.
On dit que f véri e le critère d'existence d'ENF pour un candidat Condorcet- admissible (XENFA) ssi ∀(ω, c) ∈ Ω × C : si c est Condorcet-admissible dans ω, alors il existe ψ qui un ENF pour ω et tel que f(ψ) = c.
Comme nous le remarquions en introduction de ce chapitre, le critère RENFC peut être vu comme un critère d'unicité, non pas de l'ENF, mais du candidat vainqueur dans un ENF. Dans un espace électoral où il existe au moins une con guration semi-admissible (c'est-à-dire s'il est possible d'avoir un candidat Condorcet-admissible qui n'est pas vainqueur de Condorcet, comme dans l'espace électoral des ordres stricts totaux avec un nombre pair d'électeurs), le critère RENFAen est une version aaiblie, dont nous verrons qu'elle est véri ée par la plupart des systèmes de vote usuels. S'il n'y a pas de con guration semi-Condorcet (par exemple dans l'espace électoral des ordres stricts totaux avec un nombre impair d'électeurs), les deux notions sont équivalentes. De même, dans ce cas, les critères d'existence XENFC et XENFA sont équivalents.
Le critère RENFA implique en particulier le critère de Brill et Conitzer : quand il est véri é, si ω est une con guration Condorcet, alors le vainqueur de Condorcet est le seul candidat Condorcet-admissible (proposition1.31) donc il est le seul vainqueur possible d'un ENF.
À présent, nous étudions les liens entre ces critères d'équilibre et les critères majoritaires. Nous nous concentrons d'abord sur RENFA et XENFC, dont nous verrons qu'ils s'intègrent naturellement dans la chaîne d'inclusion de la proposi- tion3.3, ce qui justi e leur position dans le diagramme d'inclusion de la gure3.1. Proposition 3.6
On suppose que l'espace électoral autorise tout candidat comme préféré. Alors CMInf = RENFA.
3.3 Lien avec les équilibres de Nash forts (ENF)
Dans le même esprit,Sertel et Sanver(2004) montrent que dans l'espace élec- toral des ordres stricts faibles, si un système de vote véri e FavMaj, alors le vainqueur d'un ENF est nécessairement un vainqueur de Condorcet faible (ce qui est équivalent à un candidat Condorcet-admissible dans ce contexte) : autrement dit, FavMaj ⊆ RENFA. La proposition 3.6 est donc une généralisation de ce résultat (au sens où elle l'implique). Les auteurs, quant à eux, le généralisent dans une autre direction en considérant une famille de variantes des critères FavMaj et RENFA.
Démonstration. Si un système de vote f véri e CMInf, alors il véri e RENFA : en eet, si le candidat vainqueur d'une con guration ψ n'est pas Condorcet- admissible dans ω, alors une majorité stricte d'électeurs préfèrent un autre candi- dat (au sens de ω) et sont capables de le faire gagner en vertu de CMInf. Donc ψne peut pas être un ENF pour ω.
À présent, considérons un système de vote qui ne véri e pas CMInf et mon- trons qu'il ne véri e pas RENFA. Par dé nition, il existe un candidat c, une coalition strictement majoritaire M, une con guration ψV\M des autres électeurs tels que quels que soient les bulletins ψM de la coalition, f(ψM, ψV\M) 6= c.
Considérons l'état ψV\M mentionné ci-dessus (tel que la minorité empêche l'élection de c) et un état arbitraire ψM de la coalition majoritaire M. Notons a = f (ψM, ψV\M), qui est par hypothèse distinct de c.
Considérons à présent le pro l de préférence ω suivant.
Électeurs de M (majorité) Électeurs de V \ M (minorité)
c a
a c
Autres Autres
Clairement, c est vainqueur de Condorcet, donc c'est le seul candidat Condorcet- admissible.
Si les bulletins sont ψ, alors le candidat a est vainqueur par hypothèse. Les seules déviations possibles proviennent des électeurs de M, et leur seul souhait est de faire gagner c, mais c'est impossible. Par conséquent, ψ est un ENF pour ω dont le vainqueur n'est pas Condorcet-admissible en ω. Ainsi, le système de vote considéré ne véri e pas RENFA.
Proposition 3.7
On suppose que les relations binaires de préférence sont antisymétriques. On a : BulMaj ⊆ XENFC. La réciproque est fausse en général.
Démonstration. Soit f un SVBE qui véri e BulMaj et ω une con guration. S'il existe un vainqueur de Condorcet c en ω, alors considérons la situation ψc dont l'existence est garantie par BulMaj : si une majorité d'électeurs respecte cette assignation de bulletins, alors c est élu. Il est facile de voir que c'est un ENF pour ω : en eet, si un sous-ensemble d'électeurs souhaite faire élire un certain candidat d au lieu de c, alors comme c est vainqueur de Condorcet et comme les préférences sont antisymétriques, ces électeurs sont strictement minoritaires. Donc, par dé nition de ψc, le candidat c reste élu. Ainsi, f véri e XENFC.
Pour montrer que la réciproque est fausse, considérons l'espace électoral des ordres stricts totaux pour V = 3 électeurs et C = 3 candidats. Nous allons dé nir un système de vote que nous appelons le jeu de coordination étrange et montrer qu'il véri e XENFC mais pas BulMaj.
Voici la règle utilisée.
1. S'il existe au moins un doubleton d'électeurs dont les deux membres mettent le même candidat en tête de bulletin mais leurs deux derniers candidats dans des ordres diérents, alors leur candidat préféré est élu. 2. Dans tous les autres cas, le doyen (c'est-à-dire un candidat xé à l'avance)
est élu.
Ainsi, si deux électeurs souhaitent faire élire un candidat c qui n'est pas le doyen, il doivent se coordonner habilement pour placer c en tête et surtout pour s'assurer que leurs bulletins ne sont pas identiques.
Montrons que ce système véri e XENFC. Considérons une con guration ω Condorcet. Comme V = 3 et C = 3, un vainqueur de Condorcet est forcément le favori d'au moins un électeur (sinon un autre candidat est au moins deux fois en tête de bulletin donc il est favori majoritaire et a fortiori vainqueur de Condorcet). Si le vainqueur de Condorcet est favori d'au moins deux électeurs, alors il leur su t de désynchroniser le bas de leurs bulletins pour qu'il soit élu, et la situation est alors un ENF : ils sont parfaitement satisfaits, et si ce n'est pas le cas du troisième électeur, celui-ci n'y peut rien.
Si le vainqueur de Condorcet est favori d'un électeur exactement, alors il est facile de montrer qu'à permutation près des électeurs et des candidats, on est dans un pro l de préférence ω du type suivant.
c a b
Autres c c
b a
Le candidat c est vainqueur de Condorcet. Quitte à échanger les rôles de a et b et ceux des deux derniers électeurs, on peut supposer que le doyen n'est pas b : c'est donc c ou a.
Considérons alors le pro l ψ suivant.
c a c
a c b
b b a
Le candidat c est vainqueur et c'est un ENF pour ω : en eet, le second électeur ne peut pas changer le résultat et le troisième électeur ne peut pas faire gagner b (il ne peut béné cier ni de la règle1 car b ne peut devenir favori majoritaire, ni de la règle 2 car b n'est pas doyen). Ainsi, le jeu de coordination étrange véri e XENFC.
À présent, prouvons qu'il ne véri e pas BulMaj. Considérons un candidat c distinct du doyen et essayons de concevoir une assignation des bulletins ψc qui assure une victoire de c dès qu'elle est respectée par une majorité stricte d'élec- teurs. Pour chaque paire d'électeurs, il faut exactement un bulletin c a b et un bulletin c b a, ce qui est impossible : en eet, on ne s'autorise que deux bulletins diérents pour trois électeurs, donc il existe deux électeurs qui ont le même bulletin. Si ces deux électeurs utilisent ce bulletin identique, il su t à l'autre électeur de ne pas placer c en tête pour que le doyen soit élu, ce qui contredit la dé nition de ψc. Ainsi, le jeu de coordination étrange ne véri e pas BulMaj.
Proposition 3.8
On suppose que l'espace électoral autorise tout candidat comme préféré. Alors XENFC ⊆ CMIgn. La réciproque est fausse en général.
3.3 Lien avec les équilibres de Nash forts (ENF)
Démonstration. Considérons un système de vote qui ne véri e pas CMIgn. Par dé nition, il existe un candidat c et une coalition strictement majoritaire M tels que pour tout allocation ψM de bulletins pour la coalition, il existe une réponse ψV\M des autres électeurs telle que f(ψM, ψV\M) 6= c.
Considérons un pro l de préférence ω du type suivant.
Électeurs de M (majorité) Électeurs de V \ M (minorité)
c Autres
Autres c
Clairement, c est vainqueur de Condorcet.
Dans un état ψ qui est un ENF pour ω, il est impossible que c soit vainqueur : en eet, les membres de V \ M peuvent empêcher une victoire de c et ils sont intéressés quel que soit le nouveau résultat. Ainsi, le système de vote ne véri e pas XENFC, ce qui prouve l'inclusion XENFC ⊆ CMIgn par contraposition.
A n de prouver que la réciproque est fausse, nous allons dé nir un système de vote que nous appelons le jeu de la trahison et montrer qu'il véri e CMIgn mais pas XENFC. Nous allons utiliser un système de vote non ordinal a n de mieux révéler l'intuition sous-jacente, puis nous montrerons qu'avec un peu d'eort, on peut adapter ce contre-exemple à système ordinal.
Voici la règle utilisée : chaque électeur v produit un bulletin du type (Mv, cv) ∈ P(V) × C : il annonce une coalition, c'est-à-dire un ensemble d'électeurs, et l'in- dice d'un candidat. A n de se xer les idées, on peut interpréter Mv comme l'ensemble des électeurs que v considère comme ses amis . On pourrait exiger que la coalition Mv contienne obligatoirement v lui-même, mais cette hypothèse supplémentaire n'a aucune incidence sur notre démonstration. À présent, voici comment on détermine le candidat vainqueur.
1. S'il existe une coalition strictement majoritaire M et un candidat c tels que chaque électeur de M produit le bulletin (M, c), alors c est élu (il n'y a pas d'ambiguïté car une telle coalition est nécessairement unique). 2. Dans tous les autres cas, le résultat est Pv∈Vcv, ramené modulo C à
l'intervalleJ1, C K.
Clairement, ce mode de scrutin véri e CMIgn : en eet, si une coalition strictement majoritaire M souhaite faire élire un candidat c, il leur su t de se coordonner pour annoncer le bulletin (M, c), ce qui garantit l'élection de c, quels que soient les bulletins des autres électeurs.
A n de montrer que le jeu de la trahison ne véri e pas XENFC, considérons le pro l de préférence suivant, où le candidat c est vainqueur de Condorcet.
c a b
a c c
b b a
Peut-il y avoir un ENF où c est élu ? Si c est élu en vertu de la règle1, alors le deuxième électeur, le troisième électeur ou les deux participent nécessairement à la coalition M puisque celle-ci est supposée majoritaire. N'importe lequel d'entre eux peut alors trahir la coalition M en nommant la coalition constituée de lui-même et faire gagner a ou b en choisissant le modulo adéquat.
L'autre possibilité est que c soit élu en vertu de la règle 2. Alors le deuxième électeur peut nommer la coalition constituée de lui-même et faire gagner a en choisissant le modulo adéquat.
Par conséquent, il n'y a pas d'ENF où c est élu3, ce qui prouve que le jeu de la trahison ne véri e pas XENFC.
Si l'on souhaite avoir un exemple purement ordinal, il su t de considérer des candidats supplémentaires d1, . . . , d4 et de coder la coalition M par l'ordre donné sur les quatre derniers candidats d'un bulletin (4 candidats fournissent une expressivité su sante car 4! = 24 > 23 = 8), selon un procédé similaire à celui utilisé dans la section2.8pour construire un système Condorcet très manipulable. On considère alors une variante du pro l de préférence ci-dessus où les candidats d1, . . . , d4 sont placés en dernier chez tous les électeurs et on montre de la même façon qu'il n'existe pas d'ENF où c est élu.
Jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés sur les critères RENFA et XENFC et nous avons démontré leur positionnement dans le diagramme d'in- clusion de la gure 3.1. Les critères RENFC et XENFA en sont manifeste- ment des renforcements respectifs, au sens où on a RENFC ⊆ RENFA et XENFA ⊆ XENFC. Si l'espace électoral ne contient aucune con guration semi- Condorcet (par exemple l'espace électoral des ordres stricts totaux avec un nombre impair d'électeurs), alors il est immédiat que ces inclusions sont des égalités :
RENFC = RENFAet XENFA = XENFC.
Pour tous les critères à l'intérieur de la zone RENFA (resp. XENFC), en par- ticulier Cond, il existe donc des SVBE qui véri ent également RENFC (resp. XENFA) : en eet, il su t de considérer un espace électoral sans con gura- tion semi-Condorcet. Dans ce cas, tout système véri ant un critère plus fort que RENFA(resp. XENFC) véri e également RENFC (resp. XENFA) puisque les notions sont équivalentes.
D'un autre côté, pour tous les critères à l'intérieur de la zone RENFA (resp. XENFC), en particulier Cond, il existe également des SVBE qui ne véri ent pas RENFC (resp. XENFA). En eet, considérons l'espace électoral des ordres stricts totaux avec un nombre pair d'électeurs et le système de vote Condorcet- doyen, où le doyen est noté a.
1. Si la moitié des électeurs préfèrent un candidat c distinct du doyen aux autres candidats et si l'autre moitié préfère tous les autres candidats à c, alors c est Condorcet-admissible mais il n'y a pas d'ENF où il est élu (il y a toujours une déviation possible en faveur de a). Donc ce système ne véri e pas XENFA.
2. Si la moitié des électeurs préfèrent le doyen a aux autres candidat et si l'autre moitié place a en dernier dans leur ordre de préférence, alors le vote sincère est un ENF où a est élu, bien qu'il soit seulement Condorcet- admissible mais pas vainqueur de Condorcet. Donc ce système ne véri e pas RENFC.
Par conséquent, XENFA est inclus dans XENFC mais il n'entretient, en général, pas de relation d'inclusion simple avec les critères à l'intérieur de la zone XENFC : par exemple, il peut posséder une intersection non vide avec Cond mais aussi avec son complémentaire. Il est est de même pour RENFC, qui est inclus dans RENFA mais qui n'a en général pas de relation d'inclusion simple avec les autres critères plus forts que RENFA.
Par ailleurs, on pourra remarquer que, dans un espace électoral où il existe au moins une con guration semi-Condorcet, les critères XENFA et RENFC sont
3. En fait, dans cette con guration de préférence, on peut même montrer qu'il n'y a pas d'ENF du tout.