6 Franchissement de barri` eres de potentiel
6.4 Travers´ ee d’une barri` ere de potentiel, effet tunnel
Tournons-nous maintenant vers un effet v´eritablement quantique. Consi-d´erons la barri`ere de potentiel repr´esent´ee sur la figure 3.3, et supposons que l’´energie du faisceau incident soit inf´erieure `a V0. Si E < V0, on sait que classiquement la particule ne franchit pas cette barri`ere de potentiel.
Examinons le r´esultat quantique. Posons encore κ =
2m(V0−E)/¯h. On cherche une solution de (3.32) de la forme :
ψ(x) =
x V(x)
V0
onde incidente onde réfléchie
onde transmise
0 a
Fig. 3.3:Barri`ere de potentiel.
Comme pr´ec´edemment, nous consid´erons le cas d’une onde venant de la gauche. Les conditions de continuit´e pourψetψ donnent :
1 +ξ=γ+δ ik(1−ξ) =κ(δ−γ)
γ e−κa+δ eκa=β eika
κ(δ eκa−γ e−κa) =ikβ eika . (3.49) De cela, on d´eduit :
β = 4i kκe−ika
(k+iκ)2eκa−(k−iκ)2e−κa . (3.50) Dans le cas o`uκa1, qui nous int´eressera, on a simplement :
|β|2 16k2k2
(k2+k2)2e−2κa . (3.51) La probabilit´e|β|2 que la particule traverse la barri`ere est non nulle ! Cet effet, inconnu en physique classique, est appel´eeffet tunnel. On note que cette probabilit´e tend exponentiellement vers z´ero dans les limites suivantes : a)
¯
h→0, m→ ∞: limite classique ; b) (V0−E)→ ∞: barri`ere tr`es haute ; c) a→ ∞: barri`ere tr`es ´etendue.
L’effet tunnel joue un rˆole fondamental en physique. Il est par exemple responsable de la d´esint´egration αdes noyaux lourds qui, classiquement, de-vraient ˆetre stables, de la fission, de la fusion thermonucl´eaire, de la catalyse, de la liaison chimique, etc. Deux applications spectaculaires de l’effet tunnel ont ´et´e couronn´ees par le prix Nobel dans les derni`eres d´ecennies. En 1973, B. Josephson a obtenu le prix pour la d´ecouverte de la jonction qui couple de fa¸con coh´erente deux fonctions d’onde macroscopiques dans des mat´eriaux supraconducteurs s´epar´es par une fine paroi isolante. En 1985, le prix fut at-tribu´e `a G. Binnig and H. Rohrer, inventeurs du microscope `a effet tunnel.
Dans cet appareil, on d´eplace une pointe tr`es fine pr`es de la surface d’un
´echantillon conducteur. Les ´electrons peuvent passer par effet tunnel de la
6 . Franchissement de barri`eres de potentiel 73
passage tunnel cristal
(a) (b)
pointe
Fig. 3.4: (a) Principe d’un microscope `a effet tunnel. On d´eplace une pointe fine au voisinage d’un cristal `a l’aide de transducteurs pi´ezo´electriques. Une boucle d’as-servissement ajuste la distance de la pointe `a la surface du cristal de fa¸con que le courant provenant du passage d’´electrons par effet tunnel soit constant. Le signal d’erreur de la boucle d’asservissement produit une cartographie directe de la dis-tribution de densit´e ´electronique (en fait du potentiel ´electrostatique) `a la surface du cristal. Un exemple est montr´e en (b) o`u l’on voit une surface de l’antimoniure d’indium (InSb). Les atomes d’antimoine apparaissent en relief. La taille r´eelle de l’´echantillon repr´esent´e est∼3 nm. D’apr`es Y. Liang et al., J. Vac. Sci. Technol.
B9, 730 (1991).
pointe `a l’´echantillon, et cela produit un courant macroscopique qui permet d’effectuer une cartographie de haute pr´ecision de la surface de l’´echantillon.
La variation extrˆemement rapide de la fonction exponentielle e−2κa dans le coefficient|β|2(proportionnel au courant), permet d’obtenir une r´esolution de l’ordre de 0,01 nm, comme on peut le voir sur la figure 3.4. En ´etendant cette technique, on peut ´egalement manipuler des atomes ou des mol´ecules d´epos´es sur la surface d’un cristal. Cette technologie augure de progr`es consid´erables en nano-´electronique.
R´esum´e des chapitres 2 et 3
– La description de l’´etat d’une particule dans l’espace se fait par une fonction d’ondeψ(r, t) dont le module carr´e donne la densit´e de proba-bilit´e de pr´esence au pointr`a l’instantt.
– L’´evolution dans le temps de la fonction d’onde d’une particule plac´ee dans un potentielV(r) est obtenue `a partir de l’´equation de Schr¨ odin-ger:
i¯h∂
∂tψ(r, t) = ˆHψ(r, t),
o`u l’observable ´energie ˆH, ou hamiltonien du syst`eme, est : Hˆ =−¯h2
2m∆ +V(r) .
– L’amplitude de probabilit´e de l’impulsion de la particule est donn´ee par la transform´ee de Fourier de la fonction d’onde
ϕ(p, t) =
e−ip·r/¯hψ(r, t) d3r (2π¯h)3/2 .
– Cela entraˆıne lesrelations d’incertitude de Heisenberg reliant les ´ecarts quadratiques sur les mesures de position et d’impulsion
∆x∆px≥¯h/2 .
– A chaque grandeur physique est associ´ee une observable, op´erateur lin´eaire hermitien agissant sur les fonctions d’onde. La valeur moyenne
at`a l’instant tde la mesure de la grandeurAest : at=
ψ∗(r, t)
A ψ(ˆ r, t)
d3r .
– L’observable position ˆrcorrespond `a la multiplication parrde la fonc-tion d’onde ; l’observable impulsion est :
pˆ= ¯h i∇ .
Ces observables ne commutent pas ; on a par exemple [ˆx,pˆx] =i¯h.
6 . Franchissement de barri`eres de potentiel 75
– Si la fonction d’onde est fonction propre de l’observable ˆAcorrespondant
`
a la valeur propreaα, le r´esultat de mesure deAestaαavec probabilit´e un.
– Pour un syst`eme isol´e, plac´e dans un potentiel ind´ependant du temps, les ´etats stationnairessont les ´etats propres de l’´energie, avec une fonc-tion d’onde de la forme :
ψ(r, t) =ψα(r)e−iEαt/¯h , o`u ψα est une solution norm´ee
|ψα|2= 1
de l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps :
H ψˆ α(r) =Eαψα(r) .
L’´evolution dans le temps de toute fonction d’onde ψ(r, t) s’´ecrit imm´ediatement une fois connues les solutions stationnaires :
ψ(r, t) =
α
Cαe−iEαt/¯hψα(r) avecCα=
ψα∗(r)ψ(r, t= 0)d3r.
Pour en savoir plus
– S. Hawking et R. Penrose,La nature de l’espace temps, Pour la Science, septembre 1996.
– Microscope `a effet tunnel : F. Salvan, Le Microscope `a effet tunnel, La Recherche, octobre 1986 ; C.F. Quate,Vacuum Tunneling : A new tech-nique for microscopy, Physics Today,39, aoˆut 1986. P. Zeppenfeld, D.M.
Eigler et E.K. Schweitzer,On manipule mˆeme les atomes, La Recherche, mars 1992. K. Likarov and T. Claeson, L’´electronique ultime, Pour la Science, aoˆut 1992.
– M. Johnson et G. Kearley,L’effet tunnel et les prot´eines, Pour la Science, mars 2001, p. 64.
Exercices
1. Valeurs moyennes et variance. On consid`ere la fonction d’onde `a une dimension ψ(x) =
2/asin(πx/a) si 0 ≤ x ≤ a, et ψ(x) = 0 autrement.
Calculer x,∆x, p,∆pet le produit ∆x∆p.
2. L’´energie cin´etique moyenne est toujours positive. V´erifier que pour toute fonction d’ondeψ(x), la valeur moyenne p2est positive.
3. Fonctions d’onde r´eelles. Soit une fonction d’ondeψ(x) r´eelle. Montrer que p= 0.
4. Translation dans l’espace des impulsions. Consid´erons une fonction d’onde `a une dimension ψ(x) telle que p=q et ∆p=σ. Que valent pet
∆ppour la fonction d’ondeψ(x)eip0x/¯h?
5. Premi`ere fonction de Hermite. Montrer queψ(x) =e−x2/2est fonc-tion propre de l’op´erateur (x2−∂2/∂x2) avec valeur propre 1.
6. Effet Ramsauer. En 1921, Ramsauer avait constat´e que pour certaines valeurs particuli`eres de l’´energie incidente, des gaz rares, h´elium, argon ou n´eon, ´etaient parfaitement transparents `a des faisceaux d’´electrons de basse
´energie. Cela peut s’expliquer dans le mod`ele unidimensionnel suivant. On consid`ere une solution stationnaire de l’´equation de Schr¨odinger d’´energie po-sitiveE, pour une particule de massemdans le potentiel suivant :V(x) = 0 pour|x|> a,V(x) =−V0 pour|x| ≤a(V0>0).
On pose q2 = 2m(V0+E)/¯h2,k2= 2mE/¯h2. On ´etudie une solution de la forme :
ψ(x) =eikx+A e−ikx x≤ −a , ψ(x) =B eiqx+C e−iqx −a < x≤a , ψ(x) =D eikx x > a . a. Ecrire les relations de continuit´e enx=−aet x=a.
b. En posant ∆ = (q+k)2−e4iqa(q−k)2, calculer la probabilit´e de trans-missionT =|D|2. Calculer la probabilit´e de r´eflexionR=|A|2. V´erifier queR+T = 1.
c. Montrer que T = 1 pour certaines valeurs de l’´energie. Interpr´eter ce r´esultat et l’effet Ramsauer.
d. Pour l’h´elium, l’´energie incidente `a laquelle se produit le ph´enom`ene est E = 0,7 eV. En supposant que le rayon de l’atome d’h´elium est a= 0,1 nm = 10−10m, calculer la profondeurV0 du puits de potentiel
`
a l’int´erieur de l’atome.
e. Comment se comporte le coefficient de transmission T lorsque l’´ ener-gie E tend vers z´ero ? Lorsqu’on envoie des atomes d’hydrog`ene tr`es lents sur une surface d’h´elium liquide, on constate que ces atomes re-bondissent ´elastiquement au lieu d’ˆetre adsorb´es. Interpr´eter qualitati-vement ce ph´enom`ene.