Pour d´emontrer que la transform´ee de Fourierϕ(p, t) de la fonction d’onde est l’amplitude de probabilit´e de l’impulsion, analysons une exp´erience me-surant cette quantit´e. Nous nous appuyons sur une m´ethode de «temps de vol» dans laquelle on d´etermine la distance macroscopique qu’une particule parcourt pendant un temps macroscopique.
A l’instantt= 0, la particule a une fonction d’ondeψ(r, t= 0). Cette par-ticule peut ˆetre libre, elle peut aussi se trouver plac´ee dans un potentielV(r).
6 . Mesure d’impulsion par «temps de vol» 51 Afin de mesurer la distribution de probabilit´e de l’impulsion P(p) `a t = 0, nous allons supposer que nous pouvons d´ebrancher soudainement le poten-tiel `a t = 0 et laisser le paquet d’ondes ´evoluer librement pendant un temps macroscopiquet. Cela se fait ais´ement si le potentiel est cr´e´e par des sources externes, champs ´electriques et magn´etiques, ondes lumineuses. Il n’est bien
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evidemment pas possible de le faire s’agissant de l’interaction coulombienne d’un ´electron avec un noyau, mais notre but est de donner une d´emonstration de principe, et non une m´ethode pratique universelle. Dans les ann´ees r´ecentes, les condensats de Bose-Einstein gazeux ont procur´e des syst`emes physiques de choix sur lesquels cette m´ethode peut ˆetre v´erifi´ee directement (voir par exemple la figure 16.4, au chapitre 16).
A l’instantt= 0, nous supposons par convention que l’´etat de la particule est tel que r0= 0, avec une dispersion δr0 provenant de l’extension de la fonction d’onde. Cela signifie que nous connaissons la position initiale de la particule `aδr0 pr`es, en toute rigueur `a quelques multiples deδx0 (resp.δy0, δz0) dans la variablex(resp.y,z). A un instant ult´erieurt, nous mesurons la position de la particule. Si nous la d´etectons au pointravec une pr´ecisionδr≡ (δx, δy, δz), nous obtenons une mesure de sa vitesse v ou de son impulsion p=mv, puisque ces quantit´es sont constantes entre 0 ett(mouvement libre).
Le r´esultat d’une telle mesure estp=mr/t, avec une erreurδpqui provient
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a la fois de la dispersion initiale (δr0) et de l’erreur finale (δr) sur la position.
Nous supposons que les conditions exp´erimentales sont ajust´ees de telle fa¸con queδrδr0si bien queδp∼m δr/t. Nous sommes libres de choisir un temps t aussi grand que n´ecessaire de telle sorte que δpsoit de l’ordre de grandeur de la pr´ecision que nous recherchons.
Par cons´equent, la probabilit´e de trouver le r´esultat p (`a la pr´ecision δp pr`es) dans cette exp´erience de temps de vol est :
δ3P(p) =|ψ(r, t)|2δx δy δz avec r=pt/m (pourtgrand) (2.40) Pour voir que cette d´efinition est reli´ee `a la transform´ee de Fourier ϕ(p) deψ(r,0), nous allons d’abord ´etablir le r´esultat suivant :
Apr`es une propagation libre pendant l’intervalle t, la densit´e de probabilit´e de pr´esence au pointrest donn´ee par : Pour d´emontrer ce r´esultat, nous r´ecrivons la densit´e de probabilit´e sous la forme :
|ψ(r, t)|2= 1 (2π¯h)3
d3p1d3p2ei(p1−p2)·r/¯hei(p22−p21)t/2m¯hϕ(p1)ϕ∗(p2)
= 1 (2π¯h)3
d3p d3peip·(r−pt/m)/¯hϕ(p+p/2)ϕ∗(p−p/2), (2.43) o`u nous avons pos´ep= (p1+p2)/2 etp =p1−p2. Nous pouvons exprimer ϕ(p+p/2)ϕ∗(p−p/2) `a partir de la fonction d’onde `at= 0 :
ϕ(p+p/2)ϕ∗(p−p/2) =
= 1
(2π¯h)3
d3r1d3r2e−ir1·(p+p/2)/¯heir2·(p−p/2)/¯hψ(r1,0)ψ∗(r2,0). Ins´erant cette expression dans (2.43), nous pouvons int´egrer surp :
exp (ip·(r−pt/m−(r1+r2)/2)/¯h) d3p=
(2π¯h)3δ(r−pt/m−(r1+r2)/2). L’int´egrale surpdans (2.43) est imm´ediate et donne :
|ψ(r, t)|2= m3 (2π¯ht)3
d3r1d3r2eimr·(r2−r1)/(¯ht)eim(r21−r22)/(2¯ht)
× ψ(r1,0)ψ∗(r2,0) , ce qui prouve le r´esultat annonc´e (2.41).
Quant le temps t augmente, la fonction ˜ϕ tend vers la transform´ee de Fourier ϕ. Ces deux fonctions ne diff`erent que par la pr´esence du facteur eimr2/(2t¯h)dans l’int´egrant qui d´efinit ˜ϕ. Ce facteur agit comme une coupure effective dans l’int´egration sur r de (2.42) au del`a de r ≥
2t¯h/m. Si δr0
est la taille de la r´egion o`uψ(r,0) prend des valeurs significatives, ce facteur de coupure devient n´egligeable si t m δr20/¯h. Physiquement, cela revient
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a consid´erer une dur´ee de temps de vol t suffisamment grande pour que la distribution initiale en position joue un rˆole n´egligeable dans la d´etermination de l’impulsion. Nous obtenons par cons´equent :
tmδr02/¯h ⇒ |ψ(r, t)|2(m/t)3|ϕ(mr/t)|2.
En utilisant cette ´equation dans (2.40), on obtient, en posant δp=m δr/t: δ3P(p) =|ϕ(p)|2δpxδpyδpz . (2.44) C’est l`a le r´esultat annonc´e. La distribution de probabilit´e de l’impulsion pour une fonction d’ondeψ(r,0) est donn´ee par le module carr´e de la transform´ee de Fourierϕ(p) de cette fonction d’onde.
Remarquons enfin que cette m´ethode n’est en aucune fa¸con en conflit avec les relations d’incertitude. La distribution en impulsion `a l’instant test manifestement telle que les relations d’incertitude sont respect´ees.
6 . Mesure d’impulsion par «temps de vol» 53 Pour en savoir plus
– Dans ce chapitre, nous nous sommes abstenus de d´efinir la «r´ealit´e» physique, et d’aborder les d´ebats correspondants. Sur ce sujet on pourra consulter B. d’Espagnat : A la recherche du r´eel et Une incertaine r´ealit´e, Gauthier-Villars 1979 et 1985 ; H. Margenau : The Nature of Physical Reality, McGraw-Hill 1950 ;Quantum theory and measurement,
´edit´e par J. A. Wheeler et W. H. Zurek (Princeton University Press, 1983)
– D. Cassidy,W. Heisenberg et le principe d’incertitude, Pour la Science, juillet 1992.
Exercices
1. Vitesse de groupe et vitesse de phase. L’´equation de Klein–Gordon 1 est une ´equation d’onde relativiste pour des particules libres.
a. Quelle relation entreω etk doit ˆetre satisfaite pour qu’une onde plane ei(k·r−ωt) satisfasse cette ´equation ? Toutes les fr´equences peuvent-elles se propager librement ?
b. Si p= ¯hk est interpr´et´ee comme l’impulsion d’une particule de masse m, quelle est la relation entre l’´energieE et la fr´equenceω?
c. Quelle est la vitesse de groupevgde paquets d’ondes, et quelle relation y a-t-il entrevg et la vitesse de phase de ces ondes ?
2. Etalement du paquet d’ondes d’une particule libre.
a. On consid`ere une particule libre se d´epla¸cant le long de l’axex. Montrer que la d´eriv´ee temporelle de x2t s’´ecrit : b. Calculer la d´eriv´ee temporelle deA(t) et montrer que :
dA c. Montrer que B(t) est constant.
d. En posant :
e. Montrer que (2.29) est satisfaite, avec : ξ1=i¯h
m
x
ψ0∂ψ∗0
∂x −ψ∗0∂ψ0
∂x dx−2x0v0 ,
o`uψ0≡ψ(r,0). Le coefficient ξ1 peut ˆetre interpr´et´e physiquement en utilisant les r´esultats du chapitre suivant comme ´etant la corr´elation `a l’instant 0 entre la position et la vitesse :ξ1/2 = xv0−x0v0.On peut v´erifier que la contrainte sur ξ1 qui r´esulte de ce que (∆xt)2 > 0 est
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equivalente `a la condition que ∆xt∆pt≥¯h/2 `a tout instantt.
3. Le paquet d’ondes gaussien. On consid`ere le paquet d’ondes d´efini par :
ϕ(p) = (πσ2¯h2)−1/4exp
−(p−p0)2
2σ2¯h2 . (2.45) a. Pour t= 0, montrer que ∆x∆p= ¯h/2.
b. Montrer que l’extension spatiale du paquet d’ondes `a l’instant t est donn´ee par :
∆x2(t) = 1 2
1
σ2 +t2σ2¯h2
m2 . (2.46)
4. Taille et ´energie caract´eristiques dans un potentiellin´eaire ou quadratique. En utilisant un argument semblable `a celui du§5.3, ´evaluer la taille et l’´energie caract´eristiques de la fonction d’onde du niveau fonda-mental d’une particule de masse mplac´ee dans (i) un potentiel harmonique
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a une dimensionV(x) =mω2x2/2 ; (ii) un potentiel lin´eaire `a une dimension V(x) =α|x|.