3.1 Int´erˆet des potentiels carr´es
Dans le reste de ce chapitre, nous allons ´etudier des potentiels constants par morceaux, pour lesquels la solution analytique du probl`eme des ´etats li´es est tr`es simple. De tels potentiels carr´es constituent d’excellentes approxima-tions de maintes situaapproxima-tions physiques concr`etes de grand int´erˆet. Mentionnons deux d’entre elles.
– Les forces qui lient les neutrons et les protons dans les noyaux sont des forces tr`es intenses mais qui ne se font sentir qu’`a tr`es courte distance : ce sont des forces `a courte port´ee. Les potentiels correspondants ont donc une forme tr`es diff´erente du potentiel coulombienqq/(4π30r). Une bonne approximation consiste `a choisir des potentiels de la forme :
V =V0 pour 0< r≤r0; V = 0 pourr > r0 (V0<0) , o`u r0 est de l’ordre de 10−15 m, taille typique d’un noyau. Dans bien des cas, par ajustement des param`etresV0 et r0, on peut ainsi rendre compte qualitativement des ph´enom`enes nucl´eaires de basse ´energie.
– Dans les technologies modernes de micro´electronique, ce type de poten-tiel tr`es simple trouve ´egalement quantit´e d’applications (voir la figure 4.5). Quand un ´electron de conduction bouge dans un semi-conducteur
3 . Puits de potentiel carr´es 85
Fig. 4.5: Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As. La partie centrale en Ga As a une largeur de 6 nm. Sur l’axe vertical est port´ee la concen-tration en aluminium. Le relief cor-respond `a la variation du potentiel
“vu” par un ´electron de conduction (potentiel ´electrostatique moyenn´e sur une p´eriode spatiale du r´eseau cristallin). Photographie due `a Ab-bas Ourmazd, ATT Bell Labs.
comme GaAs, il “ressent” un potentiel uniforme `a l’´echelle du pas du r´eseau cristallin. La valeur de ce potentiel d´epend de la composition du semi-conducteur. Dans des «sandwichs» de couches minces altern´ees de semi-conducteurs (Ga As et Ga Al As), on cr´ee despuits quantiques d’une largeur de 2 `a 5 nm. Le confinement quantique des ´electrons dans ces domaines laisse entrevoir des d´eveloppements sans pr´ec´edents en
´electronique et dans les composants d’ordinateurs. Ces composants sont
´egalement tr`es prometteurs en opto´electronique ; les transitions entre ni-veaux ´electroniques (∆E∼50 `a 200 meV) sont situ´es dans l’infrarouge.
3.2 Etats li´es dans un potentielcarr´e unidimensionnel
Consid´erons un puits carr´e, de profondeurV0et de largeur 2a(figure 4.6a).
Dans les r´egions I (x <−a) et I (x > a), le potentiel est constant et ´egal `a V0. Dans le puits (−a≤x≤a), le potentiel est nul (ce qui n’est qu’un choix de l’origine des ´energies). Nous ne nous int´eresserons qu’aux ´etats li´es,
c’est-`
a-dire d’´energie positive inf´erieure `a V0, 0< E < V0, ceux qui en m´ecanique classique correspondent `a une particule confin´ee dans le puits. E est donc
I I' II
-a a
x V0
(a) Ka (b)
ka
II
x
0 L
V(x) (c)
0 π 2π 3π
V(x)
Fig. 4.6:Puits de potentiel carr´e : (a) forme du puits de potentiel ; (b) d´etermination graphique des niveaux d’´energie ; (c) limite du puits carr´e infini.
l’´energie cin´etique `a l’int´erieur du puits.
Dans une r´egion o`u le potentiel est constant, l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps (4.2) s’´ecrit :
ψ+2m
¯
h2 (E−V)ψ= 0 . (4.20)
Les solutions de l’´equation (4.2) existent quelle que soit la valeur de E. Elles ont une forme diff´erente suivant le signe deE−V :
1. siE−V >0, les solutions sont des sinuso¨ıdes, 2. siE−V <0, les solutions sont des exponentielles.
Dans le cas pr´esent, V = 0 pour |x| ≤ a et V = V0 pour |x| > a. Par cons´equent, pour 0 < E < V0, les solutions de l’´equation (4.2) sont des si-nuso¨ıdes dans la r´egion m´ediane II, des exponentielles croissantes dansI, et des exponentielles d´ecroissantes dansI :
I ψ(x) = D eKx,
II ψ(x) = Asinkx+B coskx , (4.21) I ψ(x) = C e−Kx,
avec K =
2m(V0−E)/¯h et k = √
2mE/¯h. Les constantes A, B, C et D doivent ˆetre d´etermin´ees `a partir de la continuit´e de ψ et ψ en ±a. Nous
´ecartons les solutions exponentiellement croissantes enIou exponentiellement d´ecroissantes enI, puisque ces termes port´es dans (4.3) ne pourraient mener
`
a des solutions normalisables.
La continuit´e de la fonction d’onde en−aet +adonne :
Asinka+Bcoska = Ce−Ka , (4.22)
−Asinka+Bcoska = De−Ka . (4.23) De mˆeme, la continuit´e de la d´eriv´ee deψ(x) en±adonne :
A kcoska−Bksinka = −K Ce−Ka , (4.24) A kcoska+Bksinka = K De−Ka . (4.25) De ces quatre relations on tire, siAet B sont tous deux non-nuls,kcotka=
−K et ktanka=K. Ces relations ne peuvent ˆetre v´erifi´ees simultan´ement, puisque l’´elimination deKdonnerait tan2ka=−1, ce qui est absurde. Nous devons donc ranger les solutions en deux cat´egories :
A= 0 et C=D ktanka=K ( solutions paires) , B= 0 et C=−D kcotka=−K (solutions impaires).
(4.26) Comme pour l’oscillateur harmonique, le potentiel v´erifie V(x) = V(−x) : l’hamiltonien est invariant dans le changementx→ −x. On peut donc classer les ´etats propres en fonctions paires ou impaires.
3 . Puits de potentiel carr´es 87 Les conditions (4.26) expriment une quantification dek, donc de l’´energie.
Ces ´equations transcendantes ont une solution graphique simple (figure 4.6b).
Nous devons avoir :
K2a2+k2a2= 2m a2V0
¯
h2 = Constante . (4.27)
Dans le plan rep´er´e par des axes ka et Ka, c’est l’´equation d’un cercle. Il s’agit de trouver les intersections de ce cercle avec les courbes d’´equations Ka =katanka et Ka=−kacotka. Ces intersections sont en nombre fini et concernent alternativement des solutions paires et impaires. Supposons a donn´e ; le nombre d’´etats li´es croˆıt avec V0. Si V0 est inf´erieur `a une limite donn´ee par :
a√ 2mV0
¯
h < π
2 ou encore V0< π2¯h2
8ma2 , (4.28)
il y a une seul ´etat li´e.
Un th´eor`eme dˆu `a Sturm et Liouville dit que l’on peut classer les niveaux par valeurs croissantes de l’´energie en fonction du nombre de nœuds de la fonction d’onde. La fonction d’onde de l’´etat fondamental ne s’annule pas, celle du premier ´etat excit´e s’annule une fois, et ainsi de suite. Ce th´eor`eme est valable pour tout potentiel suffisamment r´egulier (ce qui sera toujours le cas dans ce cours).
3.3 Puits infini
La limite o`uV0devient infini est simple et int´eressante. Dans cette limite, la particule est confin´ee dans la r´egionII o`u le potentiel est nul. Les r´egions I etI constituent une barri`ere imp´en´etrable.
Pour des raisons de commodit´e, nous disposons le puits entre x = 0 et x = L comme sur la figure 4.6c. Le calcul est simple : le coefficient K du
§ 3.2 est infini, et dans les r´egions I et I nous avons ψ(x) = 0. D’o`u, par continuit´e :
ψ(0) = 0 ψ(L) = 0 . (4.29)
Les fonctions propres de l’hamiltonien qui satisfont ces conditions aux limites sont :
ψn(x) =Asin(nπx/L) nentier >0 , (4.30) et la normalisation donneA=
2/L.
Les niveaux d’´energie sont donn´es par : En=n2 π2¯h2
2mL2 nentier >0 . (4.31) Dans ce cas, seule la fonction d’ondeψ(x) est continue pourx= 0 etx=L. Sa d´eriv´eeψ(x) est discontinue1. Notons que la condition de quantification s’´ecrit
1La continuit´e deψ et la discontinuit´e deψaux bords du puits de potentiel s’obtient directement en prenant la limiteV0→+∞dans les solutions (4.26).
simplement en fonction du nombre d’ondekd´efini parE= ¯h2k2/2m, comme kL = nπ. La quantification des ´energies est ici un ph´enom`ene ´el´ementaire d’ondes stationnaires.
3.4 Particule dans une boˆıte
Etendons le probl`´ eme du paragraphe pr´ec´edent `a trois dimensions en consid´erant une particule de massemconfin´ee `a l’int´erieur d’un parall´el´epip`ede rectangle de cˆot´esL1,L2,L3. Le potentiel confinant peut s’´ecrire :
S´eparation des variables. Il s’agit de r´esoudre l’´equation aux valeurs propres : Nous allons chercher des solutions particuli`eres factoris´ees, de la forme :
Ψ(r) =ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z) . (4.35) On v´erifie que Ψ(r) est solution de (4.33) pour la valeur E si les conditions suivantes sont r´ealis´ees :
−¯h2
2mψi(xi) = (Ei−V(xi))ψi(xi) (4.36) pouri= 1,2,3 et :
E=E1+E2+E3 . (4.37)
On se retrouve donc avec une ´equation unidimensionnelle, et on peut utiliser les solutions du paragraphe pr´ec´edent (§ 3.3). On d´emontre que ce proc´ed´e permet d’obtenirtoutes les valeurs propres et unebase de fonctions propres.
Solution de l’´equation aux valeurs propres. On combine trois solutions du type (4.30) pour obtenir une solution de (4.33). Cette solution g´en´erale va d´ependre de trois nombres quantiques n1, n2 et n3 (entiers positifs) et des dimensionsL1,L2,L3du volume consid´er´e :