L’´equation de Schr¨odinger s’´ecrit :
i¯h d
dtλα(t)|ψα=
λα(t)Eα|ψα .
Puisque les|ψαsont orthogonaux, cela se r´eduit pour chaqueα`a : i¯hd
dtλα(t) =Eαλα(t) . D’o`u la relation fondamentale :
|ψ(t)=
Cαe−iEαt/¯h|ψα . (5.49)
6 Structure de l’espace de Hilbert
Revenons sur le principe I et la terminologie d’espace de Hilbert« appro-pri´e». Quelle est la structure de l’espace de Hilbert dans lequel nous d´ecrivons un syst`eme donn´e ?
6.1 Produits tensoriels d’espaces
Pour une particule en mouvement `a une dimension le long d’un axe x, l’espace de Hilbert est L2(R), dont une base est constitu´ee par les fonctions de Hermite {φn(x), n entier ≥ 0}. Consid´erons maintenant une particule en mouvement dans un plan xy. L’espace de Hilbert appropri´e est L2(R2), constitu´e des fonctions Ψ(x, y) de carr´e sommable. Une base hilbertienne de L2(R2) est constitu´e par l’ensemble {φm(x)φn(y), m, nentiers ≥ 0}. En d’autres termes, toute fonction Ψ(x, y) deL2(R2) peut se d´ecomposer sous la forme :
Ψ(x, y) =
m,n
Cm,nφm(x)φn(y). (5.50) Cette ´ecriture s’interpr`ete math´ematiquement en disant que l’espaceL2(R2) est le produit tensoriel de l’espaceL2(R) d´ecrivant le mouvement le long de l’axe xet de l’espace L2(R) d´ecrivant le mouvement le long de l’axey. En utilisant la notation de Dirac, (5.50) s’´ecrit :
|Ψ=
m,n
Cm,n|φm ⊗ |φn, (5.51) o`u|φm ⊗ |φnest par d´efinition le ket deL2(R2) repr´esent´e parφm(x)φn(y).
Pour d´efinir g´en´eralement cette notion de produit tensoriel, consid´erons deux espaces de HilbertE et F. On peut leur associer un troisi`eme espace de HilbertGet une applicationbilin´eaireT du produit directE × F dansG tels que :
1. T(E × F) engendre G, c’est-`a-dire que tout ´el´ement de G est somme (´eventuellement infinie) d’´el´ements de la forme
T(|u,|v) |u ∈ E |v ∈ F .
2. Soit une base hilbertienne {|em} deE et une base hilbertienne{|fn} deF. Alors la famille{T(|em, |fn)} est une base deG.
L’espaceG est appel´eproduit tensoriel deEetF et not´eG=E ⊗ F. On pose T(|u,|v) =|u ⊗ |v. Les ´el´ements deE ⊗ F sont appel´es tenseurs ; ils ont, en vertu de ce qui pr´ec`ede, la forme g´en´erale :
|Ψ=
m,n
Cm,n|em ⊗ |fn . (5.52) Les ´el´ements de la forme|u ⊗ |vsont ditsfactoris´es. Tout tenseur s’´ecrit (de fa¸con non unique) comme somme ´eventuellement infinie de tenseurs factoris´es.
6.2 L’espace de Hilbert appropri´e
Pour d´efinir l’espace de Hilbert dans lequel on peut d´ecrire compl`etement l’´etat d’un syst`eme quantique, introduisons la notion dedegr´es de libert´ed’un syst`eme. Une particule en mouvement dans l’espace a trois degr´es de libert´e : translation dans chaque direction (x, y, z). Un syst`eme de deux particules en mouvement dans l’espace a donc six degr´es de libert´e, etc. Nous verrons plus tard qu’une particule peut ´egalement avoir un moment cin´etique intrins`eque (son spin), ce qui lui conf`ere un degr´e de libert´e suppl´ementaire.
Chaque degr´e de libert´e est d´ecrit dans un espace de Hilbert donn´e. Par exemple, comme nous venons de le rappeler, le mouvement suivantxse d´ecrit dans l’espace des fonctions de carr´e sommable de la variable x, L2(R). On postule qu’un syst`eme donn´e comportant N degr´es de libert´e est d´ecrit dans l’espace de Hilbert E produit tensoriel des espaces de Hilbert respectifs Ei, i= 1,2, ..., N dans lesquels sont d´ecrits cesN degr´es de libert´e :
E =E1⊗ E2⊗. . .⊗ EN . 6.3 Propri´et´es du produit tensoriel
1. SiE etF sont de dimension finieNE etNF, la dimension deG=E ⊗ F estNG =NE NF.
2. Lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, il est commode d’utiliser les notions compactes : |u ⊗ |v=|u|v=|u, v.
3. Le produit scalaire hermitien de deux kets factoris´es|ψ=|u ⊗ |vet
|χ=|u ⊗ |vse factorise. Il vaut :
χ|ψ= u|u v|v. (5.53) 6.4 Op´erateurs dans l’espace produit tensoriel
Consid´erons maintenant deux op´erateurs ˆAE et ˆBF agissant respective-ment dansE et F. On peut d´efinir le produit tensoriel des op´erateurs ˆAE et BˆF :
CˆG= ˆAE⊗BˆF
6 . Structure de l’espace de Hilbert 119 par la r`egle :
( ˆAE⊗BˆF)(|u ⊗ |v) = ( ˆAE|u)⊗( ˆBF|v) . (5.54) Cela permet de d´efinir l’action de ˆCG sur les ´el´ements de la base factoris´ee {|m ⊗ |n}et par cons´equent, sur tout vecteur deG.
En particulier, nous pouvonsprolonger l’op´erateur ˆAE dans G par ˆAG= AˆE⊗IˆF, o`u ˆIF est l’op´erateur identit´e dansF.
6.5 Exemples simples
1) Soit un syst`eme de deux particules 1 et 2, de masses m1 et m2, en mou-vement harmonique `a une dimension. L’espace de Hilbert `a consid´erer est le produit tensoriel des espaces de Hilbert pour chacune des deux particules, soit EH =E(1)⊗ E(2)=L2(R)⊗ L2(R). L’hamiltonien du syst`eme s’´ecrit : que l’on notera plus simplement :
Hˆ = pˆ21
En termes de fonctions d’onde, l’´etat du syst`eme se d´ecrit par une fonction Ψ(x1, x2) de carr´e sommable dans chacune des deux variables x1 et x2. Les op´erateurs ˆp1 et ˆp2sont respectivement −i¯h ∂ /∂x1 et−i¯h ∂ /∂x2.
Nous savons diagonaliser l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique `a une dimension (cf. chapitre 4, § 2), les fonctions propres ´etant les fonctions de Hermite φn(x/a) (avec a=
¯
h/mω) et les ´energies propres associ´ees (n+ 1/2)¯hω. Dans le probl`eme consid´er´e ici, une base propre de ˆH est donc fournie par l’ensemble :
2)Lorsque nous avons ´etudi´e au chapitre 4 la particule dans une boˆıte cubique tri-dimensionnelle de cˆot´eL, il a ´et´e commode de s´eparer le mouvement de la
particule suivantx, y, z et donc de chercher les solutions particuli`eres de la forme :
Ψn1,n2,n3(x, y, z) = ψn1(x)ψn2(y)ψn3(z)
∝ sin(n1πx/L) sin(n2πy/L) sin(n3πz/L) . Dans la terminologie du produit tensoriel, ce sont des tenseurs d´ecomposables.
Une fonction d’onde g´en´erale peut alors s’´ecrire en fonction de cette base factoris´ee :
Ψ(x, y, z) =
n1,n2,n3
Cn1,n2,n3Ψn1,n2,n3(x, y, z) .
Des exemples plus subtils de produits tensoriels d’espaces de Hilbert se pr´esenteront lorsque nous ´etudierons le cas de particules ayant des degr´es de libert´e internes, notamment le moment magn´etique d’un atome dans l’exp´ e-rience de Stern et Gerlach, ou le spin 1/2 de l’´electron.