2.1 D´efinition et mouvement classique
On appelle oscillateur harmonique un syst`eme constitu´e par une particule de masse m´elastiquement li´ee `a un centre x0, par une force de rappel F =
−K(x−x0) proportionnelle `a sa distance au centre. Le coefficient K est la constante de ressort de l’oscillateur et l’´energie potentielle est V(x) = V0+ K(x−x0)2/2.
Les syst`emes se pr´esentant en bonne approximation sous la forme d’oscillateurs harmoniques sont tr`es nombreux. Classiquement, lorsqu’un syst`eme est en ´equilibre enx=x0, son ´energie potentielle est minimale, d’o`u dV(x)/dx
x=x0 = 0. Au voisinage du point d’´equilibre x = x0, on peut d´evelopper le potentielV(x) en s´erie de Taylor :
V(x) =V0+K
2(x−x0)2+C(x−x0)3+. . . (4.7) Pour des petites oscillations autour dex0(|x−x0| K/C), le terme cubique est n´egligeable et le syst`eme se ram`ene `a un oscillateur harmonique.
L’´equation du mouvement classique est m¨x = −K(x−x0). Le mouve-ment est une oscillation sinuso¨ıdale de pulsation ω =
K/mind´ependante de l’amplitude du mouvement. Pour simplifier, nous choisissons les origines des positions et des ´energies telles que x0 = 0 et V0 = 0. L’expression de l’´energie totale est :
E= 1
2mx˙2+1
2mω2x2 . (4.8)
2. Oscillateur harmonique `a une dimension 81 Cette ´energie est toujours positive et, puisque le potentiel tend vers l’infini pour |x| → ∞, il n’y a que des ´etats li´es.
2.2 L’oscillateur harmonique quantique
Dans le probl`eme quantique, l’hamiltonien a la forme : Hˆ = pˆ2x
2m +1
2mω2xˆ2 , (4.9)
et nous voulons r´esoudre l’´equation aux valeurs propres : Comme indiqu´e plus haut, puisque le potentiel tend vers l’infini pour|x| → ∞, il n’y a pas d’´etats de diffusion dans ce probl`eme. Seules nous int´eressent les valeurs de l’´energieEpour lesquelles les solutions sont de carr´e sommable.
Dans le probl`eme quantique apparaissent des unit´es naturelles, combi-naisons des param`etres du probl`emem etω, et de la constante de Planck ¯h.
L’unit´e d’´energie est ¯hωet l’unit´e de longueura=
¯
h/(mω). Nous travaillons par cons´equent avec les variables sans dimensionsεety d´efinies par :
ε= E
¯
hω y= x
a , (4.11)
et l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps est : 1
Cette ´equation diff´erentielle est connue en math´ematiques. On montre que ses solutions de carr´e sommable normalis´ees sont les fonctions de Hermite :
φn(y) =cne−y2/2Hn(y), (4.13) o`u cn = (√
π2nn!)−1/2 et o`u Hn(y) est un polynˆome de degr´e n, qui ne comporte que des puissances paires (resp. impaires) de y si nest pair (resp.
impair) :
Les niveaux d’´energie de l’oscillateur harmonique `a une dimension sont donc :
En= (n+1
2) ¯hω . (4.15)
La constante additive ¯hω/2, appel´ee´energie de point z´ero, est essentielle pour satisfaire les relations d’incertitude (cf. exercice 4.1).
Les fonctions propres normalis´eesψn(x) sont : ψn(x) = π−1/4
√2nn!ae−x2/2a2Hn(x/a). (4.16) Ces fonctions, dont les quatre premi`eres sont repr´esent´ees sur la figure 4.3, sont r´eelles et orthogonales, c’est-`a-dire que :
ψn∗(x)ψn(x)dx=δn,n . (4.17)
-5 0 5 -5 5 -5 5 -5 5
ψ0 ψ
1 ψ
2 ψ
3
Fig. 4.3:Les quatre premi`eres fonctions de Hermite (abscisse :x/a) ;ψ0(x) est une gaussienne,ψ1(x) est cette mˆeme gaussienne multipli´ee par√
2x/a, etc.
A partir de la d´efinition (4.13), on peut v´erifier que ces fonctions satisfont la relation de r´ecurrence :
x√
2ψn(x) = a√
n+ 1ψn+1(x) +a√
n ψn−1(x), (4.18) a√
2 d
dxψn(x) = √
n ψn−1(x)−√
n+ 1ψn+1(x) . (4.19) Ces relations, qui donnent le r´esultat de l’action des op´erateurs ˆx et ˆpx =
−i¯h∂ /∂xsur l’ensembleψn(x), sont d’une grande utilit´e pratique.
Remarque. Nous pouvons s´eparer les solutions ψn(x) en deux classes : les solutions sym´etriques (ou paires) ψn(x) = ψn(−x) correspondant `a n pair, et les solutions antisym´etriques (ou impaires) ψn(x) = −ψn(−x) pour n impair. Cela provient du fait que l’hamiltonien ˆH est invariant dans la transformation x → −x (cf. (4.9)). Par cons´equent si ψ(x) est solution de l’´equation (4.10), alorsψ(−x) l’est aussi, pour la mˆeme valeur propre. On en d´eduit queψ(x)±ψ(−x) est ou bien solution pour la mˆeme valeur propre, ou bien identiquement nul. Nous rencontrons l`a une propri´et´e tr`es importante que nous reverrons plus tard : aux lois d’invariance de l’hamiltonien correspondent des propri´et´es de sym´etrie de ses fonctions propres.
2. Oscillateur harmonique `a une dimension 83 2.3 Exemples
Physique mol´eculaire. Consid´erons le cas d’une mol´ecule diatomique com-me CO que nous avons ´evoqu´ee au chapitre 1,§1. Outre le fait que la mol´ecule peut ˆetre en rotation sur elle-mˆeme, les deux atomes peuvent vibrer l’un par rapport `a l’autre dans leur r´ef´erentiel du centre de masse. Soitxla distance des deux noyaux. Le potentiel V(x) dont d´erive la force de liaison a une expression difficile `a calculer exactement, mais nous pouvons `a coup sˆur lui donner la forme repr´esent´ee sur la figure 4.4. Le potentiel doit en effet tendre vers l’infini si xtend vers z´ero (superposition des deux atomes), tendre vers une valeur constante lorsque les deux atomes s’´eloignent l’un de l’autre et, puisque le syst`eme est li´e, pr´esenter une valeur minimale lorsque x a la va-leur d’´equilibrex0observ´ee exp´erimentalement. On remplace alors le potentiel V(x) par une parabole (en pointill´e sur la figure 4.4). Intuitivement, on s’at-tend `a ce que cela constitue une bonne approximation pour les niveaux dont l’extension spatiale est situ´ee dans le domaine o`uV(x) et son approximation parabolique sont voisins.
V(x)
x0 x
Fig. 4.4: Potentiel mol´eculaire (trait plein) et son approxima-tion harmonique (trait tiret´e).
Rayonnement du corps noir et les oscillateurs de Planck. Le mod`ele classique de l’´electron ´elastiquement li´e, dˆu `a H.A. Lorentz, ´etait bien connu des physiciens du d´ebut du si`ecle. Planck s’´etait attaqu´e, d`es 1895, au probl`eme de la situation d’´equilibre thermodynamique entre le rayonnement ´ electro-magn´etique et une assembl´ee d’oscillateurs formant les parois d’une enceinte (un oscillateur de fr´equenceνabsorbe et ´emet de la lumi`ere `a cette fr´equence).
Afin d’interpoler entre les r´egimes de basses et de hautes fr´equences de la dis-tribution spectrale du rayonnement, il avait introduit une formule empirique `a deux param`etres, reliant l’entropie et l’´energie interne du rayonnement, dont il d´eduisait une forme pour la relation entropie-´energie des oscillateurs. Il comprit qu’il pouvait relier ces deux param`etres, en s’appuyant sur la th´eorie statistique de Boltzmann, et se mit `a ´eplucher en d´etail le trait´e fondamen-tal de 1877 de ce dernier. Or Boltzmann, dans son premier chapitre, avait consid´er´e le cas«d’´ecole» de la distribution d’´equilibre lorsqu’une quantit´e d’´energieE donn´ee se r´epartit parsous-multiples discrets et ´egaux ε=E/n, nentier, sur un nombreN de mol´ecules. La formule obtenue ´etait exactement de la forme recherch´ee par Planck pour la distribution d’´energie de fr´equenceν
sur les oscillateurs de cette fr´equence. Reprenant donc, `a 20 ans d’´ecart, l’id´ee de Boltzmann, il postula que ces sous-multiples ´egaux ´etaient de la formehν, calcula la valeur de la constante fondamentale h, et parvint `a sa c´el`ebre for-mule du rayonnement du corps noir. Planck avait ainsi devin´e la quantification par multiples entiers dehν des changements d’´energie d’un oscillateur.
Pi´egeage de particules charg´ees. Un pi`ege de Penning consiste en la superposition d’un champ magn´etique B et d’un champ ´electrique quadru-polaire. En pi´egeant une particule charg´ee dans ce dispositif, on r´ealise un atome artificiel oug´eonium, o`u la particule est confin´ee par des forces harmo-niques. Cela permet la mesure tr`es pr´ecise de constantes comme le moment magn´etique de l’´electron, la constante de structure fine (voir chapitre 11), ou le rapportmp/meentre les masses du proton et de l’´electron.
Quantification d’un champ. Un solide cristallin compos´e de N atomes est ´equivalent `a l’ensemble de 3N oscillateurs harmoniques. Par ailleurs, on montre que les ´etats stationnaires classiques des ondes ´electromagn´etiques dans une enceinte aux parois r´efl´echissantes sont ´egalement ´equivalents `a une assembl´ee d’oscillateurs harmoniques. Dans les deux cas, on trouve l`a le point de d´epart de la quantification de ces champs, qui donne naissance au concept de phonon pour les vibrations du solide et de photon dans le cas du champ
´electromagn´etique. L’oscillateur harmonique est une brique essentielle dans la construction de la physique quantique relativiste.