E(x,p)≤E0
dx dp
2π¯h avec E(x, p) = p2 2m+1
2mω2x2 . (4.55) Les demi-axes de l’ellipse en x et p sont respectivement (2E0/mω2)1/2 et (2mE0)1/2, et la version `a une dimension de (4.54) donne :
N(E0) E0
¯
hω . (4.56)
Ce r´esultat est en excellent accord avec le r´esultat exact que l’on d´eduit de (4.15), et qui dit queN(E0) est l’entier le plus proche deE0/¯hω.
5 Puits double ; la mol´ ecule d’ammoniac
5.1 Mod`ele de la mol´ecule NH3
Consid´erons maintenant un probl`eme en apparence semblable, mais dont le contenu physique va se r´ev´eler plus subtil. La mol´ecule d’ammoniac NH3a la forme d’une pyramide (figure 4.7a) dont l’atome d’azote occupe le sommet et les trois atomes d’hydrog`ene la base. SoitP le plan des trois hydrog`enes,D la perpendiculaire `a P passant par l’atome d’azote et, surD,xl’abscisse de P par rapport `a l’azote pris comme origine. Supposons que la mol´ecule reste toujours pyramidale, que l’azote reste fixe et demandons-nous comment varie l’´energie potentielleV(x) en fonction dex.
Qualitativement, la variation de l’´energie potentielleV(x) en fonction dex est la suivante. Pour la position d’´equilibrex=b,V(x) passe par un minimum (figure 4.7b). Si nous obligeons x `a diminuer, l’´energie croˆıt, passe par un maximum pourx= 0, ´etat instable pour lequel les quatre atomes sont dans le mˆeme plan. Sixdevient n´egatif, nous avons«retourn´e»la mol´ecule comme un parapluie. Manifestement il existe un autre minimum pour x = −b et l’´energieV(x) est sym´etrique par rapport `a l’origine :V(x) =V(−x).
Dans la suite, nous allons remplacer le potentiel r´eelV(x) par le potentiel carr´eV(x) en pointill´e sur la figure 4.7b.
Dans ce potentiel, qui reproduit les caract´eristiques qualitatives deV(x), nous ´etudions le mouvement quantique d’une «particule» repr´esentant le mouvement collectif des trois atomes d’hydrog`ene, en supposant qu’ils restent
5 . Puits double ; la mol´ecule d’ammoniac 93
(b) (a)
G M D
V0
a a
-b b
x V(x)
∆
Fig. 4.7:La mol´ecule d’ammoniac : (a) les deux configurations classiques ; (b) po-tentiel r´eel (trait plein) et potentiel simplifi´e (pointill´e) d´ecrivant le retournement de la mol´ecule.
dans le mˆeme plan. La massemde la particule est 3mH, o`umH est la masse d’un atome d’hydrog`ene.
5.2 Fonctions d’ondes
Il est simple, en suivant la mˆeme proc´edure qu’au§3, de trouver les ´etats stationnaires dans ce probl`eme. Limitons-nous au cas E < V0, cas o`u classi-quement la«particule»demeure dans un des deux puits (gauche ou droite), c’est-`a-dire o`u la mol´ecule ne se retourne pas. Les solutions sont sinuso¨ıdales dans les r´egionsGetDet exponentielles dans la r´egion centraleM. Les fonc-tions d’onde doivent s’annuler pour x= ±(b+a/2), et les ´etats propres de l’hamiltonien s’´ecrivent :
ψ(x) = ±λsink(b+a/2 +x) r´egionG ψ(x) =
µcoshKx Solution sym´etrique µsinhKx Solution antisym´etrique
r´egionM (4.57)
ψ(x) = λsink(b+a/2−x) r´egionD
o`u nous avons pos´e comme pr´ec´edemment K =
2m(V0−E)/¯h et k =
√2mE/¯h. Ces deux types de solutions sont repr´esent´es sur la figure 4.8.
La continuit´e de la fonction et de sa d´eriv´ee aux points x=±(b−a/2) donne les conditions :
tanka = −k
K cothK(b−a/2) pour une solution sym´etriqueψS , tanka = −k
K tanhK(b−a/2) pour une solution antisym´etrique ψA. Pour simplifier et comprendre la physique du probl`eme `a l’aide de calculs
x
(a) ψS
x
(b) ψA
Fig. 4.8:Solution sym´etrique (a) et solution antisym´etrique (b) de plus basse ´energie dans le puits double mod´elisant la mol´ecule d’ammoniac.
simples, pla¸cons-nous dans le cas o`u l’´energie E est tr`es petite vis-`a-vis de la hauteur V0 de la barri`ere E V0, soitK ∼ √
2mV0/¯h k. Supposons
´egalement que la largeur de la barri`ere est suffisamment grande pour que K∆ 1 o`u ∆ = 2b−a est la largeur de la barri`ere. Ces hypoth`eses sont satisfaites dans le cas de la mol´ecule d’ammoniac. On a alors :
tanka −k K
1±2e−K∆
, (4.58)
o`u le signe + correspond `a ψS, le signe −`a ψA. Cette ´equation permet de calculer les valeurs quantifi´ees deka. Ces valeurs apparaissent sur la construc-tion graphique de la figure 4.9, comme les abscisses des intersecconstruc-tions des arcs successifs de y = tanka avec deux droites y = −εAka et y = −εSka. Ces intersections sont situ´ees au voisinage de ka∼π. Les deux constantes εA et εS sont :
εA= 1 Ka
1−2e−K∆
εS= 1 Ka
1 + 2e−K∆
. (4.59) Elles sont proches l’une de l’autre et telles queεA< εS 1, puisqueKa ka∼π.
5.3 Niveaux d’´energie
D´esignons parkS etkA les deux valeurs, voisines, dekcorrespondant aux deux premiers ´etats propresψS et ψA de plus faible ´energie. La construction graphique de la figure 4.9 montre que :
1. Les deux quantit´es kS et kA sont l´eg`erement inf´erieures `a π/a, valeur du premier nombre d’onde pour le puitsG(ou le puitsD) de largeura, suppos´e infiniment profond.
5 . Puits double ; la mol´ecule d’ammoniac 95
Fig. 4.9:(a) D´etermination graphique des niveaux d’´energie dans le double puits ; (b) on voit que les deux premiers niveaux d’´energie sont abaiss´es par rapport `a l’´energie du fondamental d’un puits simple G ou D (E0 → E0), et qu’il y a un
«clivage tunnel»entre ces deux niveaux (E0 →EA etES).
2. La quantit´ekSest l´eg`erement inf´erieure `akA; par cons´equent les ´energies respectives des deux niveaux les plus bas :
ES = ¯h2kS2/2m EA= ¯h2kA2/2m (4.60)
Puisque K est approximativement ´egal `a √
2m V0/¯h dans notre approxima-tion, nous voyons que A d´ecroˆıt exponentiellement quand la largeur ∆, ou la hauteur V0, de la barri`ere de potentiel interm´ediaire augmentent. On note
´
egalement queA= 0 dans la limite classique ¯h→0.
5.4 Effet tunnelet ph´enom`ene d’inversion
Dans la situation classique E < V0, la mol´ecule pr´esente son plan d’hy-drog`enes soit `a droite, soit `a gauche. Aucun passage G↔ D n’est possible.
Il y a deux ´etats fondamentaux de mˆeme ´energie, l’un dans la configura-tionG, l’autre dans la configurationD. Pour la mol´ecule quantique, les deux
´etats propres en question ici ne sont pas d´eg´en´er´es. Ils forment un doublet, repr´esent´e par deux fonctions sym´etriqueψS et antisym´etriqueψA. Dans ces deux ´etats, la probabilit´e de pr´esence de la particule (ou du triangle des hy-drog`enes) `a droite et `a gauche (module carr´e deψ) est la mˆeme.
Fait impossible `a r´ealiser classiquement, tant pourψS queψA, cette pro-babilit´e n’est pas nulle dans la r´egion m´ediane M! Nous retrouvons encore un exemple o`u une particule peut se trouver dans une r´egion o`u son ´energie totale est inf´erieure `a l’´energie potentielle. Cette p´en´etration dans une r´egion classiquement interdite entraˆıne une variation de l’´energie par rapport `a celle qu’aurait la«particule», disons d´esormais la mol´ecule NH3, si elle ´etait fix´ee
`
a droite ou `a gauche, c’est-`a-dire siV0´etait infini. Il en r´esulte une diminution de l’´energie moyenne par rapport `a celle d’une particule qui serait localis´ee dans l’un des puits : E0 = ¯h2π2/(2m a2). Parce queV0 est fini, l’existence d’une probabilit´e de pr´esence non nulle dans la r´egion m´ediane fait que la mol´ecule«voit»un puits effectif de largeur plus grande quea(typiquement a+K−1), d’o`u l’abaissementE0→E0.
La diminution globale est suivie d’un clivageE0 →E0 ±Aen deux sous-niveaux. A l’origine de ce clivage se trouve l’effet tunnel et la possibilit´e pour la particule de franchir la barri`ere de potentiel et de passer d’un puits `a l’autre.
Ce ph´enom`ene est d’une grande importance ; on le nomme inversion de la mol´ecule d’ammoniac, et nous allons l’analyser plus en d´etail.
Les fonctions d’onde ψS et ψA d´ecrivent des ´etats propres de l’´energie.
Nous pouvons les combiner lin´eairement. Deux combinaisons sont particu-li`erement int´eressantes. Ce sont :
ψG = (ψS−ψA)/√
2 et ψD= (ψS+ψA)/√
2. (4.65) Ces fonctions d’onde d´ecrivent des ´etats o`u pratiquement toute la probabilit´e de pr´esence est concentr´ee `a gauche pourψG et `a droite pourψD. Elles cor-respondent aux configurations«classiques» : mol´ecule `a droite, mol´ecule `a gauche (figure 4.10).