(a)
-b b
x (b)
x b -b
ψG(x) 2 ψD(x) 2
Fig. 4.10:Configurations classiques de la mol´ecule d’ammoniac.
On s’aper¸coit qu’au bout du tempst=π/ω=π¯h/(2A), la fonction d’onde ψ(x, t) est proportionnelle, `a une phase pr`es, `aψG. La particule se trouve donc
«`a gauche». Au tempst= 2π/ω, la fonction d’onde est proportionnelle `aψD, et la mol´ecule se trouve de nouveau dans la configuration «droite». Autre-ment dit, la superposition (4.66) repr´esente un ´etat de la mol´ecule qui oscille de droite `a gauche `a la pulsationω! La mol´ecule d’ammoniac ainsi pr´epar´ee `a t= 0, seretourne p´eriodiquement avec la pulsationω, ce retournement ´etant rendu possible par l’effet tunnel. On nomme cela le ph´enom`ene d’inversion de la mol´ecule d’ammoniac. Il joue un rˆole cl´e dans le principe du maser `a ammoniac, que nous verrons au chapitre 6.
La quantit´e A contrˆole la fr´equence de cette oscillation. En comparant l’expression (4.64) deAavec la probabilit´e de passage par effet tunnel trouv´ee au chapitre 3, § 6.4, on voit que les deux expressions sont semblables, la caract´eristique essentielle ´etant la pr´esence du terme exponentiel. Dans l’am-moniac, la diff´erence d’´energie 2Aest tr`es petite : 2A∼10−4 eV. La fr´equence ν et la p´eriodeT correspondantes sont :
ν= ω 2π = 2A
h 24 GHz , T = 1
ν = h
2A 4,2 10−11 s . Comme nous le verrons au chapitre 6, l’oscillation est associ´ee `a l’´emission ou `a l’absorption d’une onde ´electromagn´etique. Dans le cas pr´esent, la lon-gueur d’onde se situe dans le domaine centim´etrique (λ∼1,25 cm). Elle est mesurable avec grande pr´ecision et constitue une «empreinte digitale» de l’ammoniac. C’est grˆace `a elle que l’on d´etecte la pr´esence de cette mol´ecule dans le milieu interstellaire.
6 Applications du mod` ele du double puits
On peut d´evelopper un formalisme similaire `a celui qui pr´ec`ede dans quantit´e de cas, et ´etendre qualitativement ces r´esultats `a des doubles puits sym´etriques quelconques. Consid´erons par exemple le cas de deux atomes
identiques situ´es `a une distance ∆ l’un de l’autre. Un ´electron du cort`ege de ces atomes«voit»un puits double sch´ematis´e sur la figure 4.11. Nous choisis-sons l’origine des ´energies telle queV →0 pourx→ ∞. Si ∆ est suffisamment grand, on peut en bonne approximation consid´erer V ∼ 0 `a mi-chemin des deux atomes.
Un ´electron d’un certain niveau d’´energie E0 <0 doit, pour passer d’un site `a l’autre, franchir une barri`ere de potentiel de hauteur−E0et de largeur
∆. On veut calculer en fonction de ∆ et deE0, l’ordre de grandeur du temps typiqueT de passage d’un site `a l’autre.
∆
E0 E0
x E
Fig. 4.11:Double puits de potentiel vu par un ´electron lorsque deux atomes sont s´epar´es d’une distance ∆.
Supposons que l’´energie cin´etiqueEcde l’´electron dans le puits de potentiel soit de l’ordre de|E0|(pour l’atome d’hydrog`ene, on trouve exactementEc=
|E0| par application du th´eor`eme du viriel). Dans l’exponentielle de l’effet tunnel, on aK=
2m|E0|/¯h. L’´electron ´etant li´e dans un atome, on aKa∼ π(voir le chapitre 11). Le r´esultat essentiel du paragraphe pr´ec´edent, c’est-` a-dire la d´ependance exponentielle de la fr´equence d’oscillation en fonction du param`etre K∆, demeure valable. On peut donc r´ecrire (4.64) sous la forme A∼Eke−K∆∼ |E0|e−K∆, `a un facteur de l’ordre de l’unit´e pr`es.
Dans une mol´ecule ou dans un solide, les distances interatomiques sont de l’ordre de l’angstr¨om. Dans un gaz `a temp´erature et pression usuelles, elles sont environ dix fois plus grandes (∼30 ˚A). Les ´energies de liaison des
´electrons de valence d’un atome sont de quelques eV. On trouve alors : Solide : ∆ = 2 ˚A ; |E0|= 4 eV A= 1 eV ; T = 10−15 seconde,
Gaz : ∆ = 30 ˚A ; |E0|= 4 eV A= 10−12 eV ; T = 10−3seconde. On voit que le passage par effet tunnel est important pour les ´electrons de valence dans les mol´ecules et les solides. Ces ´electrons sautent tr`es rapidement d’un site `a l’autre, ils sont compl`etement d´elocalis´es dans la structure. A l’inverse, ce mˆeme ph´enom`ene est tout `a fait n´egligeable dans le cas des gaz.
En effet, en raison de l’agitation thermique, deux mol´ecules dans un gaz ne restent `a une distance de 30 ˚A que pendant un temps inf´erieur `a 10−10 s.
Les oscillations dues `a l’effet tunnel ont une p´eriode de l’ordre de 10−3 s et
6 . Applications du mod`ele du double puits 99 ne peuvent pas avoir d’effet appr´eciable sur une ´echelle de temps aussi faible.
Dans un gaz, l’id´ee que chaque ´electron appartient `a une mol´ecule donn´ee est parfaitement justifi´ee.
L’´el´ement essentiel de ces discussions r´eside dans le fait que A varie ex-ponentiellement, donc tr`es rapidement, avec ∆ et K=
2m|E0|/¯h. Cela ex-plique que, d’un syst`eme `a l’autre, les temps caract´eristiques sont extrˆemement variables. On se convaincra que pour un syst`eme o`u la valeur de K∆ est un tant soit peu ´elev´ee, le temps T peut ˆetre extraordinairement long. C’est le cas des syst`emes macroscopiques, ou classiques, pour lesquels le tempsT est si (incroyablement) grand que l’on peut dire en toute confiance que si une particule est `a droite `a l’instant initial, elle y reste ind´efiniment.
Le cas particuli`erement int´eressant de NH3 et des mol´ecules semblables ND3, PH3, As H3, etc. est trait´e en d´etail par Townes et Schawlow2 qui donnent la forme de potentiels plus r´ealistes et pr´ecis pour toute cette phy-sique. Passons par exemple de NH3`a As H3:
NH3 : V0= 0,25 eV, b= 0,4 ˚A : ν0= 2,4 1010 Hz, As H3 : V0= 1,5 eV, b= 2 ˚A : ν0= 1,6 10−8 Hz.
Un changement d’un facteur 6 dansV0et d’un facteur 5 dansbproduit une d´ecroissance spectaculaire de la fr´equence d’inversion, de 18 ordres de gran-deur ! Ainsi pour As H3, la p´eriode est d’une inversion tous les deux ans, ce qui n’est pas mesurable ; on peut seulement l’estimer th´eoriquement. Autrement dit, As H3, qui semble diff´erer relativement peu de NH3, se comporte comme un ´edifice classique du point de vue du ph´enom`ene qui nous a int´eress´es ici, simplement parce que l’arsenic est un atome 5 fois plus gros que l’azote.
Cl
H
F
Br C
H
C Cl
Br F
Fig. 4.12: Deux isom`eres optiques : peut-on d´etecter l’oscillation tunnel entre ces configurations ?
La stabilit´e de syst`emes n’ayant pas de propri´et´e de sym´etrie d´efinie ap-paraˆıt fr´equemment `a l’´echelle microscopique. Citons, parmi beaucoup d’ex-emples, le cas des isom`eres optiques en chimie organique. L’exemple le plus simple en est la mol´ecule C H Cl F Br. La structure t´etra´edrique des liaisons du carbone fait que deux configurations non superposables de cette mol´ecule
2C.H. Townes et A.L. Schawlow,Microwave Spectroscopy, chapitre 12, McGraw-Hill.
peuvent exister. Elles sont repr´esent´ees sur la figure 4.12 et sont appel´ees isom`eres optiques. De tels types de mol´ecules ont des propri´et´es optiques (pouvoir rotatoire), chimiques, et biologiques diff´erentes.
La situation ´etant en tous points semblable `a celle de la mol´ecule NH3, la mol´ecule devrait osciller d’une configuration `a l’autre. Or ces deux types de mol´ecules sont parfaitement stables en pratique. L’explication est que le tempsT d’oscillation est extrˆemement grand dans ce cas et que l’on ne peut pas d´etecter cette oscillation.
Pour en savoir plus
– La d´emarche de Planck pour expliquer les spectre du corps noir est pr´esent´ee en d´etail par J. Mehra et H. Rechenberg, The Historical De-velopment of Quantum Theory, volume 1, chapitre 1, Springer-Verlag (1982).
– Le principe et les applications du pi`ege de Penning sont pr´esent´es par L.S. Brown et G. Gabrielse,Geonium theory : Physics of a single electron or ion in a Penning trap, Rev. Mod. Phys.58, p. 223 (1986). Voir aussi G. Gabrielse,Des antiprotons ultra-froids, Pour la Science, f´evrier 1993.
– Potentiels carr´es en physique des semi-conducteurs : M.A. Reed, Les boˆıtes quantiques, Pour la Science p. 79, mars 1993 ; L.L. Chang et L.
Esaki, Semiconductor Quantum Heterostructures, Physics Today, 45, p. 36 (1992) ; E. Rosencher, Les puits quantiques et la d´etection infra-rouge, La Recherche, p. 1270, novembre 1992 ; E. Rosencher et B. Vinter, Opto´electronique, Masson (Paris, 1998) ; C. Weisbuch, L’invention des puces ´electroniques, La Recherche p. 18, d´ecembre 2000.
Exercices
1. Relations d’incertitude pour l’oscillateur harmonique. A partir des relations de r´ecurrence des fonctions de Hermite (4.18), montrer que, dans un ´etat d’´energieEn donn´e par (4.16) on a x= p= 0. Calculer x2 et p2 et montrer que l’´energie de point z´ero ¯hω/2 est indispensable pour pr´eserver les relations d’incertitude.
2. Evolution d’un oscillateur unidimensionnel. Soit un oscillateur har-monique d’hamiltonien ˆH = ˆp2/2m+mω2xˆ2/2 et ses deux premi`eres fonctions d’onde normalis´ees φ0(x) et φ1(x). Consid´erons un syst`eme qui `a t = 0 est d´ecrit par la fonction d’onde :
ψ(x, t= 0) = cosθ φ0(x) + sinθ φ1(x) avec 0≤θ < π . a. Quelle est la fonction d’ondeψ(x, t) `a l’instantt ?
b. Calculer les valeurs moyennes E, E2et ∆E2= E2 − E2. Expli-quer leur d´ependance en temps.
c. Calculer l’´evolution dans le temps de x, x2et ∆x.
6 . Applications du mod`ele du double puits 101 3. Oscillateur harmonique `a trois dimensions. On consid`ere une par-ticule de massem`a trois dimensions et l’hamiltonien ˆH = ˆp2/2m+mω2ˆr2/2 o`u ˆr2= ˆx2+ ˆy2+ ˆz2.
a. Quels sont les niveaux d’´energie et leur d´eg´en´erescence ? b. Que deviennent ces r´esultats pour un potentiel anisotrope
V =m
ω12x2+ω22y2+ω32z2 /2 ?
4. Puits infini `a 1 dimension. Soit un puits infini de largeura:V(x) = 0 pour 0< x < aet V =∞autrement.
a. Montrer que dans l’´etat propreψn(x), on a x=a/2 et ∆x2=a2(1− 6/n2π2)/12.
b. Soit la fonction d’ondeψ(x) =Ax(a−x).
(i) Quelle est la probabilit´epn de trouver la particule dans len-i`eme
´etat propre de l’´energie ?
(ii) Calculer, `a partir de ces probabilit´es, les valeurs moyennes E et E2pour cette fonction d’onde.
On rappelle que ∞
k=0(2k+ 1)−2n = π2/8 pour n = 1, π4/96 pour n= 2, π6/960 pourn= 3.
c. V´erifier, en appliquant sans pr´ecaution le principe sur les observables, c’est-`a-dire ˆH2 = (¯h2/2m)2d4/dx4 dans la d´efinition de E2, que l’on obtient le r´esultat absurde ∆E2<0. Quelle en est la raison ?
5. ´Etats isotropes de l’atome d’hydrog`ene. Les niveaux d’´energie des
´
etats `a sym´etrie sph´erique de l’atome d’hydrog`ene s’obtiennent par le calcul `a une dimension suivant. On consid`ere un ´electron de massemdans un potentiel V(x) tel que :V =∞six≤0,V =−A/xsix >0, o`uA=q2/4πε0, et qest la charge ´el´ementaire. On posera α=q2/(4πε0¯hc) = 1/137 (constante sans dimension) o`u cest la vitesse de la lumi`ere.
a. Montrer que la fonction d’ondeψ(x) =C x e−x/apourx≥0 etψ(x) = 0 pour x <0, est fonction propre de l’hamiltonien pour une valeur de a que l’on d´eterminera. Calculer la valeur propreE correspondante. On exprimeraE etaen fonction dem,α, ¯het c.
b. Calculer num´eriquement Eet a.
On pourra prendremc2= 5,11 105 eV et ¯hc= 197 eV nm.
c. D´eterminer la constante de normalisationC en fonction dea.
d. Calculer la valeur moyenne de 1/xdans l’´etat|ψet en d´eduire la valeur moyenne de l’´energie potentielle. Calculer la valeur moyenne de l’´energie cin´etique. Quelle relation, valable en m´ecanique classique, y a-t-il entre ces deux quantit´es ?
6. Potentiels δ.
a. Soit une particule de massemplac´ee dans le potentiel `a une dimension V(x) =α δ(x),α <0. On s’int´eresse aux ´etats li´esE <0.
(i) En supposant (ce que l’on peut d´emontrer) que la fonction d’onde est continue en x = 0, ´ecrire la relation donnant la discontinuit´e de sa d´eriv´ee en int´egrant l’´equation de Schr¨odinger de x=−ε`a x= +ε.
(ii) Combien y a-t-il d’´√ etats li´es, de quelle ´energie ? On posera K =
−2mE/¯h et λ0 = −¯h2/mα. Donner l’expression de la fonction d’onde.
b. Soit un double potentielδ:
V(x) =α(δ(x+d/2) +δ(x−d/2)) .
(i) ´Ecrire la forme g´en´erale des fonctions d’onde pour les ´etats li´es.
Quelle est la condition de quantification ?
(ii) Discuter le nombre d’´etats li´es en fonction de la distanced.
7. Localisation des ´electrons atomiques internes. Estimer pour un solide le temps de passage par effet tunnel d’un site `a l’autre des ´electrons internes tr`es li´es d’un atome complexe (E0=−1 keV).