Nous ´enon¸cons maintenant les postulats g´en´eraux de la m´ecanique quan-tique, valables pour tout syst`eme, et dont la m´ecanique ondulatoire n’est qu’un cas particulier. La seule restriction est que les principes pr´esent´es ici sont rela-tifs aux syst`emes physiques dans un«´etat pur». La notion de«m´elange sta-tistique»est pr´ecis´ee dans l’appendice D. Cette distinction est bien connue en optique : de la lumi`ere compl`etement polaris´ee (lin´eairement, circulairement, etc.) est dans un ´etat pur de polarisation, alors que la lumi`ere partiellement ou non polaris´ee est un m´elange statistique d’´etats de polarisation.
I - Premier principe : principe de superposition
A chaque syst`eme physique est associ´e un espace de HilbertEH. L’´etat du syst`eme est d´efini `a chaque instant, par un vecteur norm´e|ψ(t)deEH.
Ce postulat entraˆıne que toute superposition lin´eaire |ψ = Ci|ψi de vecteurs d’´etat |ψi, avec Ci complexe et
|Ci|2 = 1, est un vecteur d’´etat accessible. Notons que la convention "ψ" = 1 laisse subsister une ind´etermination. Un vecteur d’´etat est d´efini `a un facteur de phase eiδ (δ r´eel) pr`es. Ce facteur de phase est arbitraire car il n’est pas possible de distin-guer|ψeteiδ|ψdans une mesure ou dans l’´evolution de l’´etat. En revanche, les phasesrelatives des diff´erents vecteurs d’´etats du syst`eme sont essentielles.
Si|ψ1=eiδ1|ψ1et|ψ2=eiδ2|ψ2, la superposition d’´etatsC1|ψ1+C2|ψ2 est diff´erente de la superposition C1|ψ1+C2|ψ2.
II - Deuxi`eme principe : mesure des grandeurs physiques a) A toute grandeur physique A est associ´e un op´erateur lin´eaire auto-adjoint ˆA deEH : ˆAest l’observable repr´esentant la grandeurA.
b) Soit |ψ l’´etat dans lequel se trouve le syst`eme au moment o`u l’on effectue la mesure deA. Quel que soit|ψ, les seuls r´esultats possibles sont les valeurs propresaαde l’observable ˆA.
c) Notons ˆPα le projecteur sur le sous-espace associ´e `a la valeur propre aα. La probabilit´e de trouver la valeuraαlors d’une mesure deAest :
P(aα) ="ψα"2 o`u |ψα= ˆPα|ψ. (5.40) d) Imm´ediatement apr`es une mesure de A ayant donn´e la valeur aα, le nouvel ´etat du syst`eme|ψest :
|ψ=|ψα/"ψα" . (5.41)
5 . Principes de la m´ecanique quantique 115 Dans le cas d’une valeur propre aα non-d´eg´en´er´ee, le projecteur Pα est simplement|α α|. Si la valeur propre est de d´eg´en´erescencenα, on introduit comme en§3.3 lesnα´etats propres orthonormaux|α, r, avecr= 1,2, ..., nα, qui engendrent le sous-espace propre Eα. Le projecteur ˆPαsurEα est alors :
Pˆα=
nα
r=1
|α, r α, r| . (5.42)
La relation (5.40) peut s’´ecrire sous les formes ´equivalentes :
P(aα) = ψ|Pˆα|ψ=| ψ|ψα|2. (5.43) Terminologie. On appelleprincipe de quantificationl’´enonc´e II b) et prin-cipe de d´ecomposition spectrale l’´enonc´e II.c). L’´enonc´e II.d) est le principe de r´eduction du paquet d’ondes. C’est la forme quantitative du fait que la mesure perturbe le syst`eme.
Cas de variables `a spectre continu. Dans ce cas, la seule pr´evision ayant un sens est celle relative `a un r´esultat de mesure situ´e `a l’int´erieur d’une plage de valeurs [a, a+da[. On remplace donc la loi de probabilit´e discr`ete (5.40) par une loi continue. Dans le cas de l’observable positionxpar exemple, cette loi continue est :
P(x)dx=|ψ(x)|2dx , (5.44) o`uψ(x) n’est autre que la fonction d’onde introduite au chapitre 2.
Cette loi peut se mettre sous une forme voisine de (5.40) en introduisant les
´etats propres|xde l’op´erateur position (voir l’appendice C) : P(x)dx=|x|ψ|2d x .
Les«´etats»|xne sont pas normalisables et n’appartiennent pas `a l’espace de Hilbert.
Valeur moyenne d’une mesure. Connaissant par le deuxi`eme postulat la probabilit´eP(aα) de trouver la valeuraα lors de la mesure de la grandeur A, on peut calculer la valeur moyenne a des r´esultats de mesure de cette grandeur pour un syst`eme dans l’´etat|ψ. Par d´efinition de la valeur moyenne, on a :
a=
α
aαP(aα) . (5.45)
Parmi les formes ´equivalentes que nous avons donn´ees deP(aα) (voir (5.43)) nous choisissons :P(aα) = ψ|Pˆα|ψ. On obtient donc :
a=
α
aα ψ|Pˆα|ψ. (5.46)
Or, d’apr`es le th´eor`eme spectral (5.29), on sait que
αaαPˆα = ˆA; par cons´equent :
a= ψ|Aˆ|ψ . (5.47)
La proposition (5.36) que nous avons faite au d´ebut de la section 4 en trans-posant directement les principes de la m´ecanique ondulatoire peut donc ˆetre consid´er´ee comme une cons´equence de ce principe II.
III - Troisi`eme principe : ´evolution dans le temps
Soit |ψ(t) l’´etat d’un syst`eme `a l’instant t. Tant que le syst`eme n’est soumis `a aucune observation, son ´evolution au cours du temps est r´egie par l’´equation de Schr¨odinger :
i¯hd
dt|ψ(t)= ˆH|ψ(t), (5.48) o`u ˆH est l’observable ´energie, ou hamiltonien du syst`eme.
Conservation de la norme. La norme "ψ"=
ψ|ψdu vecteur d’´etat d’un syst`eme reste constante au cours du temps. C’est l`a une condition n´ eces-saire de coh´erence de la th´eorie qui d´ecoule de l’hermiticit´e de l’hamiltonien : Hˆ = ˆH†. Pour montrer cette conservation, ´ecrivons la relation (5.48) et son conjugu´e hermitique :
i¯hd
dt|ψ= ˆH|ψ −i¯hd
dt ψ|= ψ|Hˆ†= ψ|Hˆ .
Multiplions la premi`ere relation `a gauche par ψ|et la deuxi`eme `a droite par
|ψpuis soustrayons. Il vient : i¯h
ψ|(d
dt|ψ) + (d
dt ψ|)|ψ = 0 soit d
dt ψ|ψ= 0.
D´ependance en temps d’un vecteur d’´etat. Supposons le syst`eme isol´e, c’est-`a-dire que ˆH ne d´epend pas du temps. Les ´etats propres de l’´energie correspondent aux vecteurs propres de l’op´erateur ˆH :
Hˆ|ψα=Eα|ψα .
Supposons pour simplifier l’´ecriture que les valeurs propres Eα ne sont pas d´eg´en´er´ees. L’ensemble des vecteurs propres|ψαconstitue une base de l’es-pace EH suivant laquelle nous pouvons d´evelopper un vecteur d’´etat quel-conque|ψ. Soit `a t= 0 :
|ψ(t= 0)=
α
Cα|ψα avec Cα= ψα|ψ(t= 0) . On aura `a l’instantt:
|ψ(t)=
α
λα(t)|ψα avec λα(0) =Cα .