r|ψ(r)|2d3r . (2.3) Il s’agit d’un ensemble de trois valeurs pour les trois coordonn´ees{x, y, z}.
La dispersion des r´esultats sera caract´eris´ee par un ´ecart type, ou ´ecart quadratique moyen. Soient ∆x,∆yet ∆z les ´ecarts quadratiques sur les trois coordonn´ees ; on a par d´efinition :
(∆x)2= x2 − x2=
x2|ψ(r)|2d3r− x2 , (2.4) et de mˆeme pour ∆y et ∆z. Plus ces ´ecarts sont faibles, meilleure est la localisation de la particule quand elle est pr´epar´ee dans l’´etatψ(r).
2 Interf´ erences et principe de superposition
Comme nous le voyons, la fonction d’onde nous fournit une description probabiliste des ph´enom`enes quantiques. Les propri´et´es fondamentales des fonctions d’onde proviennent de l’observation des ph´enom`enes d’interf´erences.
2.1 Ondes de de Broglie
Reprenons l’exp´erience d’interf´erences des atomes. L’id´ee la plus simple consiste `a supposer que des particules monocin´etiques, de vitessev et d’im-pulsionp = mv, libres dans l’espace, sont d´ecrites par une fonction d’onde voisine d’une onde plane monochromatique de la forme :
ψ(r, t) =ψ0ei(k·r−ωt) , (2.5)
2. Interf´erences et principe de superposition 37 o`uψ0 est une constante. Pour ces ondes planes, la longueur d’ondeλ=h/p et, de fa¸con ´equivalente, le vecteur d’ondek satisfont les relations :
λ=h/p k=p/¯h , (2.6)
comme pr´evu par Louis de Broglie. En appliquant les arguments habituels qui expliquent les interf´erences acoustiques ou lumineuses, cela doit permettre d’expliquer les observations exp´erimentales.
Une exp´erience d’interf´erences (fentes d’Young ou diffraction par un cris-tal) ne donne pas la pulsation de cette onde. Le facteur de phase e−iωt se factorise dans l’amplitude et le signal mesur´e ne d´epend pas de la valeur de ω. Le bon choix, compris par Louis de Broglie en 1923, consiste `a relier cette pulsation `a l’´energie de la particule de la mˆeme fa¸con que pour les photons d’Einstein, c’est-`a-dire :
¯
hω=E avec pour une particule libre E=p2/2m . (2.7) On obtient ainsi ce qu’on nomme des ondes de de Broglie:
ψ(r, t) =ψ0ei(p·r−Et)/¯h avec E=p2/2m . (2.8) 2.2 Le principe de superposition
Reprenons l’exp´erience d’interf´erences par trous d’Young de la figure 1.2.
En proc´edant par analogie avec les ph´enom`enes d’interf´erences habituels, nous pouvons expliquer le ph´enom`ene si la condition suivante est satisfaite. Nous envoyons une onde de Broglie sur l’´ecran perc´e de deux fentes. Supposons que nous connaissions l’onde diffract´ee `a droite par la fente S1, c’est-`a-dire la fonction d’ondeψ1(rC, t) en tout pointrC de l’´ecran de d´etection lorsque seule la fente S1 est ouverte. De mˆeme, supposons que nous connaissions la fonction d’onde ψ2(rC, t) diffract´ee par la fente S2 seule. On rendra compte du ph´enom`ene d’interf´erence `a condition que, lorsque les deux fentes sont ouvertes, la fonction d’onde sur l’´ecran soit la somme de ces deux fonctions d’onde :
ψ(rC, t)∝ψ1(rC, t) +ψ2(rC, t). (2.9) Si cette condition est satisfaite, les ondes de de Broglie rendront effectivement compte de l’exp´erience d’interf´erences d´ecrite au chapitre pr´ec´edent.
L’´equation (2.9) exprime la propri´et´e fondamentale des fonctions d’onde.
Nous l’´elevons au rang de principe de la m´ecanique quantique.
Principe de superposition
Toute combinaison lin´eaire de fonctions d’onde est ´egalement une fonction d’onde possible.
Autrement dit, si ψ1(r, t) et ψ2(r, t) d´ecrivent des ´etats possibles, alors toute combinaison lin´eaire :
ψ(r, t)∝α1ψ1(r, t) +α2ψ2(r, t), (2.10) o`u α1 etα2 sont des nombres complexes arbitraires, repr´esente aussi un ´etat possible ; le coefficient de proportionnalit´e dans (2.10) doit ˆetre ajust´e de telle fa¸con que la condition de normalisation (2.2) soit satisfaite.
Il s’agit l`a du principe central de la th´eorie quantique. L’additivit´e des amplitudes de probabilit´e est `a la base des ph´enom`enes d’interf´erences. Cette propri´et´e va au del`a de la forme particuli`ere de l’´equation d’onde que satisfont les fonctions d’onde ψ(r, t), et que nous verrons ci-dessous. Cette ´equation doit ˆetre lin´eaire de fa¸con que le principe de superposition soit satisfait `a tout instant. En g´en´eralisant la m´ecanique ondulatoire `a d’autres syst`emes que le point mat´eriel, nous verrons que cette propri´et´e est plus importante que la notion de fonction d’onde elle-mˆeme. En termes math´ematiques, elle signifie que la famille des fonctions d’onde d’un syst`eme donn´e forme un espace vectoriel.
2.3 L’´equation d’onde dans le vide
Consid´erons les ondes de de Broglie de l’´equation (2.8). Ces ondes planes particuli`eres d´ecrivent des particules d’impulsion bien d´efinie p et d’´energie E=p2/2m. En d´erivant par rapport au temps d’une part, et en prenant le la-placien de l’autre, nous voyons que les ondes de de Broglie satisfont l’´equation aux d´eriv´ees partielles :
i¯h∂
∂tψ(r, t) =−¯h2
2m∆ψ(r, t) .
De la mˆeme fa¸con que le principe d’inertie en m´ecanique classique, nous pouvons consid´erer cette ´equation comme un principe qui dicte la propagation de particules dans le vide, en l’absence de forces.
Principe IIa : mouvement d’une particule libre
Si la particule est dans le vide et ne subit aucune interaction, la fonction d’onde satisfait l’´equation aux d´eriv´ees partielles :
i¯h∂
∂tψ(r, t) =−¯h2
2m∆ψ(r, t) . (2.11)
Cette ´equation n’est autre que l’´equation de Schr¨odinger en l’absence de forces, comme nous le verrons en§5. On notera que c’est bien une ´equation lin´eaire, en accord avec le principe de superposition.
2. Interf´erences et principe de superposition 39 Relation ´energie-fr´equence. La relation (2.7) peut ˆetre ´egalement obte-nue en ´ecrivant que l’onde plane (2.5) satisfait l’´equation d’onde (2.11). En effet, si nous ins´erons la structure de l’onde plane (2.5) dans cette ´equation d’onde, nous obtenons la contrainte :
¯
hω= ¯h2k2 2m = p2
2m .
Il y a par cons´equent deux fa¸con ´equivalentes d’´etablir la dynamique des fonctions d’onde dans le vide. On peut supposer que toute fonction d’onde ψ est superposition lin´eaire d’ondes de de Broglie (2.8) ; on d´emontre alors queψsatisfait l’´equation d’onde (2.11). On peut aussi postuler l’´equation de Schr¨odinger dans le vide, et en d´eduire les ondes planes de de Broglie comme solutions particuli`eres.
Ph´enom`enes d’interf´erences. D’un point de vue math´ematique, l’ex-p´erience d’interf´erences des trous d’Young s’explique en r´esolvant l’´equation d’onde (2.11) :
i¯h∂ψ
∂t =−¯h2 2m∆ψ , avec les conditions aux limites suivantes.
1. La fonction d’ondeψ(r) = 0 s’annule en tout point de l’´ecran, hormis
On montre en math´ematiques que cela constitue un probl`eme bien pos´e, ayant une solution et une seule. La r´esolution du probl`eme est complexe et n´ecessite des calculs sur ordinateur, mais on montre analytiquement qu’`a grande distance de l’´ecran (D a) et pour des angles θ = x/D faibles, la formule habituelle des interf´erences s’applique.
Conservation de la norme. Soit `a t0 une fonctionψ(r, t0) normalis´ee `a un. Cette fonction d´ecrit un ´etat possible de la particule `a t0, et l’´equation d’onde (2.11) permet de calculerψ(r, t) `a tout autre instant. On v´erifie que la quantit´e
|ψ(r, t)|2d3rest conserv´ee au cours du temps (2.11). Cela garantit que ψ reste normalis´e `a tout instant, ce qui est bien entendu essentiel pour l’interpr´etation probabiliste de|ψ(r, t)|2. Pour d´emontrer ce r´esultat, d´erivons par rapport au temps :
o`u nous supposons implicitement qu’une int´egration par parties est faite `a la derni`ere ´etape et queψetψ∗s’annulent `a l’infini.