Equation du mouvement classique pour l’oscillateur harmonique

On consid`ere un oscillateur harmonique V(x) = mω<sup>2</sup>x<sup>2</sup>/2. Montrer que le th´eor`eme d’Ehrenfest conduit exactement `a l’´equation du mouvement clas-sique :

d² x

dt² =−ω² x.

4. Loi de conservation. On consid`ere un syst`eme de deux particules in-teragissant par le potentiel V(r1−r2). Montrer que l’impulsion totale est conserv´ee. Etendre cette propri´et´e au cas denparticules.

5. Fonctions de Hermite. A partir de (7.37) et de la d´efinition de ˆa et ˆ

a^†, montrer les relations suivantes entre fonctions de Hermite : ˆ 6. Relations d’incertitude g´en´eralis´ees.

a. On consid`ere `a trois dimensions une fonction r´eelle f(r) de la variable r=

– Ajouter les relations correspondantes pour ˆA_y et ˆA_z; en d´eduire une in´egalit´e reliant p², r²f², fet rf, valable pour toute fonction f et tout ´etat|ψ.

5 . L’oscillateur harmonique 165 c. En consid´erant les choix f = 1, f = 1/r, et f = 1/r², d´emontrer les

relations suivantes : p² r² ≥ 9

4¯h² , p² ≥¯h² 1

r² , p² ≥ ¯h² 4

1 r² . d. Oscillateur harmonique.L’hamiltonien d’un oscillateur harmonique

tri-dimensionnel s’´ecrit ˆH= ˆp²/2m+mω²ˆr²/2.

– En utilisant la premi`ere in´egalit´e, trouver une borne inf´erieure `a l’´ ener-gie de l’´etat fondamental de cet oscillateur, et expliquer pourquoi cette borne est en fait ´egale `a l’´energie du fondamental.

– Ecrire et r´esoudre l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonction d’onde de l’´etat fondamental.

e. Atome d’hydrog`ene. L’hamiltonien de l’atome d’hydrog`ene s’´ecrit, en consid´erant que la masse du proton est tr`es grande devant la masse de l’´electron :

Hˆ = pˆ² 2me−e²

r o`u nous avons pos´e pour simplifiere²=q²/4π3₀.

– En utilisant la deuxi`eme in´egalit´e, trouver une borne inf´erieure `a l’´energie du niveau fondamental de l’atome d’hydrog`ene, et expliquer pourquoi cette borne est en fait ´egale `a l’´energie du fondamental.

– Ecrire et r´esoudre l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonction d’onde de l’´etat fondamental de l’atome d’hydrog`ene.

7. Etats quasi-classiques (ou «coh´erents») de l’oscillateur harmo-nique. On consid`ere un oscillateur harmonique unidimensionnel de pulsa-tionω et on ´etudie les ´etats propres|αde l’op´erateur annihilation :

ˆa|α=α|α

o`uαest un nombre complexe. On d´eveloppe|αsur la base{|n}:

|α=

n

Cn|n . a. D´etermination deα:

(i) Ecrire une relation de r´ecurrence entre les coefficientsCn. (ii) ExprimerC_n en fonction du premier coefficientC₀. (iii) Calculer les coefficientsCn en normalisant|α.

(iv) Quelles sont les valeurs possibles pourα?

(v) On effectue une mesure d’´energie sur l’´etat |α; quelle est la pro-babilit´e de trouver la valeurE_n= (n+ 1/2)¯hω?

b. On consid`ere un ´etat|α. En partant de l’expression de l’hamiltonien et de la d´efinition de cet ´etat :

(i) Calculer la valeur moyenne E.

(ii) Calculer la valeur moyenne du carr´e de l’´energie E² (utiliser le commutateur de ˆaet ˆa^†).

(iii) En d´eduire la valeur de la dispersion en ´energie ∆E.

(iv) Pourquoi peut-on dire que l’´energie est de mieux en mieux d´efinie quand|α| 1 ?

c. Calculer x,∆x, p,∆pdans un ´etat|α. Que vaut le produit ∆x∆p? d. On suppose que l’´etat initial (t= 0) de l’oscillateur est|α.

(i) Ecrire l’´etat|ψ(t)du syst`eme `a l’instantt.

(ii) Montrer que l’´etat|ψ(t)est encore un ´etat propre de ˆaet d´eterminer la valeur propre correspondante.

(iii) On poseα=α₀e^iφ avecα₀ r´eel positif. Quelles sont `a l’instant t les valeurs de x, pet ∆x∆p?

e. On cherche maintenant les fonctions d’onde correspondant `a|α.

(i) Montrer que le changement de variables faisant passer dexetp`a X etP conduit `a l’expression suivante pour l’op´erateur ˆP agissant sur des fonctions d’ondeψ(X, t) :

Pˆ =−i ∂

∂X .

Donner l’expression correspondante pour l’op´erateur ˆX agissant sur des fonctionsϕ(P, t).

(ii) Calculer la fonction d’ondeψα(X) de l’´etat|α.

(iii) Calculer la transform´ee de Fourierϕ_α(P) de cette fonction d’onde.

(iv) A partir de la d´ependance temporelle de|ψα(X, t)|²et|ϕα(P, t)|², expliquer les r´esultats pr´ec´edents.

8. Relation d’incertitude temps-´energie. On consid`ere un syst`eme pr´ e-par´e dans un ´etat |ψ dont la dispersion en ´energie vaut ∆E. On consid`ere d’autre part une observable ˆAde valeur moyenne aet de dispersion ∆a. En utilisant les relations de commutation, montrer l’in´egalit´e suivante :

∆a∆E≥ ¯h 2

d a dt

.

En d´eduire que si l’´echelle de temps typique d’´evolution d’un syst`eme est d´efinie parτ=|∆a/(d a/dt)|, on a l’in´egalit´eτ∆E≥¯h/2 .

9. Th´eor`eme du viriel. On consid`ere un syst`eme unidimensionnel d’ha-miltonien ˆH = ˆp<sup>2</sup>/2m+V(ˆx), o`uV(x) =λxⁿ.

a. Calculer le commutateur [ ˆH,xˆˆp].

5 . L’oscillateur harmonique 167 b. En prenant la valeur moyenne de ce commutateur, montrer qu’on a pour

tout ´etat propre de ˆH la relation :

2 T=n V,

o`u ˆT = ˆp²/2m est l’op´erateur ´energie cin´etique. V´erifier cette relation pour l’oscillateur harmonique.

c. G´en´eraliser ce r´esultat au cas tridimensionnel en calculant [ ˆH,ˆr·ˆp] pour un potentielV(r) qui est une fonction homog`ene des variables x, y, z, de degr´en. Une fonction homog`ene de degr´ensatisfaitV(αx, αy, αz) = αⁿV(x, y, z) etr·∇V =nV.

d. Montrer pour un potentielV(r) quelconque la relation : 2 T= r∂V

∂r .

10. Mol´ecules de benz`ene et d’oct`ene. On consid`ere les ´etats d’un

´

electron dans une mol´ecule hexagonale C6 form´ee de 6 atomes ´equidistants.

On note d la distance entre deux atomes voisins. On d´esigne par |ξn, n = 1, . . . ,6 les ´etats de l’´electron localis´es respectivement au voisinage des atomes n= 1, . . . ,6. On suppose que ξn|ξm=δn,m. L’hamiltonien ˆH de ce syst`eme est d´efini dans la base{|ξn}, par ˆH =E0Iˆ+ ˆW, o`u ˆI est la matrice identit´e, et ˆW est d´efini par :

Wˆ|ξ_n=−A(|ξ_n+1+|ξ_n−1)

avecA >0. Nous utilisons ici les conditions cycliques|ξ₇ ≡ |ξ₁et|ξ₀ ≡ |ξ₆. On note |ψ_n(n= 1, . . . ,6) les ´etats propres de ˆW et E_n les valeurs propres correspondantes. Pour simplifier, on choisit l’origine des ´energies telle que E₀= 0.

On d´efinit l’op´erateur de rotation ˆRpar ˆR|ξn=|ξn+1. a. Quelles sont les valeurs propresλ_k (k= 1, . . . ,6) de ˆR? b. On note|φk=6

p=1ck,p|ξple vecteur propre de ˆRassoci´e `aλk. Ecrire la relation de r´ecurrence pour les coefficientsck,p et d´eterminer ces co-efficients en normalisant|φ_k.

c. V´erifier que les vecteurs|φ_kforment une base orthonorm´ee de l’espace

`

a 6 dimensions consid´er´e.

d. V´erifier que ces mˆemes vecteurs|φksont vecteurs propres de l’op´erateur Rˆ⁻¹ = ˆR^† d´efini par ˆR⁻¹|ξn =|ξn−1et calculer les valeurs propres correspondantes.

e. Montrer que ˆW et ˆR commutent. Quelle conclusion peut-on en tirer ? f. Exprimer ˆW en fonction de ˆRet ˆR⁻¹. En d´eduire les vecteurs propres de

Wˆ et les valeurs propres correspondantes. Discuter les d´eg´en´erescences des niveaux.

g. On consid`ere maintenant une chaˆıne ferm´ee de huit atomes r´epartis r´eguli`erement (mol´ecule d’oct`ene).

(i) En utilisant une m´ethode semblable `a celle qui pr´ec`ede, donner les niveaux d’´energie d’un ´electron en mouvement sur cette chaˆıne.

Quelle est la d´eg´en´erescence de ces niveaux ?

(ii) At= 0 l’´electron est localis´e sur le siten= 1 : |ψ(t= 0)=|ξ₁. Calculer la probabilit´ep₁(t) de trouver l’´electron sur le site n= 1

`

a un instantt ult´erieur ; on poseraω=A/¯h.

(iii) Existe-t-il un instantt= 0 pour lequelp₁(t) = 1 ? La propagation d’un ´electron sur cette chaˆıne est-elle p´eriodique ?

h. On consid`ere maintenant un ´electron sur une chaˆıne ferm´ee deNcentres

´

equidistants, la distance entre deux voisins ´etant encore not´eed. On note

|ξ_nles ´etats localis´es au voisinage de chaque centren= 1, . . . , N. L’ha-miltonien est d´efini comme ci-dessus par ˆH =E₀Iˆ+ ˆW avec ˆW|ξ_n=

−A(|ξn+1+|ξ_n−1) etA >0. En ´etendant le raisonnement qui pr´ec`ede, calculer les niveaux d’´energie et les ´etats propres correspondants. Que se passe-t-il dans la limite d’une chaˆıne de longueur infinie ?

Chapitre 8