Stabilisation d'un état de Fock

II.2.2.a Trajectoires quantiques

Simulons dans un premier temps une trajectoire quantique individuelle pour laquelle, partant du champ cohérent α₀ =√

3, nous cherchons à préparer l'état de Fock |nc= 3i. Les paramètres de la simulation sont les suivants.

Relaxation Le temps de vie d'un photon dans la cavité est Tcav = 65 ms, et le champ

thermique environnant contient nth = 0, 05 photon en moyenne ;

Préparation atomique En moyenne na= 0, 2 atomes sont préparés tous les Ta= 82 µs,

à une vitesse v = 250 m · s−1. À cette vitesse, la boucle a un retard de Nr = 4atomes ; Mesure Le déphasage par photon utilisé est φ0 = π/4, et la phase des franges de Ramsey est choisie telle que πe(n_c= 3) = 0, 5, soit φr = ϕ_r(3). Nous considérons par ailleurs des franges de contraste unité et sans décalage ;

Espace de Hilbert Pour la matrice densité estimée, les calculs sont faits avec un espace de Hilbert de taille N = 9, soit 8 photons au maximum dans la cavité. Cela correspond au choix que nous aurons à faire expérimentalement. En revanche, pour le calcul de la matrice densité réelle ρ(R), nous utilisons N = 22 de sorte à s'aranchir autant que faire se peut de toute approximation, notamment lors du calcul du déplacement : la troncature de l'espace doit se faire à des nombres de photons pour lesquels la population hn|ρ(R)|ni est négligeable ;

Injections cohérentes L'injection maximale autorisée est αmax = 0, 1. Nous utiliserons (voir III.2.1) par ailleurs une borne inférieure sur l'amplitude de la correction opérée, et nous incorporons donc cette limite dans la simulation : αmin = 0, 001;

Lois de contrôle Pour la loi de contrôle Distance, nous utiliserons les paramètres :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8

Γ⁽³⁾nn 0, 69 0, 45 0, 21 0 0, 26 0, 48 0, 66 0, 81 1

. (II.97)

Pour le contrôle Fidélité, le seuil est xé à  = 0, 1.

Les gures II.8 et II.9 donnent les résultats de deux simulations7 de trajectoires quan-tiques obtenues avec les lois de contrôle Fidélité et Distance respectivement. Sur chacune d'elles, la trajectoire quantique est stoppée au bout de 164 ms, correspondant à 2000 préparations atomiques. Nous traçons, de haut en bas :

 le résultat des détections atomiques,

 la distance à l'état cible calculée à partir de la matrice densité estimée ρk,

 les amplitudes des injections cohérentes, en échelle logarithmique (sgn(α) log |α|),  les probabilités P_est(n_c) et P_réel(n_c) d'avoir nc photons (en vert), P_est(n > n_c) et

P_réel(n > nc) d'en avoir plus (en bleu), et Pest^{(n < n}c) et Préel^{(n < n}c) d'en avoir moins (en rouge), pour l'état estimé (en traits pleins) et pour l'état réel (en pointillés) respectivement.

a

b

c

d

e

Figure II.8  Contrôle Distance : Trajectoire quantique individuelle de durée 164 ms préparant et préservant l'état nombre |nc = 3i. a. Résultats des détections atomiques : une barre rouge vers le haut correspond à un atome dans |ei, une barre bleue vers le bas à |gi. b. Distance d(ρc = |3ih3|, ρ)calculée pour la matrice densité estimée et la loi de contrôle Distance. c. Amplitude des injections cohérentes en échelle logarithmique signée (sgn(α) log |α|). d. Tracé de Pest(n_c = 3, t) (vert), Pest(n > 3, t) (bleu) et Pest(n < 3, t) (rouge). e. Tracé de Préel⁽ⁿc= 3, t) (vert), Préel^{(n > 3, t)} (bleu) et Préel^{(n < 3, t)}(rouge).

a

b

c

d

e

Figure II.9  Contrôle Fidélité : Trajectoire quantique individuelle préparant et pré-servant l'état nombre |nc = 3i. a. Résultats des détections atomiques : une barre rouge vers le haut correspond à un atome dans |ei, une barre bleue vers le bas à |gi. b. Distance d(ρc= |3ih3|, ρ) calculée pour la matrice densité estimée et la loi de contrôle Fidélité. c. Amplitude des injections cohérentes en échelle logarithmique signée (sgn(α) log |α|). d. Tracé de Pest(n_c = 3, t) (vert), Pest(n > 3, t) (bleu) et Pest(n < 3, t) (rouge). e. Tracé de P_réel(nc = 3, t) (vert), Préel^{(n > 3, t)}(bleu) et Préel^{(n < 3, t)} (rouge).

temps de l'ordre de 5 ms, pendant lesquelles des corrections exponentiellement décroissantes sont réalisées. La distance à l'état cible tombe alors à une valeur basse, et la régulation s'arrête. La boucle de rétroaction a préparé l'état de Fock désiré.

À environ t = 27 ms, le champ subit un saut quantique vers |2i. Il se caractérise par un brusque changement des populations P_réel. Si jusqu'à présent, P_est était relativement proche du champ réel, ce n'est plus le cas juste après le saut quantique. Il faudra quelques millisecondes au ltre quantique pour réaliser qu'il y a eu un saut, après quoi la distance à l'état cible raugmente, réactivant ainsi la régulation. Pendant toute cette période, les distributions réelles et estimées sont à nouveau très proches, prouvant ainsi que le ltre quantique est ecace y compris quand les injections micro-ondes sont nombreuses. Notons alors que malgré l'apparition d'un second saut quantique au cours de la correction, à t = 39 ms, la boucle de rétroaction est nalement capable, en un peu moins de 20 ms ici, de restituer l'état de Fock désiré. Les deux sauts quantiques ultérieurs, à t ∼ 75 ms et t ∼ 140 ms, sont corrigés de la même façon.

II.2.2.b Régime stationnaire

Nous simulons Nt = 1000 telles trajectoires quantiques pour chacune des deux lois de contrôle. Nous cherchons tout d'abord à en extraire la distribution des nombres de photons dans l'état stationnaire de la rétroaction. Pour cela, pour chacune des Nt trajectoires ainsi obtenues, nous moyennons les distributions Pestet Préelsur toute la trajectoire, exceptés les 200 premiers paquets atomiques, i.e. à partir de t0 = 16 ms. Ces Ntdistributions moyennes obtenues sont nalement moyennées entre elles, et le résultat est donné gure II.10. Nous y traçons sur le même graphe les distributions moyennées réelles et estimées (points et histogrammes respectivement), ainsi que la distribution initiale correspondant au champ cohérent |α0i.

Aussi bien pour le contrôle Distance que pour le contrôle Fidélité, les distributions obtenues sont clairement sub-poissoniennes, avec notamment :

hP_est(n_c= 3)i = 64% pour le contrôle Distance,

= 63% pour le contrôle Fidélité.

Les simulations prédisent donc, qu'en moyenne, la boucle de rétroaction quantique décrite dans ce chapitre est bel et bien capable de préserver l'état de Fock |nc = 3i, le champ y restant plus de 60% de son temps, sur un intervalle de temps plus de 7 fois plus long que son temps de vie.

Au vu des délités estimées Pest(3) il semble par ailleurs que le contrôle Fidélité et le contrôle Distance sont aussi ecaces l'un que l'autre. Deux remarques doivent toutefois être faites.

(a) Contrôle Distance (b) Contrôle Fidélité

Figure II.10  Populations moyennes pour une boucle de rétroaction en régime station-naire. Les histogrammes correspondent aux prédictions de la matrice densité estimée, les points à celles de la matrice densité réelle. La ligne continue correspond à la distribution des nombres de photons dans le champ cohérent initial α =√

3.

 Après un processus de moyenne, les distributions hPesti et hP_réeli doivent être iden-tiques : une diérence traduirait un défaut du ltre quantique. Or si l'accord est excellent avec le contrôle Distance, il n'en est rien avec le contrôle Fidélité : P_réel(n_c) = 55%contre les 63% annoncés par le ltre. En y regardant de plus près, il apparaît que pour cette loi de contrôle, la probabilité (réelle) d'avoir plus de 8 pho-tons dans la cavité est de près de 10%, alors qu'elle est négligeable avec la contrôle Distance. Une des dérives du contrôle Fidélité semble donc être une tendance à injecter trop de photons dans la cavité, ce que le ltre quantique, avec son espace de Hilbert de taille limitée, ne peut pas suivre. Une solution consisterait à ajouter un critère supplémentaire lors du calcul de la correction à appliquer :

 Si hni > nc+ 1, 5, plus aucune correction n'est appliquée ;  Le calcul des corrections standard reprend dès que hni < nc+ 1.

 Même si nous oublions pour un temps ce défaut, les distributions estimées pour les deux lois de contrôle, qui partagent la même délité à la cible, sont diérentes si nous comparons leurs déviations standards σ : 0, 30 pour le contrôle Distance contre 0, 45 pour le contrôle Fidélité. Cela se traduit pour cette dernière par des populations des nombres de photons n très diérents de nc, i.e. |n − nc| ≥ 2, plus élevées. C'est particulièrement le cas pour Pest(7), de plus de 2% avec le contrôle Fidélité contre moins de 0, 4% avec le contrôle Distance. Notons que le fait que P (7) soit plus élevé que P (6) ou P (5) par exemple peut s'expliquer par le fait qu'il s'agit, comme nous l'avons déjà vu, du nombre de photons mesuré de la même

(a) Contrôle Fidélité, et ajustement

exponen-tiel de paramètre τ = (1, 95 ± 0, 02) ms. ^{(b) Contrôle Distance, et ajustement exponen-}tiel de paramètre τ = (1, 92 ± 0, 02) ms.

Figure II.11  Évolution temporelle de la distribution Pest moyennée sur 1000

trajec-toires quantiques individuelles. Pest(n_c = 3, t) est tracé en vert, Pest(n > n_c, t) en bleu et P_est(n < n_c, t)en rouge. La courbe noire est un ajustement exponentiel de P (nc), de temps caractéristique τ donné dans les sous-légendes.

façon que la cible (πg(φ_r= ϕ_r(3)|3) = π_g(ϕ_r(3)|7)).

Ainsi, l'analyse des distributions stationnaires obtenues semble plaider en faveur de la loi de contrôle Distance.

Nous traçons nalement gure II.11 l'évolution temporelle, aux temps courts, de la distribution Pest moyennée sur les mêmes 1000 trajectoires quantiques individuelles pour les deux lois de contrôle. Nous mettons ainsi en évidence le temps nécessaire à la rétroaction pour atteindre son état stationnaire à partir du champ cohérent |α0i. Aussi bien pour le contrôle Distance que pour le contrôle Fidélité, Pest(n_c, t) est bien ajusté par une exponentielle décroissante, de temps caractéristique de l'ordre de τ = 2 ms. Les 500 µs initiales où la distribution n'évolue quasiment pas correspondent au temps moyen nécessaire à détecter un atome t1 = T_a/n_a = 410 µs.