Formalisme et notations

I.2.1.a Atome à deux niveaux et spin 1/2

L'analogie entre un système quantique à deux niveaux, et a fortiori entre les atomes à deux niveaux dont nous voulons nous servir, et un spin 1/2 est totale. Le formalisme associé [87, 30] peut alors être intégralement utilisé : les deux niveaux communément notés |ei ≡ |+i_z et |gi ≡ |−i_z, états excité et fondamental respectivement, sont les états propres du hamiltonien Hat :

H_at = ^hνat

2 ^σz, (I.27)

où νat est la fréquence de la transition |gi ←→ |ei, et σz l'un des trois opérateurs de Pauli qui, avec l'unité 1at, forment une base de l'espace des opérateurs sur le système à deux niveaux. Ils s'écrivent dans la base {|ei, |gi}

σ_x = 0 1 1 0  σ_y = 0 −i i 0  σ_z = 1 0 0 −1  . (I.28)

Figure I.6  Représentation de l'état d'un système à deux niveaux sur la sphère de Bloch. Par analogie, nous dénissons donc le pseudo-spin atomique S = ~σ/2, où σ est le vecteur de composantes σx, σy et σz.

Notons que nous avons choisi ici sans perte de généralité de xer comme origine des énergies la moyenne des énergies des niveaux |ei et |gi :

E_e+ E_g

2 ≡ 0. (I.29)

Un état quelconque |ψi de l'atome à deux niveaux est décrit par la donnée de deux angles 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ ϕ ≤ 2π en s'écrivant sous la forme

|ψi = cos^θ

2|ei + eiϕsin^θ

2|gi. (I.30)

Une représentation géométrique simple peut alors être utilisée : la sphère de Bloch [38]. Un état de l'atome à deux niveaux de paramètres (θ, ϕ) y est représenté par un vecteur unitaire u de coordonnées sphériques (θ, ϕ) (voir gure I.6). Cet état est noté |+i_u par analogie avec les états |±i_i=x,y,z, l'état |−i_u = |+i_−u lui étant orthogonal.

Nous introduisons nalement les opérateurs de création et de destruction d'excitation atomique, σ+ et σ− respectivement, dénis comme

σ₊ = |eihg| σ− = |gihe|. (I.31)

L'opérateur dipôle électrique D = qR, purement non-diagonal dans la base {|ei, |gi}, peut alors s'écrire

I.2.1.b Manipulation de l'état interne

Dans les expériences que nous allons réaliser, il sera crucial de pouvoir manipuler l'état interne des atomes. Cela se fait via l'interaction avec un champ électrique classique Er, de pulsation ωr et de polarisation r, décrite par le hamiltonien dipolaire électrique Hr :

H_r = −D · E_r(t), E_r(t) = iE_r _re^−i(ωrt+ϕ)− ^∗_re^i(ωrt+ϕ)
. (I.34) Nous passons alors dans le référentiel tournant à ωr, et dans le cadre de l'approximation séculaire, négligeant les termes de phase rapidement variables, le hamiltonien des atomes en présence du champ électrique devient le hamiltonien indépendant du temps

˜

H = ^~∆r

2 ^σz− i^~Ωr 2 e−iϕ

σ₊− eiϕσ− , (I.35)

où ∆r= ω_at− ω_r est le désaccord atome/champ. Ωr est la pulsation de Rabi classique, qui peut être supposée réelle sans perte de généralité, et qui est dénie comme

Ω_r = ^2d ~

E_r^∗_a· _r. (I.36)

On peut alors montrer que le hamiltonien ˜H peut en fait se mettre sous la forme ˜ H = ^~Ω 0 r 2 ^{σ · n Ω} 0 r =^pΩ2 r+ ∆2 r, (I.37)

où n est le vecteur unitaire

n = ¹

Ω0 r

[∆_re_z + Ω_r(− sin ϕe_x+ cos ϕe_y)] . (I.38)

Remarquons simplement que :  si Ωr = 0, alors n = ez,

 si ∆r = 0, alors n est dans le plan équatorial de la sphère de Bloch.

Dans ce dernier cas, c'est le choix seul de la phase ϕ du champ Er qui détermine la

direction du vecteur n. n repère donc la direction autour de laquelle se fait la rotation dans la sphère de Bloch. Pour des raisons qui apparaîtront évidentes plus tard, nous appelons direction d'observation la direction dénie par le vecteur orthogonal à n contenu dans le plan équatorial de la sphère. Notons également qu'alors, la pulsation Ω0

r se réduit à la pulsation de Rabi classique Ωr.

Si nous nous rappelons que σ est le générateur des rotations, nous pouvons nous convaincre que l'interaction de l'atome à deux niveaux avec le champ électrique Er, décrite par le hamiltonien ˜H donné (I.37), équivaut au temps t à une rotation du spin atomique

Figure I.7  Manipulation de l'état interne de l'atome. En présence d'un champ élec-trique oscillant résonant avec l'atome à deux niveaux, une oscillation de Rabi classique fait passer continûment des états |ei et |gi aux superpositions cohérentes à poids égaux 1/√

2(|ei + eiϕ|gi). La valeur de ϕ dépend de la direction d'observation, et donc du vec-teur n.

dans la sphère de Bloch d'un angle Ω0

rt autour du vecteur n. La gure I.7 en donne un

exemple dans la situation qui nous intéresse, i.e. quand le champ et les atomes sont à réso-nance, et pour n choisi le long de l'axe ey. Le passage continu du niveau |ei au niveau |gi, et inversement de |gi à |ei, constitue ce que l'on appelle des oscillations de Rabi, classiques ici. Pour le choix particulier

Ωrt = ^π

2^, (I.39)

l'interaction avec le champ micro-onde produit les superpositions cohérentes à poids égaux |ei → √¹

2 |ei + eiϕ|gi

|gi → √¹

2 −e^−iϕ|ei + |gi
. (I.40)

Nous appellerons dorénavant cette transformation, brique élémentaire de l'interférométrie Ramsey décrite au paragraphe I.2.2, une impulsion π/2.

Zones de Ramsey Expérimentalement, ces oscillations de Rabi classiques ont lieu dans des cavités de faible surtension que nous appelons zones de Ramsey. Leur géométrie doit permettre une bonne localisation du mode du champ, de sorte à n'autoriser l'interaction qu'avec un seul atome. Les petits volumes de mode qui en découlent impliquent alors des champs aussi faibles que quelques photons. Le champ doit cependant continuer à pouvoir

Figure I.8  Schéma des zones de Ramsey. Le champ micro-onde est d'abord mis en forme dans une cavité de ltrage. La lame dorée transmet partiellement la micro-onde qui fuit dans la cavité traversée par les atomes. Une partie du champ est rééchie dans le mode par le miroir en graphite (1), le reste étant nalement absorbé par un absorbeur micro-onde. être traité classiquement. Sans entrer dans les détails [77], la solution consiste à imposer une forte dissipation dans la cavité [88], par l'usage de miroirs en graphite : le facteur de qualité mesuré est de l'ordre de 100. La mise en forme du mode est quant à elle réalisée grâce à un cavité de ltrage de bon facteur de qualité Q ≈ 1000 (voir gure I.8).

Pour créer un champ dans les zones de Ramsey, nous utilisons des sources micro-ondes classiques couplées via des guides d'ondes au mode de la cavité (voir gure). De même que pour la cavité supraconductrice, l'amplitude du champ injecté est précisément contrôlée grâce à un atténuateur calibré à 51 GHz, et la durée des impulsions, typiquement de l'ordre de 2 µs, grâce à des interrupteurs rapides type diode PIN. Si la première permet de contrôler la pulsation de Rabi classique Ωr ∝ E_r, la seconde xe le temps d'interaction t de l'atome avec le champ et donc l'angle Ωrt de la rotation de spin subie au passage par la zone de Ramsey.