Contrôle de l'amplitude des corrections

Intéressons nous dans un premier temps au paramètre de contrôle de notre rétroac-tion quantique, à savoir l'amplitude des champs cohérents injectés dans la cavité. Après avoir détaillé certaines contraintes expérimentales, nous décrirons la façon dont nous les calibrons.

une impulsion de durée τ à l'aide d'une diode PIN, nous pouvons choisir l'amplitude du champ cohérent injecté,

α(τ ) = γτ. (III.2)

Dans le cadre de notre rétroaction quantique, tous les Ta = 82 µs, le régulateur peut décider d'injecter un champ aussi grand que αmax = 0, 1, soit 0, 01 photon en moyenne. Cela correspond à un taux d'injection γ ≥ 0, 1/82 = 10−3µs⁻¹. A priori, cette contrainte semble peu sévère. Dans des expériences précédentes, à titre de comparaison, nous étions capables en quelques microsecondes d'injecter des champs aussi grands que 4 à 5 photons. Cela correspond à un coecient γ 103 fois plus grand.

Cependant, comme nous avons pu le voir sur les simulations numériques du chapitre précédent, nous ne pouvons pas nous contenter d'injections aussi grandes que αmax : pour que la rétroaction puisse être ecace, il faut permettre à α de varier sur une gamme relativement large. Nous devons alors pouvoir répondre à deux questions :

 quelle est l'amplitude minimale des corrections dont nous avons besoin ?,  quelle est la durée minimale de l'injection que nous autorisons ?.

Imaginons que le champ soit initialement préparé dans un état cohérent |α0i. Après un temps Ta, son amplitude aura varié de

δα = α₀ ^Ta

2T_cav^, (III.3)

T_cav étant le temps de vie d'un photon dans la cavité. Pour Ta= 82 µs, et un champ de 3 photons, on trouve

δα ≈ 10⁻³. (III.4)

Cette estimation xe l'ordre de grandeur des injections les plus faibles que nous aurons à

faire au vu des paramètres expérimentaux : αmin = δα. Une telle amplitude est en eet

tout juste compensée par la relaxation sur la durée d'une itération de la boucle. Comme annoncé au chapitre II, les bornes imposées aux injections cohérentes de correction sont donc :

α_max= 0, 1 α_min = 0, 001. (III.5)

La gamme choisie des amplitudes s'étend sur deux décades. Il doit donc en être de même de la gamme des temps d'injection. Si alors nous optons pour le taux γ minimum, γ_m= 10⁻³µs⁻¹, à savoir tel que αmax soit injecté en 82 µs, alors αmin est injecté en 0, 8 µs. Or les diodes PIN utilisées, contrôlées par des signaux TTL, ont typiquement des temps de commutation tc de l'ordre de 100 ns. Si nous voulons des injections qui soient toujours

relativement longues devant tc, le choix γ = γm semble imposé (à un facteur numérique proche de l'unité près).

Comme mentionné précédemment, nous devons donc faire en sorte que le taux d'injec-tion soit maintenant 1000 fois plus faible que ce que nous utilisions précédemment. Cela correspond à 60dB d'atténuation supplémentaires. L'usage d'un mixeur passif en lieu et place du quadrupleur actif précédemment utilisé, ainsi que l'ajout d'une atténuation xe de 30 dB, avant l'atténuateur variable (paragraphe I.1.2.b) permettant le réglage n de γ, ont été nécessaires.

Avant de terminer ce paragraphe, il ne faut pas oublier que, outre les champs cohérents de correction, il nous faudra préparer le champ de la cavité dans l'état cohérent initial, état qui contient quelques photons. Or, les corrections cohérentes de la rétroaction se doivent d'avoir une relation de phase bien dénie avec le champ initial. Il nous faudra donc utiliser la même source classique, via les mêmes câbles et guides d'onde, pour assurer une telle contrainte. L'usage de deux voies d'injection est par exemple à proscrire, puisque toute variation légère de la température, par exemple, le long d'un des circuits induit des variations de phase incontrôlables entre les deux chemins. L'injection initiale durera ainsi typiquement, pour un champ initial de 3 photons,

t_ini= γ_m⁻¹√

3 = 1, 5 ms. (III.6)

III.2.1.b Calibration

Voyons maintenant comment calibrer le taux d'injection γ. Pour cela, nous mesurons, pour plusieurs champs cohérents |αi préparés, un signal de franges de Ramsey, i.e. la probabilité de détecter un atome dans |gi en sortie de l'interféromètre, πg(α). Les franges de Ramsey en présence d'un champ cohérent |αi étant la somme des franges obtenues dans les états de Fock |ni pondérées par les populations P (n) du champ préparé, il vient

πg(α) = e^−|α|2X n≥0 |α|2n n! ^πg(n), (III.7) où πg(n) = π0 +^C 2 ^{cos (φr+ φ(n)) .} (III.8)

En faisant l'hypothèse d'un déphasage par photon linéaire6, φ(n) = nφ0, on peut alors montrer que π_g(α = γt_S) = π₀+^C 2 ^{cos φr+ (γtS)} 2 sin φ₀
e(γtS)²(cos φ0−1) . (III.9)

Les paramètres π0, C et φrpouvant être mesurés au préalable sur des franges de Ramsey

avec une cavité vide, et le déphasage par photon φ0 étant déterminé par ailleurs (voir

6. De même qu'au chapitre I, nous incluons le déplacement de Lamb dans la phase φrde l'interféromètre. Par conséquent, φ(0) = 0.

Figure III.9  Calibration des injections cohérentes : Probabilité de détecter un atome dans |gi en fonction de l'amplitude, en unité de temps, du champ cohérent injecté dans la cavité. La courbe rouge correspond à un ajustement à un paramètre (γ, voir texte), ici γ⁻¹ = (633 ± 3)µs. L'intervalle entre deux points de mesure est de 80 µs.

paragraphe III.2.3), le tracé de πg(tS) et son ajustement par la loi (III.9) fournissent alors γ, le seul paramètre libre de l'ajustement. La gure III.9 donne un exemple d'une telle calibration, pour lequel la phase de l'interféromètre a été choisie nulle (φr = 0). Le résultat trouvé est ici

γ⁻¹ = (633 ± 3) µs, (III.10)

où γ−1 est le temps nécessaire à l'injection d'un champ d'amplitude unité.

Nous avons vu au paragraphe précédent que les durées d'injection varieront sur plus de trois décades au cours d'une expérience typique de rétroaction quantique, si l'on

com-pare l'amplitude αmin à celles des champs cohérents préparés en début d'expérience. La

calibration proposée gure III.9 explore cependant des variations sur des échelles de temps de l'ordre de la milliseconde seulement. En eet, même si l'intervalle entre deux points de mesure est de 80 µs, avec le choix de φr ici fait, πg(tS)ne varie signicativement que pour t_S de l'ordre de quelques centaines de microsecondes. Il nous a donc fallu vérier que la dépendance linéaire en tS de l'amplitude du champ injecté est bel et bien valable sur les trois décades explorées.

Pour cela, nous avons comparé la mesure de πg(α₀ = γt₀)faite ci-dessus à une situation où nous injectons une succession de N impulsions courtes, de durée τ = 2 µs, et distantes de 1 µs, telles que Nτ = t0. Nous traçons gure III.10 les résultats obtenus pour N = 150, 300, 500, et 700, superposés aux résultats obtenus avec des injections continues. Le très bon

Figure III.10  Linéarité de la chaîne d'injection : Comparaison de l'amplitude des champs créés par une impulsion de durée tS (points noirs et ajustement rouge), et N impulsions de durée tS/N (carrés bleus), par mesure de la probabilité de détecter un atome dans |gi en sortie de l'interféromètre.

accord entre les deux mesures conrme le comportement linéaire de la chaîne d'injection des plus petites aux plus grandes amplitudes des champs cohérents préparés.