Méthode Monte-Carlo

Les simulations que nous avons réalisées sont basées sur l'utilisation de méthodes dites Monte-Carlo quantiques [106, 107]. Une succession de tirages aléatoires est réalisée an de simuler l'incertitude classique ou quantique telle qu'elle se manifeste dans nos expériences :  lors du processus de relaxation, succession de sauts quantiques aléatoires, i.e. créa-tions ou destruccréa-tions d'un photon dans la cavité, dont la statistique est contrôlée par le temps de vie Tcav des photons dans le champ piégé et la température T ,

 lors d'une mesure sur un système quantique, en l'occurrence une mesure de l'état d'une sonde atomique, dont la statistique des résultats doit être connue,

 lors de la préparation d'un échantillon atomique dont l'occupation est régie par une statistique poissonienne.

Pour pouvoir simuler une trajectoire quantique telle que décrite ci-dessous, il nous faudra donc calculer simultanément deux matrices densité diérentes :

 L'une dite réelle, qui correspond à la matrice densité du champ connue par un observateur omniscient, et que l'on notera ρ(R). Ici, cela signie que l'observateur est capable de détecter l'émission d'un photon vers l'environnement (saut quan-tique |ni 7→ |n − 1i) ou la création d'un photon dans la cavité (saut quanquan-tique |ni 7→ |n + 1i), et d'actualiser sa connaissance du système en conséquence. Il n'y a alors pas de processus de décohérence associé à la relaxation, et si le champ est initia-lement préparé dans un état pur, il reste dans un état pur tout le long de la trajectoire quantique : l'observateur a une connaissance parfaite du système. Connaissant ρ(R), nous pourrons donc prédire la statistique des résultats d'une mesure d'un atome de Rydberg ayant sondé le champ dans la cavité, et ainsi, par une succession de lancés de dés respectant cette statistique, simuler une trajectoire quantique individuelle ;  L'autre dite estimée, qui correspond à la matrice densité du champ connue par un

observateur réel, i.e. un observateur tel que nous le serons lors de la réalisation expé-rimentale de la rétroaction. Cet observateur n'a pour informations que les résultats des détections atomiques, et ne peut prendre en compte la relaxation du champ que par des procédés de type équation pilote. Cette fois, la relaxation induit bel et bien de la décohérence : l'état estimé initialement pur devient nalement un mélange sta-tistique. Cette matrice densité estimée n'est rien d'autre que la matrice densité ρk

dont la méthode de calcul a été donnée au paragraphe précédent.

Détaillons maintenant les trajectoires quantiques simulées et précisons à chaque étape comment sont calculées ρ(R)

fait calculée à partie de ˜ρk via l'expression :

ρ_k = H^(r)_k ρ˜_k. Contrairement à ρk, ˜ρk peut être calculée par récurrence.

1. Au début de la trajectoire quantique, le champ est préparé dans l'état cohérent contenant nc photons en moyenne :

ρ₀ = ρ^(R)₀ = |α =√

n_cihα =^√n_c|; (II.82)

2. Après le passage de l'atome k par la cavité, les matrices densité décrivant l'état du champ sont les matrices ˜ρk et ρ(R)

k . La correction qui est alors appliquée est la correction αk−Nr. Si nous utilisons l'expression exacte6 de D(α) pour le calcul de ρ^(R)_k , ˜ρk est calculé via le déplacement à l'ordre 2 en α (II.47) :

ρ^(R)_k+1 3

= D(α_k−Nr) ρ^(R)_k D(−α_k−Nr) ρ˜_k+1

3 = D_k−Nrρ˜_k; (II.83)

3. La relaxation sur la durée Tadoit alors être prise en compte [30]. Les probabilités p+et p₋qu'il y ait un saut quantique qui crée ou détruise, respectivement, un photon dans la cavité doivent d'abord être calculées. En reprenant les notations du paragraphe I.1.2.b, les opérateurs de saut associés sont respectivement

L₊ =√

κ₊a^† L− =√

κ−a, (II.84)

et les probabilités de sauts qui en découlent sont p+= κ+TaTr  aa^†ρ^(R)_k+1 3  p−= κ−TaTr  a^†aρ^(R)_k+1 3  . (II.85)

On dénit par ailleurs l'opérateur J et la probabilité p0 qu'il n'y ait pas de saut :

J = ¹ 2  L^†₊L₊+ L^†₋L₋^= ¹ 2 ^κ+aa †+ κ₋a^†a
(II.86) p₀ = 1 − p₊− p− (II.87) = Tr^(1 − TaJ )ρ^(R) k+¹₃(1 − TaJ )^, (II.88)

où la dernière égalité est vraie à l'ordre 1 en Ta/T_cav. Un nombre aléatoire 0 ≤ p ≤ 1 est alors tiré au sort :  Si p ≤ p+, il y a un saut vers le haut :

ρ^(R) k+²₃ = ^κ+Ta p₊  a^†ρ^(R) k+¹₃a^, (II.89)

 Si p++ p−< p, il n'y a pas de saut quantique : ρ^(R) k+²₃ = ¹ p0 h (1 − TaJ ) ρ^(R) k+¹₃ (1 − TaJ )ⁱ. (II.91)

La nature du saut, et même son existence, sont en revanche inconnues du ltre quantique en charge du calcul de ˜ρk+1. Il utilise donc un développement au premier ordre en Ta/Tcav de l'équation de Lindblad (I.18) :

˜ ρ_k+2

3 = (1 + TaL) ˜ρ_k+1

3; (II.92)

4. Lorsque l'atome (k+1) vient alors à être détecté, un premier tirage aléatoire est opéré pour déterminer si l'échantillon atomique contient eectivement un atome. En eet, rappelons que les atomes de Rydberg sont préparés avec une statistique poissonienne, avec une occupation moyenne na. Nous ne considérerons ici que les situations où na

est susamment faible pour négliger la probabilité d'avoir plus d'un atome préparé. On note Pa(n) la probabilité d'en avoir n :

P_a(0) = e⁻ⁿa ∼ 1 − n_a P_a(1) = n_ae⁻ⁿa ∼ n_a P_a(n ≥ 2)  1. (II.93) Si le résultat du tirage aléatoire prédit l'absence d'atomes, alors les matrices densité sont inchangées :

ρ^(R)_k+1 = ρ^(R)

k+²₃ ρ˜_k+1 = ˜ρ_k+2

3. (II.94)

En revanche, si un atome a eectivement été préparé, les probabilités pe et pg de mesurer |ei et |gi, respectivement, sont calculées à partir de l'opérateur densité réel ρ(R) :

p_j = Tr^M_jρ^(R)

k+²₃ M_j^† j = {e, g}. (II.95)

De même que nous l'avions fait pour le calcul de la relaxation, un nombre aléatoire 0 ≤ q ≤ 1 est tiré et comparé à pe et pg = 1 − p_e :

 si q ≤ pe, l'atome (k + 1) est détecté dans |ei,  sinon, l'atome est détecté dans |gi.

Dans les deux cas, les matrices densité réelles et estimées sont actualisées ainsi, avec j = {e, g} le résultat de la mesure :

ρ^(R)_k+1 = M_jρ^(R)_k+2 3 M_j^† p_j ^{ρ˜k+1 =} Mjρ˜_k+2 3 M_j^† Tr^M_jρ˜_k+2 3 M_j^{† ;} (II.96) 5. La dernière étape de la boucle consiste à calculer αk+1 connaissant ρk+1= H^(r)_k+1ρ˜_k+1,

ce qui a d'ores et déjà été expliqué au paragraphe II.1.

Les étapes 2 à 5 sont alors répétées jusqu'à arrêt de la boucle. Les paragraphes suivants sont dévolus aux résultats de ces simulations.