Description théorique

I.1.2.a Un champ quantié

La description quantique du champ électromagnétique [84] se fait via la donnée des deux opérateurs, a et a†, hermitiques conjugués l'un de l'autre, et appelés respectivement opérateurs annihilation et création. Le hamiltonien du champ s'écrit grâce à eux sous la forme H_cav = hν_cav  a^†a + ¹ 2  ≡ hν_cav  ˆ N +¹ 2  . (I.6)

Nous avons introduit ici la fréquence νcav = ω_cav/2πdu champ et l'opérateur ˆN = a^†a, opé-rateur nombre, dont les états propres |ni sont également les états propres du hamiltonien. Ce sont ces états, dits états de Fock ou états nombre, que nous chercherons à préparer dès le chapitre suivant. Rappelons ici simplement les relations qui donnent leurs noms à tous ces opérateurs :

a|ni =√

n|n − 1i a^†|ni =^√n + 1|n + 1i N |ni = n|ni.^ˆ (I.7)

Les états |ni sont donc les états contenant un nombre xé n de quanta d'énergie hνcav, ou photons.

L'opérateur champ électrique enn, de polarisation  et d'amplitude E0, est déni

comme

ˆ

E(r) = E (r)a + h.c., (I.8)

où E(r) = E0f (r) est le prol du champ donné équation (I.1).

Les états nombre que nous venons d'introduire ne correspondent pas à un champ clas-sique. Pour ces états en eet, le champ électrique moyen hn|ˆE|ni est nul. Les états cohérents ou de Glauber [85] en sont la bonne représentation. Notés |αi, et états propres de l'opéra-teur destruction

a|αi = α|αi, (I.9)

où α est un nombre complexe, ils se décomposent dans la base des états de Fock sous la forme |αi = e^−|α|22 X n≥0 αn √ n!|ni. (I.10)

Dans une évolution hamiltonienne de hamiltonien Hcav, ils deviennent

|α(t)i = e^−iωcavt2 αe^−iωcavt. (I.11)

Nous retrouvons alors l'évolution classique de la phase d'un champ de pulsation ωcav. Par abus de langage, nous appellerons dorénavant α l'amplitude d'un champ électrique préparé dans l'état |αi.

Notons pour nir que si le nombre de photons est xé dans un état de Fock |ni, il n'en est rien dans un état cohérent. Une mesure du nombre de photons dans un tel état |αi donne en eet le résultat n avec une statistique poissonienne. La probabilité P (n) de mesurer n est

P (n) = |hn|αi|² = e^−|α|2|α|2n

n! ^. (I.12)

Le nombre moyen de photons y est alors simplement

h ˆN i = hα| ˆN |αi = |α|². (I.13)

I.1.2.b Couplage à l'environnement

L'oscillateur harmonique décrit par le modèle donné au paragraphe précédent et que nous cherchons à manipuler n'est bien sûr pas un système isolé. S'il est couplé à une source micro-onde classique permettant de préparer des états cohérents, il l'est aussi avec l'environnement. C'est ce couplage qui est à l'origine des phénomènes de relaxation et de décohérence. Si nous pouvons le négliger à l'échelle du temps d'interaction avec un atome, il n'en est rien à l'échelle d'une expérience entière au cours de laquelle le même champ interagit avec une longue série de sondes atomiques. Nous devons donc en donner un cadre formel.

En présence de relaxation Du fait du couplage à l'environnement, le nombre de pho-tons présents dans la cavité ne reste pas constant au cours du temps : ceux-ci ont maintenant la possibilité d'en sortir. Inversement des photons de l'environnement peuvent y entrer. Les deux processus se compensent une fois l'équilibre atteint : pour un environnement à tem-pérature nie T , qui joue alors le rôle de thermostat, celui-ci est établi quand l'oscillateur harmonique est dans son état dit thermique, décrit par la statistique de Bose-Einstein à la température T et à la pulsation ωcav :

P_th(n) = e^−n~ωcavkBT



1 − e^−~ωcavkBT



, (I.14)

où kB est la constante de Boltzmann. Dans cet état, le nombre moyen de photons présents dans le mode est

nth = ¹

e^~ωcavkBT − 1

Pour rendre compte de la transformation de sa matrice densité ρ sous chacun deux proces-sus évoqués ci-desproces-sus, nous introduisons les deux opérateurs de saut L− et L+ décrivant respectivement la perte et le gain d'un photon par le mode :

L− =√

κ−a L₊ =√

κ₊a^†. (I.16)

Dans le cadre d'une description markovienne de l'environnement [30, 84], valable pour un environnement susamment grand devant l'oscillateur harmonique, en termes de nombre de degrés de liberté par exemple, et pour des évolutions sur des temps longs devant le temps de mémoire de l'environnement, l'équation d'évolution de la matrice densité ρ de l'oscillateur harmonique, ou équation maîtresse, peut s'écrire sous la forme dite de Lind-blad [86] : dρ dt ^{= −} i ~ [H, ρ] + Lρ, (I.17) Lρ = ^X µ={+,−}  L_µρL^†_µ− ¹ 2^L † µL_µρ − ¹ 2^ρL † µL_µ  , (I.18)

où le premier terme de l'équation (I.17) décrit simplement une évolution hamiltonienne de hamiltonien H. Pour des intervalles de temps innitésimaux, l'équation (I.17) prend la forme, en représentation d'interaction par rapport au hamiltonien H,

ρ(t + dt) = (1 + dtL) ρ(t). (I.19)

Notons aussi que dans le cadre de ce modèle, la probabilité par unité de temps qu'un saut quantique L+ ou L− ait lieu est donnée par

p+ = Tr 

L^†₊L+ρ 

= κ+Tr aa^†ρ
= κ+(1 + hni) (I.20)

p− = Tr^L^†₋L−ρ^= κ−Tr a^†aρ
= κ−hni. (I.21)

À l'équilibre thermique, ces deux probabilités étant égales, nous obtenons simplement κ₊

κ₋ ⁼

n_th

n_th+ 1^. (I.22)

Nous introduisons alors le taux de relaxation κ, déni tel que

κ₊= n_thκ κ−= (n_th+ 1)κ. (I.23)

Notons de suite qu'eu égard à la valeur très faible de nthaux températures auxquelles nous travaillerons, nth = 0, 05, la probabilité qu'un saut quantique à partir d'un état de Fock

|ni corresponde au gain d'un photon est très faible, dès que n 6= 0, comparée à celle que le saut se traduise par une perte de photon.

À partir de l'équation (I.23), il vient en outre dh ˆN i

dt ^{= −κ}



h ˆN i − n_th^. (I.24)

Tcav = κ⁻¹ est donc le temps caractéristique de décroissance du nombre moyen de photons dans la cavité, appelé dorénavant temps de vie d'un photon. Il est en eet possible de montrer que le champ préparé dans l'état de Fock |ni voit la population de cet état décroître exponentiellement, à température nulle7, en Tcav/n. L'état nombre contenant 1 photon est donc en particulier perdu en Tcav.

Couplage à une source micro-onde classique Voyons maintenant comment nous sommes en mesure de coupler le champ à une source micro-onde et comment nous préparons ainsi les états semi-classiques de Glauber. Nous n'en donnerons pas ici une description théorique précise. Celle-ci peut être trouvée par exemple dans [30]. Précisons simplement que l'opération qui consiste à injecter un champ cohérent |αi dans le mode de la cavité est décrite par l'opérateur déplacement D(α) déni comme

D(α) = eαa^†−α∗a. (I.25)

Il tient son nom du fait qu'un champ cohérent d'amplitude β est transformé en un champ d'amplitude α + β après application de D(α) :

D(α)|βi = eαβ^∗−α∗β|α + βi. (I.26)

En pratique, la construction d'un état classique |αi se fait par le couplage du mode du champ électromagnétique avec une source micro-onde classique, d'amplitude et de fré-quence bien contrôlées. Partant du vide de photons, coupler la source au mode pendant un temps tinj très inférieur8 au temps de vie des photons Tcav revient alors à préparer le champ dans l'état |α = γtinji, où γ est le taux d'injection dont la valeur dépend de la puissance de la source micro-onde. Nous supposerons dans toute la suite l'approximation linéaire tinj  T_cav vériée.

Le schéma de principe de l'injection est donné gure I.5. Le synthétiseur utilisé fournit une onde à ∼ 12, 8 GHz. À sa sortie, une diode PIN à une entrée et une sortie9, contrôlée par un signal digital sa, est utilisée comme commutateur rapide. La durée d'une injection est alors contrôlée avec une précision de l'ordre du temps de commutation de la diode, i.e. ∼ 100 ns. L'impulsion micro-onde ainsi générée est alors quadruplée en fréquence avant de voir son intensité diminuée dans un atténuateur variable de précision, de gamme 0  80 dB. Nous disposons alors d'un contrôle précis du taux d'injection γ. La façon dont ce coecient est calibré sera donnée au paragraphe III.2.1.

7. À température T = 0, 8K, la correction est faible, le temps de vie étant alors de Tcav/(n+(2n+1)nth). 8. Dans le cas général, l'amplitude du champ préparé s'écrit α = γTcav 1 − e^−tinj/T_cav

. 9. Dite SPST pour Single Pole Single Throw.

expérience

Source

microon

Atténuateur

Figure I.5  Préparation d'un état classique du champ. Un signal micro-onde à 12, 8 GHz est transmis via une diode PIN, contrôlée par un signal digital sa, à un quadrupleur de fréquence. L'amplitude de l'onde à 51 GHz est alors contrôlée par un atténuateur variable

0  80 dB dont la sortie est couplée via des guides d'onde au mode du champ

électroma-gnétique constituant l'oscillateur harmonique.