R´eponse m´ecanique en fonction de la fr´equence

2π(1− iφ0)Ew0

, (3.13) o`u E est le module de Young du mat´eriau constituant le substrat, σ son coefficient de Poisson, φ0 l’angle de pertes, et w0 le col optique du faisceau. Remarquons que contrairement `a la r´eponse individuelle d’un mode, celle du fond ne d´epend pas de la position du faisceau sur la surface du miroir, ce qui se con¸coit tant que le point d’impact du faisceau incident reste loin des bords.

3.1.3 R´eponse m´ecanique en fonction de la fr´equence

Nous allons successivement examiner le comportement de la r´eponse m´ecanique donn´ee par la susceptibilit´e effective χeff, autour d’une r´esonance puis `a basse et haute fr´equences.

R´eponse `a la r´esonance m´ecanique

On peut commencer par s’interroger sur l’influence du fond `a la fr´equence de r´esonance Ωn/2π. On d´efinit pour cela le rapportRF

mode `a sa fr´equence de r´esonance et de celle du fond m´ecanique : RF n =     <sup>χ</sup> eff n [Ωn] χeff[Ω = 0]     2 ' <sup>2πE</sup> 2w2 0 (1− σ2)2(Meff n )2Ω4 nφ2 n , (3.14) o`u on a suppos´e φ₀  1 et Meff n = M_n/hun, v2

0i2 est la masse effective du n-i`eme mode, compte tenu de l’adaptation spatiale entre la lumi`ere et le mode. Dans le cas du mode fondamental Gaussien de notre miroir plan-convexe, si l’on suppose que le faisceau incident est parfaitement centr´e, et que son col est petit devant l’extension spatiale du mode (ce qui implique Meff

1 ' M1), tous les param`etres de l’´equation pr´ec´edente sont connus. Sachant que E = 7.3×1010Pa et σ = 0.17 pour la silice fondue, et en prenant w₀ = 65 µm et φ₁ = 10−6, on obtient RF

1 ' 4 × 106. Cette valeur est a priori une borne inf´erieure de RF

n pour les modes Gaussiens, puisque comme nous l’avons expliqu´e dans le chapitre pr´ec´edent, leur confinement (donc leur masse et leur facteur de qualit´e) s’am´eliore avec leur ordre : on retiendra donc qu’au voisinage d’une fr´equence correspondant `a une r´esonance Gaussienne, le fond m´ecanique est n´egligeable et la r´eponse du miroir plan-convexe peut ˆetre assimil´ee `a celle d’un oscillateur harmonique unique.

Nous allons voir que ceci n’est plus vrai d`es lors que l’on sort de la r´esonance : la contribution globale du miroir prend le pas sur celle d’un mode m´ecanique `a basse fr´equence, c’est-`a-dire `a des fr´equences inf´erieures `a celle de la r´esonance, alors qu’au-del`a de cette fr´equence, les d´eplacements du mode interf`erent de mani`ere destructive avec ceux dus au fond m´ecanique. Nous traitons ces deux cas s´epar´ement dans les deux paragraphes suivant, en nous pla¸cant autour de la fr´equence Ω1 du mode fondamental.

R´eponse `a basse fr´equence

Le cas des basses fr´equences est le plus simple `a traiter. En effet, le bruit de pression de radiation `a basse fr´equence s’´ecrit d’apr`es l’´equation (3.4) :

S_x^rad[Ω' 0] ' |χeff[Ω' 0]|²S_F^rad[Ω' 0] (3.15) On peut comparer la puissance des d´eplacements du fond Srad

x [Ω ' 0] `a celle d’un mode individuel `a basse fr´equence Srad

x,n[Ω' 0]. En supposant toujours que le faisceau incident est parfaitement centr´e et que son col est faible devant l’extension spatiale du mode fondamental, on trouve Srad

x,1[Ω ' 0]/Srad

x [Ω ' 0] ' 4 × 10−6 : en d’autre termes, les d´eplacements que l’on observe hors r´esonance m´ecanique peuvent ˆetre compl`etement attribu´es au mouvement du fond m´ecanique du miroir mobile.

Il est int´eressant de comparer cette r´eponse `a la pression de radiation au bruit thermique `a basse fr´equence. Le rapport est donn´e par l’´equation (3.8), o`u la susceptibilit´e χ<sub>eff</sub> `a basse fr´equence est donn´ee par (3.13) :

Srad x [Ω' 0] ST x[Ω' 0] ⁼ 32~2F2Iⁱⁿ λ2kBT × ^{(1− σ} 2)Ω √ 2πEw0φ0 . (3.16) On peut rapprocher ce rapport de celui que l’on obtient `a la r´esonance m´ecanique Ω1, o`u la susceptibilit´e χeff est essentiellement d´etermin´ee par la partie `a r´esonance

χeff

1 comme nous venons de le voir (´eq.3.14) : Srad x [Ω1] ST x[Ω1] ⁼ 32~2F2Iⁱⁿ λ2kBT × ¹ M1Ω1φ1 . (3.17) Une application num´erique montre alors un r´esultat assez surprenant : en consid´erant le cas id´eal (M1 = 153 mg, Ω1 ' 1.1 MHz et φ0 = φ1), on trouve un rapport 500 fois plus grand `a basse fr´equence qu’`a r´esonance. En d’autres termes, en se pla¸cant hors r´esonance m´ecanique, on peut augmenter de mani`ere tr`es significative le rap-port signal-`a-bruit Srad

x /ST

x, de presque 30 dB. Cette remarque est extrˆemement int´eressante en vue de mettre en ´evidence les corr´elations optom´ecaniques, puis-qu’il semble pr´ef´erable de les observer hors r´esonance. Remarquons puis-qu’il faut tou-tefois temp´erer ces consid´erations, qui supposent que l’angle de perte associ´e au fond m´ecanique est ´egal `a celui du mode fondamental, ce qui n’est certainement pas exact ´etant donn´e la nature des modes contribuant au mouvement d’ensemble. Un grand nombre d’entre eux s’´etendent sur toute la surface du miroir, et sont donc sujets `a des processus de dissipation suppl´ementaires (li´e au syst`eme de fixation des miroirs par exemple) comparativement aux modes Gaussiens dont le confinement permet d’obtenir des pertes tr`es faibles.

De mani`ere g´en´erale, on peut d´efinir une masse effective M<sub>0</sub> du fond m´ecanique de telle mani`ere que la r´eponse χeff[Ω ' 0] `a basse fr´equence soit ´equivalente `a celle d’un simple oscillateur harmonique de masse M0 et de fr´equence de r´esonance ´egale `a celle du mode fondamental Ω1 :

χeff[Ω' 0] = ¹ M0Ω2

1(1− iφ0)^{. (3.18)} Cette d´efinition permet de comparer simplement la susceptibilit´e `a basse fr´equence avec celle du mode fondamental, caract´eris´ee par une ´equation similaire avec la masse M1 et l’angle de perte φ1 (cf ´eq.3.1). Ainsi la comparaison entre les rapports Srad

x /ST

x `a basse fr´equence et `a r´esonance s’´ecrit : (Srad x /ST x)[Ω' 0] (Srad x /ST x)[Ω1] ⁼ M1φ1 M0φ0 (3.19) Dans le cas du miroir plan-convexe, la masse effective M0 est 500 fois plus faible que la masse M1 du mode fondamental, atteignant ainsi des valeurs inf´erieures au milligramme. Comme nous l’avions not´e dans le chapitre 1 (´equation 1.49), cela est dˆu au fait que le fond m´ecanique r´esulte de la sommation d’un grand nombre d’oscillateurs m´ecaniques. Ainsi, il peut ˆetre int´eressant d’observer les effets de pression de radiation en dehors des r´esonances m´ecaniques, `a condition que le rapport φ1/φ0 des angles de perte ne r´eduise pas trop le gain apport´e par le rapport M1/M0. C’est ce que nous ferons dans la section 3.3 pour les corr´elations optom´ecaniques.

R´eponse `a haute fr´equence : anti-r´esonance

Le comportement `a haute fr´equence est radicalement diff´erent. En effet, les d´eplacements engendr´es par la force de pression de radiation r´esultent toujours de la superpo-sition du mode individuel et du mouvement d’ensemble, mais ces deux contribu-tions sont oppos´ees en phase `a haute fr´equence. On s’attend donc `a ce qu’il se

produise entre elles une interf´erence destructive. Plus pr´ecis´ement, le spectre des d´eplacements induits par pression de radiation s’´ecrit :

S_x^rad[Ω]'χeff

1 [Ω] + χeff[Ω' 0]²S_F^rad[Ω]. (3.20) En supposant toujours que φ0  1, et en utilisant la masse effective M0 du fond m´ecanique d´efinie par l’´equation (3.18), l’´equation (3.20) s’´ecrit :

S_x^rad[Ω]'    _M1¹_Ω2 1 ×^{(1 + M0/M1)Ω} 2 1− Ω2+ iΩ2 1φ1 Ω2 1− Ω2+ iΩ2 1φ1     2 S_F^rad[Ω] (3.21) La r´eponse du miroir apparaˆıt donc comme le produit de la susceptibilit´e associ´ee au fond m´ecanique par le quotient de deux Lorentziennes de mˆemes largeurs Ω₁φ₁: la premi`ere, centr´ee `a la fr´equence Ω1, correspond `a la r´esonance du mode fonda-mental, alors que la seconde, centr´ee `a la fr´equence p

1 + M0/M1Ω1 correspond `a une anti-r´esonance, r´esultant de l’interf´erence destructive entre le mode fonda-mental et le fond m´ecanique. Pour un miroir plan-convexe, nous avons vu que le rapport M0/M1 est de l’ordre de 1/500. L’´ecart δΩ entre la r´esonance et l’anti-r´esonance peut alors se d´evelopper au premier ordre :

δΩ = ^M0

2M₁ × Ω1. (3.22) La r´esonance et l’anti-r´esonance sont ainsi espac´ees d’un intervalle de fr´equence inversement proportionnel `a l’amplitude du fond m´ecanique. On peut ainsi estimer le bruit de pression de radiation `a la fr´equence Ω1 + δΩ de l’anti-r´esonance, en supposant que δΩ φ1Ω1 (l’anti-r´esonance est en dehors du pic de la r´esonance fondamentale) : S_x^rad[Ω₁+ δΩ]'     φ1 2M0δΩΩ1     2 S_F^rad[Ω₁+ δΩ]. (3.23) Cette expression est `a comparer `a celle du bruit de l’oscillateur χeff

1 seul `a la fr´equence Ω1+ δΩ : S_x,1^rad[Ω₁+ δΩ]'     1 2M1δΩΩ1     2 S_F^rad[Ω₁+ δΩ], (3.24) le rapport des expressions (3.23) et (3.24) s’´ecrivant ainsi :

Srad x [Ω₁+ δΩ] Srad x,1[Ω1+ δΩ] '    φ1 M₁ M0     2 (3.25) Une application num´erique montre alors que pour un angle de perte φ1 = 10−6, l’expression pr´ec´edente est de l’ordre de 2.5× 10−7 : `a l’anti-r´esonance, le miroir plan-convexe est en principe quatre millions de fois moins sensible `a la pression de radiation que ne le serait un r´esonateur purement harmonique poss´edant les mˆemes propri´et´es m´ecaniques que son mode fondamental Gaussien. Cela signifie concr`etement que la mesure devient essentiellement limit´ee par le bruit de pho-ton `a cette fr´equence, sa sensibilit´e pouvant ˆetre significativement accrue. Nous d´evelopperons plus avant ce point dans la section 3.2.3.

3.1.4 Interpr´etation modale de la r´eponse `a la pression de

radiation

L’approche que nous avons suivie afin de d´ecrire qualitativement le comportement du miroir en r´eponse `a la pression de radiation relie les propri´et´es de la r´eponse en dehors de r´esonance `a la masse effective M0 du fond m´ecanique. Ainsi, le rapport entre pression de radiation et bruit thermique, ou le ph´enom`ene d’anti-r´esonance peuvent s’exprimer en fonction de M0, et plus pr´ecis´ement du rapport M0/M1

(´eqs. (3.19), (3.22) et (3.25)). Ces r´esultats n’expliquent pas pourquoi la prise en compte du caract`ere multimode du r´esonateur, c’est-`a-dire d’une collection d’os-cillateurs harmoniques, conduit `a des effets int´eressants `a des fr´equences en dehors des r´esonances m´ecaniques. Pour comprendre ces effets, on peut consid´erer le cas simple d’un syst`eme d´ecrit comme la superposition de seulement deux oscillateurs harmoniques ind´ependants χ1 et χ2 identiques. La r´eponse d’un tel syst`eme `a une force de pression de radiation Frad[Ω] s’´ecrit :

S_x^rad[Ω] = |χ1[Ω] + χ2[Ω]|²S_F^rad[Ω]

= 4|χ[Ω]|²S_F^rad[Ω], (3.26) o`u χ = χ1 = χ2. A contrario, les deux oscillateurs ´etant suppos´es ind´ependants, ils sont soumis `a deux forces de Langevin thermiques ind´ependantes, si bien que le spectre de bruit thermique ST

x s’´ecrit comme la somme des spectres de bruit thermique de chaque oscillateur, puisque leurs bruits thermiques sont d´ecorr´el´es : S_x^T[Ω] = |χ1[Ω]|2ST,1[Ω] +|χ2[Ω]|2ST,2[Ω]. (3.27) Les deux oscillateurs ´etant identiques, les densit´e spectrales S_T,1et S_T,2sont ´egales, et on obtient grˆace au th´eor`eme fluctuations-dissipation :

S_x^T[Ω] = 2|χ[Ω]|2ST[Ω], (3.28) o`u S<sub>T</sub>[Ω] est la densit´e spectrale de la force thermique de Langevin, pour un seul oscillateur. On voit donc d’apr`es les ´equations (3.27) et (3.28) que le rapport Srad

x /ST

x est deux fois meilleur pour le syst`eme constitu´e des deux oscillateurs que pour chaque oscillateur consid´er´e ind´ependamment : l’ensemble des deux oscilla-teurs est ´equivalent `a un oscillateur de mˆemes raideur et facteur de qualit´e, mais de masse moiti´e, donc sujet `a une dissipation seulement deux fois plus grande, alors que la puissance des d´eplacements induits par la pression de radiation est multipli´ee par quatre.

Ce raisonnement se g´en´eralise ´evidemment `a basse fr´equence pour une collection infinie d’oscillateurs harmoniques, puisque leurs r´eponses sont toutes en phase. On trouve ainsi que le rapport Srad

x /ST

x augmente en proportion inverse du rapport des masses M0/M1, o`u M0 est la masse effective de la collection d’oscillateurs et M₁ la masse d’un seul mode.

3.2 R´eponse exp´erimentale d’un miroir mobile `a

une force de pression de radiation classique

Nous abordons maintenant la caract´erisation exp´erimentale de la r´eponse en fr´equence d’un miroir mobile `a une force de pression de radiation classique. Nous commen-cerons par d´ecrire le dispositif exp´erimental, puis nous aborderons la v´erification exp´erimentale des deux cons´equences importantes d´ecoulant de l’´etude que nous venons de mener. Nous pr´esenterons tout d’abord la r´eponse du mode fondamen-tal de notre r´esonateur plan-convexe de grand diam`etre, et nous verrons qu’elle pr´esente bien toutes les caract´eristiques que nous avons pr´edites dans la section pr´ec´edente, en insistant plus sp´ecifiquement sur le volet concernant l’optimisation du rapport Srad

x /ST

x. Nous terminerons par la pr´esentation de l’exp´erience men´ee avec une cavit´e `a miroirs cylindriques, qui a permis de mettre en ´evidence l’annu-lation de l’action en retour dˆu `a l’effet d’anti-r´esonance, ainsi que l’augmentation de sensibilit´e qui y est associ´ee.