Corr´elations optom´ecaniques hors r´esonance m´ecanique

Nous pr´esentons maintenant la mise en ´evidence exp´erimentale des corr´elations optom´ecaniques obtenues avec la cavit´e d´ecrite dans la section 3.2 (r´ef´erence des miroirs 3022/12 et 07125/2). Nous nous pla¸cons hors r´esonance m´ecanique, ce qui permet d’obtenir des r´esultats plus simples `a interpr´eter du fait de l’absence de dynamique du miroir. Les corr´elations induites `a la r´esonance m´ecanique sont ´etudi´ees dans la section suivante.

Dispositif exp´erimental

Nous cherchons `a ´etablir les corr´elations optom´ecaniques entre les fluctuations d’intensit´e du faisceau intense r´efl´echi δIout

s par la cavit´e et les fluctuations de phase δϕout

m du faisceau de mesure. Pour une cavit´e sans perte, on a δIout

s = δIin s , et cela revient bien `a mesurer les corr´elations entre le bruit d’intensit´e incident et la position du miroir. Cette approche est en fait la m´ethode la plus propre pour observer les corr´elations optom´ecaniques au niveau quantique, et s’assurer que les d´eplacements du miroir sont bien dus aux fluctuations d’intensit´e du fais-ceau incident : si on injectait un seul faisfais-ceau dans la cavit´e, on ne pourrait pas mesurer au niveau quantique `a la fois sa phase et son intensit´e. On serait donc amen´e `a placer une lame s´eparatrice sur le trajet du faisceau r´efl´echi, de fa¸con

3. Le g´en´erateur amorce la lecture du tableau d´efinissant la modulation arbitraire `a partir d’un point al´eatoire du tableau.

`a pouvoir r´ealiser ces deux mesures simultan´ement sur deux parties du faisceau. Mais une telle lame modifie les statistiques quantiques des faisceaux, r´eduisant les corr´elations optom´ecaniques intensit´e-phase observables.

Le dispositif exp´erimental que nous utilisons est identique `a celui qui est pr´esent´e sur la figure 3.1. Le modulateur ´electro-optique non r´esonnant se situant sur le trajet du faisceau intense est aliment´e `a son minimum de transmission par un am-plificateur Tegam 2340 qui pr´eamplifie le bruit arbitraire fourni par le dispositif repr´esent´e sur la figure 3.8. La sortie de la d´etection homodyne et la sortie HF de la photodiode de la d´etection Pound-Drever, qui permettent de mesurer respecti-vement la phase du faisceau de mesure r´efl´echi et les fluctuations d’intensit´e du faisceau intense r´efl´echi par la cavit´e, sont reli´ees `a deux analyseurs de spectres Agilent MXA 9020 A identiques, tous deux configur´es en mode I/Q, ce qui permet d’extraire les quadratures associ´ees `a chaque signal. Le fonctionnement du mode I/Q de ces analyseurs de spectres est similaire `a celui du dispositif de d´emodulation des quadratures sch´ematis´e sur la figure1.31: il n´ecessite de d´efinir essentiellement deux param`etres, une fr´equence centrale Ω_ref/2π, et un intervalle spectral ∆Ω/2π. Le signal appliqu´e `a l’entr´ee de l’analyseur de spectre est alors filtr´e autour de la fr´equence Ω<sub>ref</sub>/2π sur la largeur spectrale ∆Ω/2π ; il est ensuite m´elang´e `a une r´ef´erence g´en´er´ee par l’analyseur `a la fr´equence Ωref/2π, puis en-fin filtr´e `a basse fr´equence aen-fin d’´eliminer les termes oscillants `a 2Ωref/2π. Il est ´egalement possible de choisir un param`etre de temps de balayage, auquel est reli´e la dur´ee de l’´echantillonnage.

Il est indispensable que les d´emodulations de l’intensit´e du faisceau intense et de la phase du faisceau sonde satisfassent deux contraintes importantes : tout d’abord, elle doivent ˆetre r´ealis´ees de mani`ere synchrone : en effet, nous avons vu que lorsque le bruit d’intensit´e δIin

s est blanc et stationnaire, sa fonction d’autocorr´elation hδIin

s (t)δIin

s (t0)i correspond `a une fonction δ(t −t0). Les fluctuations de phase δϕout m

du faisceau de mesure ´etant proportionnelles aux fluctuations d’intensit´e, la fonc-tion de corr´elafonc-tionhδIin

s (t)δϕout

m (t0)i ne prend de valeurs non-nulles que pour t = t0: un d´ecalage non maˆıtris´e de l’origine des temps des deux signaux conduirait alors `a un brouillage des corr´elations `a d´elai nul. Pour s’assurer que les d´emodulations sont bien synchrones, les acquisitions des deux analyseurs sont d´eclench´ees sur une source externe fournie par l’un des deux g´en´erateurs AFG3102. La seconde contrainte importante est que les deux d´emodulations doivent extraire les qua-dratures dans les mˆemes r´ef´erentiels tournants `a la fr´equence Ωref/2π autour de laquelle le bruit d’intensit´e est appliqu´e au faisceau intense, faute de quoi les d´emodulations se traduiront par des rotations suppl´ementaires dans l’espace des phases. Cela signifie que les fr´equences de d´emodulation d´efinies sur les deux ana-lyseurs doivent ˆetre rigoureusement les mˆemes, et ´egales `a celle qui est d´efinie par les deux g´en´erateurs. Pour cela, on synchronise les bases de temps des quatre appa-reils (les deux analyseurs de spectres et les deux g´en´erateurs de bruit) sur le mˆeme VCO, pr´elev´e sur la sortie ad´equate de l’un des deux analyseurs (voir figure3.10). Nous avons pu v´erifier `a l’aide de signaux arbitraires simples envoy´es directement sur l’analyseur de spectre `a partir des deux g´en´erateurs que cette m´ethode de syn-chronisation permettait bien de d´eclencher simultan´ement la d´emodulation des quadratures de deux signaux distincts dans des r´ef´erentiels tournants `a la mˆeme pulsation.

Protocole exp´erimental

La r´ealisation de l’exp´erience commence par l’ex´ecution du programme qui permet de g´en´erer le bruit d’intensit´e. On d´efinit ensuite sur le g´en´erateur la fr´equence de

Figure 3.10: Principe de la synchronisation des g´en´erateurs de bruit et des analyseurs de spectres.

la porteuse Ωref/2π ainsi que la vitesse de balayage des tableaux arbitraires corres-pondant aux quadratures, ce qui fixe la largeur spectrale du bruit d’intensit´e. On active ensuite la modulation, et on mesure cette largeur `a l’aide de l’analyseur de spectre connect´e `a la sortie de la photodiode de l’asservissement Pound-Drever. Cela permet de d´efinir la largeur commune des filtres des modes I/Q des ana-lyseurs, centr´es `a la fr´equence Ωref/2π. En pratique, on les choisira de l’ordre de la largeur du bruit d’intensit´e : d´efinir une largeur plus grande impliquerait l’int´egration du mouvement du miroir sur une bande spectrale qui n’est pas ex-cit´ee par le bruit de pression de radiation, ce qui reviendrait `a d´egrader le rapport δxrad/δxT. Par ailleurs le bruit d’intensit´e ne pourrait plus ˆetre consid´er´e comme blanc sur la plage d’analyse.

Une fois ces r´eglages effectu´es, on asservit la fr´equence du laser sur la r´esonance optique de la cavit´e. On d´etecte `a l’aide des deux analyseurs de spectres les deux couples de quadratures, que l’on enregistre sous la forme de fichiers de points prˆets `a ˆetre trait´es par ordinateur. On obtient ainsi l’´evolution temporelle des quadratures du bruit d’intensit´e du faisceau signal, et des fluctuations de phase r´esultantes du faisceau de mesure, `a partir desquelles on peut tracer la trajectoire des grandeurs correspondantes dans l’espace des phases, ou calculer les fonctions de corr´elation.

Calibration des d´eplacements du miroir

Nous avons cherch´e `a calibrer les trajectoires dans l’espace des phases, du moins pour les r´esultats fournis par la phase du faisceau de mesure, en terme de d´eplacements des miroirs. Pour cela, nous utilisons une m´ethode qui repose sur la comparaison entre la variance du signal (exprim´ee en Volt) et celle du bruit thermique (ex-prim´ee en m`etres). On peut v´erifier en utilisant les ´equations (3.43) et (3.39) que la dispersion ∆v d’un signal v(t) stationnaire quelconque, d´efinie comme la racine carr´ee de sa fonction d’autocorr´elation `a d´elai nul, est li´ee `a son spectre Sv par la relation :

∆v² =hv²(t = 0)i = Z _+∞

−∞

Il s’agit d’un r´esultat bien connu, qui stipule que la variance d’une variable al´eatoire stationnaire est ´egale `a l’aire de son spectre.

Lorsque la cavit´e se trouve `a r´esonance optique, et en l’absence d’intensit´e sur le faisceau signal, la tension v<sub>DH</sub>(t) fournie par la d´etection homodyne est propor-tionnelle au bruit thermique δxT<sup>4</sup>, et sa d´emodulation en I/Q avec l’analyseur de spectres ´equivaut `a l’application d’un certain filtre H. La variance du signal issu de la mesure s’´ecrit donc sous la forme :

∆v_DH² = G² Z _+∞

−∞

dΩ|H[Ω]|²S_x^T[Ω], (3.63) o`u G est le gain global de l’ensemble {D´etection+Analyseur}, que l’on cherche `a d´eterminer, et o`u H est normalis´e `a 1 `a sa fr´equence centrale. En supposant que l’on effectue la d´emodulation sur une plage de fr´equence νspan autour de Ωref ´eloign´ee de toute r´esonance m´ecanique, on peut consid´erer le bruit thermique comme un bruit blanc stationnaire, de densit´e spectrale S<sup>T</sup><sub>x</sub> constante, et le gain G s’´ecrit d’apr`es l’´equation (3.63) : G² = ^∆v 2 DH S^T_x R_+∞ −∞ dΩ|H[Ω]|2. (3.64) La connaissance de la densit´e spectrale S^T_x, de la fonction d’appareil H, et la mesure de la dispersion ∆vDHpermettent donc de calibrer l’espace des phases de la d´etection homodyne. Il reste `a pr´eciser comment on d´etermine exp´erimentalement ∆vDH. Lorsque le signal est ergodique5, ce qui est vrai d`es lors que la dur´ee T de sa mesure est grande devant l’inverse de la largeur spectrale du filtre H, la moyenne h...i sur l’ensemble des r´ealisations de la variable s’identifie `a la moyenne temporelle du signal sur sa plage d’acquisition :

∆v_DH² = ¹ T

Z T 0

dt v²_DH(t). (3.65) En d´ecomposant le signal vDH dans son espace des phases (´equation (3.39)), et apr`es ´elimination des termes oscillants rapidement, on obtient l’expression de la variance en fonction des quadratures :

∆v2 DH ' ¹ 2T Z T 0 dt V2 1(t) + ¹ 2T Z T 0 dt V2 2(t) ' ¹ 2^[∆V 2 1 + ∆V₂²]. (3.66) Le carr´e de la variance du signal mesur´e est donc ´egal `a la demi somme des carr´es des variances de ses quadratures, qui s’identifient aux variances temporelles des deux tableaux que l’analyseur de spectres renvoie.

On peut alors exprimer les quadratures V₁ et V₂ d’un signal quelconque mesur´e

4. On n´eglige le bruit de photon

5. Nous avons fait cette hypoth`ese depuis le d´ebut de ce manuscrit sans le signaler explicite-ment, puisque les diff´erents spectres que nous y avons pr´esent´e ont ´et´e obtenus par moyennage temporel.

par la d´etection homodyne en termes de d´eplacements X1 et X2 : X1,2(t) = v u u tS^Tx R_+∞ −∞ dΩ|H[Ω]|2 1 2[∆V2 1 + ∆V2 2] ^{V1,2(t). (3.67)} Nous n’avons pas cherch´e `a ´etablir une calibration pr´ecise des r´esultats que nous pr´esentons dans le paragraphe suivant, mais juste une calibration indicative. Nous avons ainsi consid´er´e la fonction d’appareil H comme une simple fonction porte, ´egale `a 1 sur [Ωref/2π− νspan/2, Ωref/2π + νspan/2] et nulle partout ailleurs. La cali-bration que nous avons finalement appliqu´ee aux donn´ees provenant de l’analyseur de spectres est donc la suivante :

X_1,2(t) = s

S^T_xν_span

1

2[(∆V1)2 + (∆V2)2]^{V1,2(t). (3.68)} Pour les courbes que nous pr´esentons dans la suite, nous avons pris la valeur de la densit´e spectrale du bruit thermique S^T_x = 10−36 m2/Hz, ce qui correspond `a la valeur obtenue `a partir du spectre de bruit thermique.

R´esultats exp´erimentaux

Les r´esultats que nous pr´esentons ici ont ´et´e obtenus en appliquant le bruit d’in-tensit´e `a la fr´equence Ωref/2π = 1123 kHz, soit 1 kilohertz en-de¸c`a de la r´esonance m´ecanique correspondant au mode fondamental Gaussien du miroir plan-convexe. Nous avons choisi la vitesse de balayage du signal arbitraire ´egale `a 200 ms, ce qui correspond `a une largeur spectrale d’environ 400 Hz pour le bruit d’intensit´e. Les modes I/Q des deux analyseurs de spectres sont ainsi centr´es `a la fr´equence Ω<sub>ref</sub>, et la largeur de leur filtre d’analyse est prise ´egale `a νspan = 400 Hz. Les puissances du faisceau signal et du faisceau de mesure sont choisies ´egales respectivement `a 150 µW et 500 µW. Remarquons que le faisceau signal a une puissance moyenne plus faible que celle du faisceau de mesure. Cela n’empˆeche pas le miroir de n’ˆetre sensible qu’aux effets de pression de radiation du faisceau signal, puisque celui-ci est soumis `a un bruit classique d’intensit´e. Si l’on cherchait `a mettre en ´evidence les corr´elations au niveau quantique, il faudrait utiliser un faisceau signal plus intense, ce qui ne pose pas de probl`eme en pratique vu la tenue au flux de nos cavit´es.

La figure 3.11 repr´esente l’espace des phases du bruit d’intensit´e (`a gauche) et celui du bruit de position du miroir (`a droite), d´eduit de la mesure de la phase du faisceau de mesure r´efl´echi, calibr´e comme expliqu´e dans le paragraphe pr´ec´edent. Pour ces courbes, le rapport signal `a bruit Srad

x /ST

x, d´etermin´e grˆace `a la comparai-son du spectre des d´eplacements en pr´esence et en l’absence du bruit d’intensit´e, vaut environ 6000. On note que la trajectoire du bruit d’intensit´e correspond bien visuellement `a une marche pseudo-al´eatoire, explorant les 4 quadrants de l’espace des phases comme nous le voulons. Les corr´elations optom´ecaniques apparaissent de mani`ere ´evidente sur cette figure, puisque les trajectoires des deux bruits dans leur espace des phases respectif sont presque identiques, `a une rotation globale pr`es. Cette rotation r´esulte du fait que l’espace des phases de chacun des bruits est d´efini `a une phase pr`es, qui d´epend de la chaˆıne de d´etection ainsi que de la dynamique du miroir mobile a priori. Comme nous appliquons ici le bruit d’inten-sit´e `a basse fr´equence, nous savons que la r´eponse m´ecanique du miroir doit ˆetre

-1 0 1 -1 0 1 I₁ Hu.a.L I2 Hu .a .L -10 0 10 -10 0 10 X₁H10-15mL X² H10 -15 mL

Figure 3.11: Trajectoires du bruit d’intensit´e (`a gauche) et du bruit de position du miroir (`a droite).

en phase avec l’excitation, si bien que nous pouvons attribuer ce d´ephasage `a la chaˆıne de d´etection.

Coefficient de corr´elation

Afin de pouvoir quantifier les corr´elations optom´ecaniques, nous utilisons la fonc-tion de corr´elafonc-tion entre l’intensit´e δIs du faisceau signal et la phase du faisceau de mesure, proportionnelle aux d´eplacements δx du miroir d`es lors que le bruit quantique de phase du faisceau de mesure est n´egligeable. Pour des bruits station-naires blancs et Gaussiens, on peut se contenter de la fonction de corr´elation `a d´elai nul puisque le temps de m´emoire infiniment court d´etruit les corr´elations `a d´elai non nul. Cette fonction de corr´elation, normalis´ee `a 1 pour des corr´elations parfaites, a d´ej`a ´et´e introduite au chapitre 1 (´equation1.68). D’apr`es l’hypoth`ese ergodique, elle peut s’´ecrire comme des moyennes temporelles sur le temps T de mesure : CδI−δx = hδI(t)δx(t)i ∆I(t)∆x(t) <sup>=</sup> RT 0 dt δI(t)δx(t) RT 0 dt δI2(t)1 2 RT 0 dt δx2(t)1 2 . (3.69) Pour des bruits filtr´es autour d’une fr´equence Ωref, on peut relier cette fonction de corr´elation aux quadratures I1, I2, X1 et X2 des deux variables, en prenant garde toutefois `a une ´eventuelle rotation globale. Le plus simple consiste `a repr´esenter les deux bruits par deux grandeurs complexes I = I1+ iI2 et X = X1+ iX2, qui repr´esentent les trajectoires dans l’espace des phases. En ne gardant que les termes lentement variables par rapport `a Ωref, on d´efinit la fonction de corr´elation `a partir de la d´ecomposition des grandeurs en fonction de leurs quadratures (´equation

similaire `a (3.39)) par : CδI−δx = hX(t)I∗(t)i p |X|2|I|2 = RT 0 dtX(t)I?(t) RT 0 dt|X(t)|21/2RT 0 dt|I(t)|21/2. (3.70) Ce coefficient est en g´en´eral complexe :

CδI−δx =|CδI−δx| e^iθ, (3.71)

avec une amplitude|CδI−δx| qui caract´erise le niveau des corr´elations. En particulier elle est ´egale `a 1 pour des corr´elations parfaites. L’angle θ d´efinit la rotation qu’il faut appliquer `a l’une des trajectoires pour que les deux trajectoires dans l’espace des phases soient les plus semblables.

Remarquons enfin que cette expression du coefficient de corr´elation est identique `a celle que nous avons calcul´ee dans la section 1.4 : en ´ecrivant les d´eplacements X(t) comme la somme d’une contribution proportionnelle au signal I(t) et du bruit thermique δx<sub>T</sub>, on d´emontre `a partir de l’´equation (3.70) une relation similaire `a (1.94) : |CδI−δx|2 = <sup>S</sup> rad x Srad x + ST x . (3.72) Dans le cas des signaux pr´esent´es sur la figure3.11, le calcul du coefficient complexe CδI−δx permet de d´eterminer θ =−74, 6˚, et |CδI−δx|2 = 0.98, ce qui correspond `a des corr´elations presque parfaites. En appliquant la rotation d’angle θ `a la trajec-toire (X1, X2), on s’assure que l’angle calcul´e correspond bien au d´ephasage entre les espaces des phases (voir figure 3.12).

-1 0 1 -1 0 1 I₁ Hu.a.L I2 Hu .a .L -10 0 10 -10 0 10 X₁H10-15mL X² H10 -15 mL ^Θ

Figure 3.12: Trajectoires du bruit d’intensit´e (`a gauche) et du bruit de position du miroir (`a droite) corrig´e du d´ephasage θ = −74, 6˚ caus´e par la chaˆıne de

d´etection.

Evolution en fonction de la puissance de bruit

-0.1 0 0.1 0 0.1 I1 Hu.a.L I2 Hu .a .L -2 0 2 0 2 X₁H10-15mL X² H10 -15 mL -0.03 0 0.03 0 0.03 I1 Hu.a.L I2 Hu .a .L -0.5 0 0.5 0 0.5 X1H10-15 mL X² H10 -15 mL -0.005 0 0.005 0 0.005 I₁ Hu.a.L I2 Hu .a .L -0.1 0 0.1 0 0.1 X1H10-15 mL X² H10 -15 mL -0.002 0 0.002 0 0.002 I₁ Hu.a.L I2 Hu .a .L -0.02 0 0.02 0 0.02 X₁H10-15 mL X² H10 -15 mL

Figure 3.13: Trajectoires du bruit d’intensit´e (`a gauche) et du bruit de position qui en r´esulte (`a droite). Les trajectoires de la position sont corrig´ees de la rotation d’angle θ, d´etermin´e individuellement pour chaque courbe `a partir du coefficient de corr´elationCδI−δx. Le rapport signal `a bruit Srad

x /ST

x est `a chaque fois d´etermin´e `a partir de la variance du bruit d’intensit´e compar´ee `a celle du

bruit thermique. De haut en bas, on a S_x^rad/S^T_x = 400, 25, 1.5, et 0, 1.

du rapport signal `a bruit, qui s’identifie dans notre exp´erience au rapport Srad x /ST

x

puisque l’essentiel de la contamination du bruit de phase du faisceau de mesure est li´e au bruit thermique du miroir. Pour cela, nous avons effectu´e un certain nombre d’acquisitions, qui ne diff`erent les unes des autres que par l’amplitude du bruit d’intensit´e appliqu´e au faisceau intense. Les r´esultats obtenus sont pr´esent´es

0.1 1 10 100 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S_x^radSx^T  C^∆ I-∆ x ¤ 2

Figure 3.14: Evolution des corr´elations|CδI−δx|2en fonction du rapport signal `

a bruit S_x^rad/S_x^T. La ligne continue correspond `a l’ajustement par la formule (1 + S_x^T/S_x^rad)⁻¹ (´eq. (3.72)).

sur la figure 3.13. On constate clairement qu’`a mesure que l’on baisse la puis-sance de modulation, la signature du bruit d’intensit´e devient de moins en moins ´evidente dans l’espace des phases du bruit de position : les fluctuations d’intensit´e s’impriment toujours sur la position du miroir, mais subissent une d´egradation induite par le bruit thermique, que l’on peut estimer d’apr`es ces trajectoires `a l’´echelle de 10−17m/√

Hz, en accord avec le niveau du bruit thermique mesur´e exp´erimentalement.

De mani`ere plus quantitative, la figure 3.14 pr´esente l’´evolution des corr´elations |Cδx−δI|2 en fonction du rapport signal `a bruit d´etermin´e `a partir de la variance du bruit d’intensit´e. On note l’excellent accord entre les points exp´erimentaux et leur ajustement par la formule (3.72), ce qui d´emontre que les corr´elations que nous mesurons correspondent bien `a la proportion du mouvement du miroir induite par la force de pression de radiation.