D´emonstration exp´erimentale avec un bruit classique

Nous terminons cette partie par une d´emonstration exp´erimentale de la d´emarche pr´esent´ee dans la section pr´ec´edente, en utilisant un bruit d’intensit´e classique de faible amplitude : nous ´etudions les propri´et´es statistiques de la fonction de corr´elation optom´ecanique moyenn´ee sur plusieurs acquisitions, lorsque le syst`eme est soumis au bruit d’intensit´e arbitraire pr´esent´e sur la figure4.1.

Le r´eseau de courbes de la figure 4.3 correspond `a l’´evolution des fonctions de corr´elation optom´ecaniquesCs−m(T ), normalis´ees `a 1 en divisant l’´equation (4.16) par le produit ∆ ˜ϕout

m ∆ ˜Iout

s . Chaque courbe est associ´ee `a une acquisition diff´erente de la phase du faisceau de mesure, mais elles sont toutes r´ealis´ees dans des condi-tions exp´erimentales identiques (mˆeme bruit d’intensit´e appliqu´e en cycles de 200 ms, le temps total de l’acquisition ´etant de 2.8 s). Il apparaˆıt sur cette figure

0.001 0.01 0.1 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Temps THsL C s-m HT L

Figure 4.3: Evolution en fonction du temps de la fonction de corr´elation op-tom´ecanique. Les 20 courbes du r´eseau repr´esent´e sont construites `a partir d’au-tant d’acquisitions ind´ependantes de la phase du faisceau de mesure, longues chacune de 2.8 s, par moyennage du produit δ ˜ϕout

m δ ˜Iout

s (´equation (4.16)), nor-malis´e au produit des dispersions ∆ ˜ϕ^out_m ∆ ˜I_s^out.

que le r´eseau constitu´e par les diverses r´ealisations de la fonction de corr´elation op-tom´ecanique forme un fuseau qui converge vers une valeur asymptotique non nulle Cs−m(t→ ∞) ' 0.16, en bon accord avec la valeur du rapport Srad

x /ST

x = 2.4×10−2

que nous avons d´etermin´ee dans la section 4.1.1.

Les deux courbes en pointill´es repr´esentent l’incertitude sur la mesure de la fonc-tion de corr´elafonc-tion normalis´ee (d´etermin´ee d’apr`es l’´equafonc-tion (4.28), avec Γ<sub>span</sub>/2π = 500 Hz), qui d’apr`es l’´equation (4.29) ´evolue asymptotiquement comme±^p2/Γ_spanT

autour de la valeur limite Cs−m(+∞). On note sur la figure 4.3 une certaine dis-sym´etrie vers les valeurs positives des courbes exp´erimentales par rapport au fuseau d´efini par l’incertitude attendue. Pour comprendre cet effet, on peut d´ecomposer la fonction de corr´elation en deux termes Cδ ˜I−δ˜xrad(t) et Cδ ˜I−δ˜xT(t) correspondant respectivement `a la contribution de la pression de radiation et du bruit (voir ´equation (4.18)). Ces quantit´es ne sont pas accessibles exp´erimentalement, puis-qu’on ne peut pas extraire de la mesure de la phase δϕout

m du faisceau r´efl´echi la partie δxrad li´ee `a la pression de radiation et celle li´ee au bruit thermique δxT. Par contre, on s’attend `a ce que le mouvement δxrad soit proportionnel au bruit d’intensit´e δIin

s , ce qui signifie que le terme CδI−δxrad est proportionnel `a la fonction d’autocorr´elation du bruit d’intensit´e :

Cδ ˜I−δ˜xrad(T ) = Cs−m(T → ∞) × Cδ ˜I−δ ˜I(T ) = Cs−m(T → ∞) × ¹ T (∆Iout s )2 Z T 0 dt(δI_s^out(t))². (4.31) Le coefficient de proportionnalit´eCs−m(T → ∞) se d´eduit des valeurs atteintes en T infini, sachant queCδ ˜I−δ˜xT = 0 puisque les variables δIin

s et δxT sont d´ecorr´el´ees. D’apr`es l’´equation (4.18), cette derni`ere fonction de corr´elation s’´ecrit finalement : Cδ ˜I−δ˜xT(T ) =Cs−m(T )− CδI−δxrad(T ). (4.32) Les r´esultats obtenus exp´erimentalement sont pr´esent´es sur les figures 4.4 et 4.5. Par construction, le r´eseau de courbes (Cδ ˜I−δ˜xrad) converge vers la valeur asympto-tique de la fonction de corr´elation optom´ecanique Cs−m(T → ∞). On remarquera que la convergence apparaˆıt comme pseudo-p´eriodique : l’ensemble des courbes formant le fuseau se coupent sur la ligne en pointill´es chaque fois que le temps atteint un multiple de 200 ms, correspondant `a la p´eriode du bruit d’intensit´e ar-bitraire.

On notera ´egalement que ce r´eseau de courbes pr´esente une dissym´etrie assez marqu´ee vers les valeurs positives. Cela provient du fait que la distribution de (δ ˜Iout

s )2 (en bas sur la figure 4.4) est elle-mˆeme dissym´etrique, les ´ev´enements d’amplitude s’´elevant `a plusieurs fois la variance du bruit ayant une probabilit´e si-gnificative de se produire3. C’est cette dissym´etrie qui explique celle du r´eseau des courbes pr´esent´ees sur la figure 4.3. En effet, l’autre terme Cδ ˜I−δ˜xT(t) est propor-tionnel au produit δ ˜Iout

s δ˜x_T, et on s’attend `a ce qu’il soit distribu´e sym´etriquement par rapport `a z´ero, puisque c’est le cas du bruit thermique δxT.

La figure4.5montre que les courbes correspondantes, calcul´ees `a partir de l’´equation (4.32), sont bien distribu´ees sym´etriquement autour de z´ero, et que la conver-gence du fuseau qu’elles forment semble en outre compatible avec celle attendue th´eoriquement (courbes rouges, trac´ees d’apr`es l’´equation (4.28)).

La figure 4.6 repr´esente l’´evolution de la dispersion sur Cδ ˜I−δ˜xT(t) en fonction du temps (courbe bleue), obtenue `a partir du r´eseau de courbes de la figure 4.5. Cette dispersion est `a comparer `a celle pr´evue par l’´equation (4.28), en pourpre sur la figure 4.6. On constate que si la dispersion obtenue exp´erimentalement

3. Dans le cas d’un bruit de pression de radiation Gaussien, la dissym´etrie deCδ ˜I−δ˜xrad atten-due est beaucoup moins prononc´ee, la distribution Gaussienne ayant une port´ee beaucoup plus limit´ee que celle de notre bruit arbitraire. Cette port´ee peut ˆetre quantifi´ee `a l’aide du kurtosis de la distribution [80], c’est-`a-dire son moment centr´e d’ordre 4 : pour une distribution Gaussienne, celui-ci est ´egal `a 3, tandis qu’il vaut 5.2 dans le cas du bruit dont la distribution est pr´esent´ee sur la figure4.4, dont la queue est donc plus lourde que celle d’une simple Gaussienne.

0.001 0.01 0.1 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Temps THsL C^∆ I-∆ x^rad HT L 0 1 2 3 4 5 0 0.005 0.01

∆I_s^outDIs^out

P@

∆

Is

out

D

Figure 4.4: En haut : ´evolution en fonction du temps de la contribution C_{δ ˜I−δ˜xrad} des effets de pression de radiation `a la fonction de corr´elation op-tom´ecanique (´equation (4.31)). En bas : distribution de la variance instantan´ee

du bruit d’intensit´e arbitraire.

d´ecroˆıt bien asymptotiquement comme 1/√

T , elle demeure sup´erieure `a celle qui est th´eoriquement attendue. Ceci peut s’expliquer par le fait que le filtre de l’analyseur de spectre n’est pas de type Lorentzien, mais de type Gaussien, donc plus s´electif en fr´equence. La courbe marron correspond `a la dispersion calcul´ee `a partir de l’´equation (4.28), mais o`u l’on a ajust´e la largeur du filtre, ´egale `a Γspan/2π = 320 Hz, ce qui est en bon accord avec l’hypoth`ese d’une plus grande s´electivit´e spectrale de la part d’un filtre Gaussien.

0.001 0.01 0.1 1 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Temps THsL C^∆ I-∆ x^T HT L

Figure 4.5: Evolution en fonction du temps T de la contributionC_{δ ˜I−δ˜xT}, cal-cul´ee `a partir de l’´equation (4.32) du bruit thermique `a la fonction de corr´elation optom´ecanique. Les deux courbes rouges correspondent `a la dispersion th´eorique sur la mesure des corr´elations, calcul´ee `a partir de l’´equation (4.28) normalis´ee

au produit des dispersions ∆ ˜ϕout m ∆ ˜Iout s . 0.001 0.01 0.1 1 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 Temps THsL D C^∆ I-∆ x^T HT L a b c

Figure 4.6: Evolution de la dispersion du bruit sur les corr´elations op-tom´ecaniques ∆C_{δ ˜I−δ˜xT}(T ). La courbe bleue (a) correspond `a la dispersion d´etermin´ee exp´erimentalement `a partir du r´eseau de courbes de la figure 4.5. La courbe pourpre (b) correspond `a la dispersion th´eorique (´equation (4.28)), o`u l’on a pris la largeur du filtre Γ_span/2π = 500 Hz. La courbe marron (c) correspond `a la dispersion toujours donn´ee par l’´equation (4.28), mais o`u l’on a