La cavit´e `a miroir mobile

La cavit´e est l’´el´ement central de notre exp´erience. Comme nous l’avons ´evoqu´e dans la section 1.1.2, c’est elle qui permet d’exacerber le couplage optom´ecanique entre la lumi`ere et le miroir mobile, nous donnant ainsi acc`es `a la mesure de d´eplacements d’autant plus faibles que la qualit´e optique des miroirs qui la consti-tue est meilleure, ce qui suppose l’utilisation d’un coupleur d’entr´ee de tr`es faible transmission. Cependant, d’autres param`etres affectent la sensibilit´e de la me-sure. Nous allons ainsi voir que les pertes dans la cavit´e, que nous avons jusque-l`a n´eglig´ees, s’av`erent ˆetre un facteur particuli`erement critique si elles ne sont pas petites devant la transmission du coupleur d’entr´ee, ce qui est difficile `a obtenir lorsque celle-ci est tr`es faible. Nous avons ´egalement d´ej`a remarqu´e dans la section

1.2.2que la cavit´e se comporte comme un filtre passe bas, et limite donc l’observa-tion des d´eplacements du miroir mobile `a des fr´equences sup´erieures `a sa fr´equence de coupure. Nous verrons que ce ph´enom`ene de filtrage implique des contraintes sur la longueur de la cavit´e, ce qui n´ecessite l’´elaboration de syst`emes de maintien et de proc´edures de montage appropri´es. Enfin, nous pr´esenterons certaines des solutions qui ont ´et´e retenues jusqu’`a pr´esent, ce qui nous permettra de comparer leurs performances avec celles de la nouvelle cavit´e, que nous d´ecrirons dans le chapitre suivant.

Pertes dans la cavit´e

Dans tout ce qui pr´ec`ede, nous avons suppos´e que la seule contribution `a l’amor-tissement γ du champ dans la cavit´e provenait de la transmission du coupleur d’entr´ee (cf section 1.2.2). Cette transmission n’est en g´en´eral pas la seule source d’amortissement pour la cavit´e, et une partie des pertes subies par le champ intra-cavit´e sont produites par l’absorption et la diffusion au niveau des traitements des miroirs. Si l’on ne s’int´eresse qu’au champ r´efl´echi par la cavit´e, l’ensemble de ces pertes peut ˆetre mod´elis´e par une transmission non nulle du miroir arri`ere. Dans ce cas il faut prendre en compte le champ du vide qui p´en`etre dans la cavit´e par

ce miroir de fa¸con `a conserver l’unitarit´e des transformations des champs [37], et les ´equations d’entr´ee-sortie du champ (1.28) et (1.29) deviennent :

τ ^d

dt^{α(t) = [}−γ + iΨ(t)]α(t) +^√T αⁱⁿ(t) +√

P α^vide(t), (1.98) α^out(t) = √

T α(t)− αin(t), (1.99) o`u T d´esigne la transmission en intensit´e du coupleur d’entr´ee, P les pertes dans la cavit´e, et o`u l’amortissement γ est reli´e aux pertes globales du champ dans la cavit´e par 2γ = P + T , la finesse valant par suite F = 2π/(P + T ). Les pertes introduisent un nouveau terme de bruit αvide dˆu au couplage avec les fluctuations du vide, sur lequel nous reviendrons, puisqu’il est responsable de la d´egradation des corr´elations induites par pression de radiation entre l’intensit´e du faisceau et la position du miroir mobile. Les valeurs des champs moyens r´efl´echi et intracavit´e sont modifi´ees par rapport au cas sans perte donn´e par les ´equations (1.32) et (1.33). Les champs moyens s’´ecrivent d´esormais :

α = √ T γ − iΨ^α in , α^out = ^γ− P + iΨ γ− iΨ ^α in. (1.100) Le champ intracavit´e est r´eduit `a r´esonance d’un facteur p

T /2γ =p

T /(T + P ) par rapport au cas sans perte, ce qui se traduit par une perte de sensibilit´e puisque celle-ci est directement reli´ee `a la puissance intracavit´e. D’autre part, l’intensit´e r´efl´echie est maintenant inf´erieure `a l’intensit´e incidente. Plus pr´ecis´ement, l’ex-pression du champ r´efl´echi montre que lorsque l’on balaye le d´ephasage au voisi-nage d’une r´esonance, l’intensit´e r´efl´echie d´ecrit un pic d’Airy en absorption. Ceci s’explique intuitivement en remarquant qu’au voisinage de la r´esonance, l’intensit´e intracavit´e est non nulle, et qu’une fraction de la puissance lumineuse est donc per-due. La profondeur de ce pic est donn´ee par le coefficient de r´eflexion `a r´esonance R0 : R0 = <sup>I</sup> out Ψ=0 I<sup>out</sup><sub>Ψ=±∞</sub> <sup>=</sup>  T − P T + P 2 . (1.101) Cette expression montre que lorsque les pertes deviennent comparables `a la trans-mission du coupleur d’entr´ee, le coefficient de r´eflexion `a r´esonance prend des va-leurs tr`es faibles, r´eduisant d’autant la sensibilit´e de la mesure des d´eplacements. Ceci d´emontre l’importance de rendre les pertes les plus faibles possible relative-ment `a la transmission du miroir d’entr´ee. C’est pourquoi le choix de ce coefficient r´esultera d’un compromis entre l’obtention d’une grande finesse, et la r´eduction de l’amplitude relative des pertes.

On distingue essentiellement deux cat´egories de pertes : les pertes par diffusion, qui sont caus´ees par les irr´egularit´es de la surface sur laquelle le front d’onde est r´efl´echi, et les pertes par absorption, qui sont li´ees `a la qualit´e du traitement r´efl´echissant constituant le miroir. Actuellement, il est possible de r´ealiser des miroirs dont le traitement multidi´electrique engendre des pertes par diffusion et par absorption inf´erieures au ppm. En prenant une transmission de 20 ppm, on b´en´eficiera alors `a la fois d’une finesse ´elev´ee (F ' 300 000), et d’effets li´es aux pertes n´egligeables.

Bande passante de la cavit´e

quantique n´ecessite que la mesure ne soit limit´ee que par le bruit de photon stan-dard de la lumi`ere utilis´ee pour l’effectuer. Or, nous verrons qu’exp´erimentalement, les bruits techniques du laser sont pr´epond´erants `a basses fr´equences (typiquement jusqu’`a quelques centaines de kilohertz). Il est donc pr´ef´erable de proc´eder `a la me-sure de la position du miroir `a des fr´equences suffisamment ´elev´ees (typiquement le megahertz), de sorte que ces bruits techniques soient n´egligeables devant le bruit de photon. La bande passante de la cavit´e Ωcav se r´ev`ele alors ˆetre un param`etre important : elle doit ˆetre sup´erieure `a la fr´equence d’observation du mouvement du miroir, sans quoi la sensibilit´e de notre mesure s’en trouvera d´egrad´ee. Les expressions (1.43) et (1.31) montrent que la bande passante est inversement pro-portionnelle `a la finesse et `a la longueur de la cavit´e :

Ωcav = ^γ τ ⁼

πc 2FL0

(1.102) La recherche d’une grande finesse n´ecessitera donc la mise au point de cavit´e tr`es courtes, si l’on veut conserver une bande passante suffisamment ´elev´ee. Pour une finesse de 300 000 et une bande passante sup´erieure au megahertz, cette derni`ere ´equation montre que la longueur de la cavit´e ne devra pas exc´eder le quart de millim`etre !

Signalons par ailleurs que l’utilisation d’une cavit´e courte permet de r´eduire la sensibilit´e de la mesure au bruit de fr´equence du laser. En effet, la phase du faisceau r´efl´echi d´epend du d´ephasage ψ = 4πL₀/λ accumul´e par la lumi`ere lors d’un aller-retour dans la cavit´e (´equation (1.30)). Les variations de ce d´ephasage r´esultent donc aussi bien des d´eplacements δx du miroir que des fluctuations de la fr´equence ν = c/λ du laser, qui entachent notre mesure :

δψ = ^4π

c ^{(L0δν + νδx) (1.103)} Cette ´equation montre que la sensibilit´e au bruit de fr´equence est proportionnelle `a la longueur de la cavit´e, que l’on cherchera donc `a r´eduire le plus possible. R´ealisation exp´erimentale

Les cavit´es que nous utilisons dans notre ´equipe sont form´ees de miroirs fabriqu´es `a partir de substrats REO ou GSI en silice fondue, un mat´eriau qui pr´esente de tr`es bonnes propri´et´es m´ecaniques avec des facteurs de qualit´e intrins`eques de l’ordre de 107, et dont les techniques de polissage et de d´epˆot des traitements sont aujourd’hui parmi les mieux maˆıtris´ees.

Les miroirs sont super-polis, leurs d´efauts de surface n’exc´edant pas 0, 4 ˚A RMS, ce qui correspond `a ce qui se fait de mieux commercialement en terme de super-poli. Les pertes par diffusion engendr´ees par les d´efauts r´esiduels sont en principe inf´erieures `a 10 ppm. Les traitements multidi´electriques ont ´et´e r´ealis´es par le Laboratoire des Mat´eriaux Avanc´es (LMA) qui est sp´ecialis´e dans la fabrication de miroirs de tr`es haute r´efl´ectivit´e. Leur savoir-faire se situe actuellement `a la pointe de la technologie, comme en t´emoignent les sp´ecifications atteintes avec les miroirs qu’ils ont r´ealis´e pour l’interf´erom`etre VIRGO (absorption< 1 ppm, diffusion< 5 ppm).

Le principe des cavit´es utilis´ees par notre ´equipe depuis plusieurs ann´ees consiste en un miroir d’entr´ee de g´eom´etrie cylindrique, dont la face r´efl´echissante admet une courbure concave de 1 m de rayon, et d’un miroir mobile plan, dot´e d’une

transmission tr`es faible devant celle du coupleur d’entr´ee, et pr´esentant au choix une g´eom´etrie cylindrique ou plan-convexe. Les deux miroirs sont mont´es en vis-`a-vis dans un support rigide, dont la conception constitue une ´etape d´ecisive de notre exp´erience : il faut en effet assurer un excellent maintien des miroirs afin d’att´enuer la transmission des vibrations provenant de l’environnement ext´erieur, tout en minimisant l’effet de la fixation des miroirs sur leurs modes de vibration internes et ainsi obtenir des miroirs se rapprochant au maximum de la situation de r´esonateurs libres. Le syst`eme m´ecanique doit en outre permettre d’assurer le parall´elisme des deux miroirs, ce qui n´ecessite une fabrication de pr´ecision, ainsi que des proc´edures de montage appropri´ees. Nous pr´esentons sur la figure 1.18

le principe d’un ancien montage ayant ´et´e mis au point dans notre ´equipe pour des cavit´es compos´ees de 2 miroirs cylindriques de 25, 4 mm de diam`etre et de 6 mm d’´epaisseur. Chaque miroir est mont´e s´epar´ement dans une bague en cuivre, les deux bagues ´etant ensuite plaqu´ees l’une contre l’autre. Le montage de chaque miroir dans sa bague est une ´etape tr`es d´elicate, puisque c’est elle qui d´etermine leur parall´elisme. Cette op´eration est r´ealis´ee `a l’aide d’une pi`ece de montage cylindrique dans laquelle un ´epaulement de 0, 1 mm a ´et´e pratiqu´e, de mani`ere `a fixer la longueur de la cavit´e `a 0, 2 mm. Tout d´efaut de parall´elisme se traduit par un d´ecentrage de l’axe optique de la cavit´e par rapport au centre des miroirs, ce qui limite la mesure de d´eplacements si le faisceau laser s’´ecarte ded l’extension spatiale du mode de vibration. Le syst`eme de montage pr´esent´e ici permet d’obtenir un d´ecentrage le l’ordre du millim`etre [54], ce qui est satisfaisant pour un miroir mobile cylindrique dont les modes de vibrations pr´esentent une extension spatiale typique de l’ordre du diam`etre du miroir. Ce montage s’est cependant r´ev´el´e insuffisant pour la suite de nos exp´eriences, et nous avons ´et´e amen´es `a utiliser d’autres principes de fixation que nous d´ecrivons dans les chapitres suivants.

Caract´erisation optique de la cavit´e

La prise en compte des pertes (´equations (1.98) et (1.99)), ainsi qu’un calcul similaire `a celui effectu´e pour obtenir les ´equations (1.39) `a (1.42) permet de d´eterminer l’expression des fluctuations de la phase du faisceau r´efl´echi par une cavit´e `a r´esonance (ψ = 0) : δq<sup>out</sup>[Ω] = <sup>γ</sup>− P + iΩτ γ− iΩτ <sup>δq</sup> in[Ω] + √ T P γ− iΩτ<sup>δq</sup> vide[Ω] +<sup>4</sup> √ 2γ− P γ− iΩτ <sup>kαδx[Ω]. (1.104)</sup> La mesure des d´eplacements du miroir mobile δx `a partir de δqoutn´ecessite donc la connaissance de trois param`etres : le temps de stockage des photons dans la cavit´e τ , le taux d’amortissement optique γ et les pertes P , ou de mani`ere ´equivalente la longueur L0 (´equation (1.31)) la finesse F (´equation (1.34)), et le coefficient de r´eflexion `a r´esonanceR0 (´equation (1.101)). Si la proc´edure de montage m´ecanique et les sp´ecifications de fabrication des miroirs nous fournissent une id´ee approxi-mative de la valeur de ces diff´erents param`etres, il n’en demeure pas moins in-dispensable d’en avoir une ´evaluation pr´ecise et ind´ependante. Nous pr´esentons ici la m´ethode que nous suivons pour mesurer chacun de ces 3 param`etres. Nous reviendrons sur la mise en oeuvre exp´erimentale de la mesure de ces param`etres dans la section 1.5.4.

Figure 1.18: En haut : ancien montage de la cavit´e `a miroirs cylindriques dans deux bagues en cuivre. En bas : Proc´edure de montage d’un miroir dans

sa bague `a l’aide d’un support cylindrique.

Intervalle spectral libre

Une cavit´e optique plan-concave poss`ede des modes de r´esonance optiques longi-tudinaux auxquels sont associ´es une s´erie de modes transverses [28]. L’intervalle spectral libre, qui caract´erise l’´ecart en fr´equence entre deux r´esonances longitu-dinales, est donn´e par :

ν_ISL= ^c 2L0

. (1.105)

A titre indicatif, cet intervalle vaut 600 GHz pour une cavit´e de longueur 0, 25 mm. L’´equation (1.105) montre alors que la mesure de l’intervalle spectral libre permet de remonter directement `a la longueur de la cavit´e. Signalons qu’il est ´egalement possible d’utiliser les r´esonances correspondant aux modes transverses de la cavit´e pour d´eterminer sa longueur. L’intervalle spectral s´eparant ces modes transverses d´epend non seulement de la longueur de la cavit´e, mais aussi du rayon de courbure R du miroir d’entr´ee. Dans l’approximation d’un rayon de courbure grand devant la longueur de la cavit´e, cet intervalle peut s’´ecrire :

νtr = ^νISL π r L₀ R ⁼ c 2π√ RL0 (1.106)

La valeur de cet intervalle est typiquement de l’ordre de 3 GHz pour une cavit´e de longueur 0, 25 mm, ce qui le rend beaucoup plus facilement mesurable que l’inter-valle spectral libre, au d´etriment bien sˆur d’une moindre pr´ecision. Nous verrons qu’en pratique, on utilisera la mesure de l’intervalle transverse pour obtenir une estimation grossi`ere de l’intervalle spectral libre et ainsi faciliter sa d´etermination pr´ecise par sauts de fr´equence du laser.

Bande passante et finesse

La finesse F est par d´efinition le rapport entre l’intervalle spectral libre νISL et la largeur du pic d’Airy 2ν_BP (o`u ν_BP = Ω_cav/2π est la bande passante de la cavit´e), comme le montre ´egalement l’´equation (1.102) :

F = ^π γ ⁼