Modes acoustiques Gaussiens d’un miroir plan-convexe

Il faut plus pr´ecis´ement se placer dans le cadre de l’approximation paraxiale pour pouvoir calculer ces solutions dont les expressions sont similaires aux modes Gaus-siens optiques. Cette approximation n’est valide que si la composante longitudinale k_z du vecteur d’onde du mode selon l’axe (Oz) perpendiculaire `a la face plane du r´esonateur (voir figure 2.20) est tr`es grande devant la composante transverse k_⊥. Cette approximation impose en particulier que l’´epaisseur h0 au centre du miroir reste petite devant le rayon de courbure R de la face arri`ere [66].

On d´enombre alors deux familles de solutions. La premi`ere est form´ee de modes de cisaillement qui sont caract´eris´es par des d´eformations du r´esonateur dans le plan transverse. La seconde cat´egorie regroupe les modes de compression, qui induisent des d´eplacements longitudinaux. Seuls ces derniers provoquent une d´eformation de la surface selon l’axe (Oz), et sont susceptibles d’ˆetre coupl´es au faisceau lumineux.

h₀

O ^z

R

D

Face traitée

Figure 2.20: Sch´ema d’un miroir plan-convexe.

Nous ne consid´erons donc dans la suite que la famille des modes de compression. Ces modes sont class´es selon trois indices n, p, et l, et pr´esentent chacun un profil Gaussien [66–68] similaire au profil d’intensit´e du champ dans une cavit´e Fabry-Perot [69]. L’amplitude du d´eplacement selon l’axe Oz en un point du r´esonateur rep´er´e par ses coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) s’´ecrit :

unpl(r, θ, z) = e^−(r/wn)2√ 2 ^r w_n l L^l_p  2^r 2 w2 n  cos  n ^πz h(r)  cos(lθ), (2.19) o`u Ll

p est un polynˆome de Laguerre, h(r) d´esigne l’´epaisseur du r´esonateur `a une distance r de l’axe (Oz), et o`u w_n est le waist acoustique, d´efini par :

w_n² = ^2h0 nπ p Rh0 = ^w 2 1 n ^{. (2.20)} On voit sur l’´equation (2.19) que n d´esigne le nombre de ventres du mode selon l’axe (Oz), p repr´esente le nombre de z´eros de la fonction radiale, et l est reli´e `a la sym´etrie angulaire du mode. Les modes se r´epartissent en s´eries d’harmoniques in-dic´ees par n, constitu´ees chacune d’un mode longitudinal n 0 0 fondamental accom-pagn´e de modes d’indices transverses p et l non nuls. Les fr´equences de r´esonances de ces modes sont donn´ees par la relation :

Ω²_npl = Ω²_M " n²+ (2p + l + 1)²ⁿ π r h0 R # , (2.21) o`u ΩM est l’intervalle spectral libre,

Ω_M = πc_l/h₀, (2.22) cl´etant la c´el´erit´e des ondes longitudinales dans le substrat. L’expression explicite de la fonction radiale unpl des modes permet en outre de calculer leurs masses de mani`ere exacte [66], qui s’expriment comme le produit du volume du mode par la masse volumique ρ du mat´eriau constituant le substrat :

Mnpl= ρ Z d³r|unpl(r)|² = ^π 4^ρh0w 2 n. (2.23)

Cette ´equation permet de d´egager la premi`ere condition que les dimensions de notre miroir plan-convexe doit satisfaire : si l’on veut disposer de mode de faible masse, on cherchera `a minimiser `a la fois l’´epaisseur h0 du r´esonateur et son waist acoustique, c’est-`a-dire le rayon de courbure R de sa face arri`ere (cf. ´equation (2.20)).

Ce crit`ere est toutefois concurrenc´e par une seconde condition, qui concerne le confinement des modes, dont d´epend le facteur de qualit´e m´ecanique. On peut caract´eriser ce confinement par le rapport  entre l’extension spatiale w1 du mode fondamental et le diam`etre D du r´esonateur. Ce diam`etre est au plus ´egal `a √

8h₀R, cette valeur ´etant atteinte lorsque le r´esonateur est une calotte sph´erique d’´epaisseur h(D/2) nulle au bord (voir figure 2.20).On obtient ainsi :

² = ^w 2 1 D2 = p h0/R 4π(1− h0/2R) ≥ _4π¹ r h0 R^{. (2.24)} Une bonne isolation m´ecanique de ces modes n´ecessitera donc de minimiser ce rapport, ce qui revient `a choisir une ´epaisseur h<sub>0</sub> la plus faible possible vis-`a-vis du rayon de courbure de la face arri`ere.

Une derni`ere condition concerne la fr´equence du mode fondamental Ω<sub>M</sub> : pour optimiser la sensibilit´e de la mesure aux d´eplacements du miroir, il est pr´ef´erable que cette fr´equence se situe `a l’int´erieur de la bande passante de la cavit´e, qui est typiquement de l’ordre du megahertz pour une finesse de 300 000 et une lon-gueur de 500 µm. La vitesse du son dans la silice fondue ´etant de 5970 m/s, cela signifie, d’apr`es l’´equation (2.22), qu’il faudra fixer l’´epaisseur h0 au centre du r´esonateur aux alentours de 3 mm. L’´equation (2.24) montre que pour obtenir un mode confin´e `a quelques pourcents de la surface totale du r´esonateur, la face arri`ere devra pr´esenter une courbure sup´erieure `a 10 cm, ce qui correspond `a un diam`etre de l’ordre de 50 mm pour le miroir. Compte tenu de la masse volumique de la silice fondue (ρ_Silice = 2200 kg/m3), l’´equation (2.23) montre que l’on s’at-tend avec ce type de param`etres `a des modes de masses inf´erieures `a la centaine de mg.

Pour des raisons pratiques, nous n’utilisons pas une calotte sph´erique mais une g´eom´etrie plan-convexe dont l’´epaisseur au bord est de l’ordre du millim`etre. Nous avons finalement opt´e pour un miroir plan-convexe de diam`etre 34 mm, d’´epaisseur au centre 2, 5 mm, et dont la face arri`ere a une courbure de 150 mm (figure2.21). Une ´etude pr´eliminaire, r´ealis´ee avec un miroir plan-convexe ayant des couches di´electrique de qualit´e moyenne, a ´et´e men´ee `a l’aide d’un dispositif d’excitation arri`ere similaire `a celui que l’on a pr´esent´e dans la section1.5.4[54]. Ceci a permis de v´erifier que ce r´esonateur se comportait m´ecaniquement comme on pouvait s’y attendre. Le profil des deux premiers modes Gaussiens fondamentaux 1 0 0 et 2 0 0 situ´es `a Ω100 = 1164 kHz et Ω200 = 2290 kHz ont ainsi ´et´e reconstitu´es (figure

2.22), donnant des waists w₁ = 3, 5 mm et w₂ = 2, 4 mm, plus petits que les valeurs pr´edites par l’´equation (2.20), soit 5, 9 mm et 4, 1 mm.

Le confinement obtenu se traduit par des facteurs de qualit´e tr`es sup´erieurs `a ceux des modes du miroir cylindrique, puisque la mesure de leurs taux de relaxation a montr´e que Γ₁₀₀ = 2π× 2, 64 Hz et Γ200 = 2π× 3, 26 Hz, ce qui correspond `a des facteurs de qualit´e Q100 = 350 000 et Q200 = 650 000, soit un ordre de grandeur au dessus des valeurs typiquement obtenues avec le r´esonateur cylindrique. L’impact du confinement sur la masse de ces modes a ´egalement pu ˆetre v´erifi´e, puisque la r´eponse `a une force de pression de radiation arri`ere a permis d’´etablir M₁ = 40 mg

Figure 2.21: Le miroir plan-convexe.

2 0 0 1 0 0

n p l =

Figure 2.22: Profils exp´erimentaux des deux premiers modes fondamentaux Gaussiens. Le cercle ext´erieur correspond au bord du substrat, sur un diam`etre

de 34 mm.

et M2 = 50 mg, soit un facteur 10 en dessous des masses habituellement observ´ees avec le miroir cylindrique.