Fonctionnement de l’exp´erience et r´esultats ant´erieurs

Nous pr´esentons maintenant le fonctionnement de notre exp´erience, dont le sch´ema de base, ant´erieur `a la mise en place de la double injection, est repr´esent´e sur la fi-gure1.22. Ceci nous permettra de d´etailler, `a partir de l’exemple d’une cavit´e `a mi-roirs cylindriques, le protocole que nous suivons pour mesurer les caract´eristiques optiques et m´ecaniques de la cavit´e `a miroir mobile. Nous terminerons cette section par la pr´esentation d’un certain nombre de r´esultats obtenus avant le commence-ment de mon travail de th`ese.

Proc´edure d’alignement de la cavit´e

L’alignement de la cavit´e est une ´etape relativement d´elicate : la cavit´e ´etant tr`es courte, son intervalle spectral libre est de l’ordre de plusieurs centaines de gigahertz comme nous l’avons vu dans la section 1.5.1, ce qui rend la recherche d’une r´esonance fondamentale (large typiquement de quelques m´egahertz) parti-culi`erement difficile. Nous pr´esentons ici le nouveau protocole d’alignement que nous avons mis au point, et au cours duquel les caract´eristiques optiques de la cavit´e sont d´etermin´ees. Cette m´ethode, grˆace notamment `a l’utilisation d’une cam´era et d’une ´etape de pr´ealignement, a permis de faire passer la dur´ee de la proc´edure d’une demi-journ´ee `a quelques dizaines de minutes, ce qui est significatif lors des phases de tests de diff´erentes cavit´es.

Pr´ealignement

Figure 1.23: Montage utilis´e pour ajuster le parall´elisme des miroirs.

1.5.1est relativement efficace, il est tout de mˆeme n´ecessaire de v´erifier qu’elle per-met d’obtenir un parall´elisme suffisant des miroirs. La cavit´e est pour cela mont´ee sur un banc de test am´enag´e `a cet effet `a partir d’une fraction du faisceau pr´elev´ee `a la sortie du laser titane-saphir. Le miroir de fond poss´edant une transmission non parfaitement nulle, il est possible d’observer les modes transverses de la ca-vit´e en pla¸cant une cam´era infrarouge derri`ere le miroir et en ajustant sa mise au point pour faire l’image du miroir. Notons qu’il n’est pas n´ecessaire de faire varier la fr´equence du laser pour observer ces modes : la cavit´e ´etant mont´ee `a l’air libre, les fluctuations thermiques ainsi que les fluctuations d’indice de l’air produisent des variations de sa longueur optique qui suffisent `a faire d´efiler rapi-dement et continˆument les r´esonances transverses. Ces modes admettent un centre de sym´etrie commun, qui se trouve sur l’axe optique de la cavit´e : le rep´erage du centre des modes permet donc d’en d´eduire directement la qualit´e du parall´elisme des deux miroirs. Le pr´ealignement consiste alors `a ajuster la position du centre de sym´etrie des modes transverses de mani`ere `a ce qu’il co¨ıncide avec le centre du miroir de fond, en modifiant l’orientation du miroir d’entr´ee selon trois degr´es de libert´e `a l’aide d’un syst`eme de trois vis microm´etriques (repr´esent´e sur la figure

1.23) plac´ees `a 120˚ les unes des autres. Ces vis poussent ind´ependamment sur le miroir d’entr´ee, le faisant glisser `a l’int´erieur de sa bague de fixation. Ceci permet d’ajuster finement son orientation, mais a aussi pour cons´equence de r´eduire la longueur de la cavit´e.

Identification d’une r´esonance fondamentale

La cavit´e est ensuite plac´ee dans une enceinte `a vide munie d’un asservissement de temp´erature afin de stabiliser autant que possible sa longueur optique. On utilise toujours, dans un premier temps, une cam´era infrarouge pour observer les modes transmis par la cavit´e. Comme nous l’avons indiqu´e dans la section 1.5.1, ces modes se r´epartissent en s´erie de peignes indic´es par n, correspondant `a un mode longitudinal n, 0, 0 accompagn´e de modes d’indices p et q non nuls, p + q ´etant le nombre de plans nodaux du mode, proportionnel `a son extension spatiale.

Les fr´equences de ces modes sont donn´ees par la relation :

νnpq = nνISL+ (p + q + 1)νtr (1.121) Cette expression permet de comprendre qu’`a mesure que l’on se rapproche d’une r´esonance fondamentale au sein du n-i`eme peigne en diminuant la fr´equence du laser, l’extension spatiale des modes d´ecroˆıt. La m´ethode que nous suivons pour localiser un mode fondamental consiste alors `a balayer la fr´equence du laser afin de rep´erer une r´esonance transverse mod´er´ement ´etendue (typiquement quelques mm). On optimise l’intensit´e de ce mode en ajustant l’orientation du faisceau inci-dent `a l’aide de deux miroirs mont´es en ”ba¨ıonnette” juste devant la cavit´e. On di-minue alors la fr´equence du laser en actionnant ses ´el´ements mobiles (g´en´eralement le Lyot et l’´etalon mince en d´ebut de proc´edure pour effectuer des grands sauts de fr´equence), afin de trouver un mode d’ordre inf´erieur, dont on optimise l’in-tensit´e de la mˆeme mani`ere. On it`ere l’op´eration jusqu’`a l’obtention d’un mode suffisamment compact et intense. La visualisation avec la cam´era infrarouge se r´ev`ele alors insuffisante `a ce stade si l’on veut pouvoir poursuivre efficacement le protocole d’alignement : la cam´era est en effet tr`es sensible, et sature sous l’effet de l’intensit´e des modes transverses, qui sont maintenant tr`es focalis´es. On remplace donc la cam´era par le capteur CCD d’une webcam dont on a enlev´e l’objectif. Bien que moins sensible, ce capteur pr´esente l’avantage de pouvoir identifier le mode ob-serv´e. On diminue alors la fr´equence du laser, en optimisant successivement chaque mode transverse rencontr´e, jusqu’`a l’obtention d’un mode fondamental Gaussien TEM00. La figure 1.24 montre le mode fondamental et les premiers modes trans-verses de la cavit´e `a miroirs cylindriques tels que nous les observons avec ce capteur CCD.

Enfin, on mesure la longueur d’onde correspondant `a cette r´esonance grˆace au lambdam`etre, ce qui permettra de la retrouver rapidement d’un jour `a l’autre, l’en-ceinte `a vide et l’asservissement de temp´erature assurant une tr`es bonne stabilit´e de la longueur de la cavit´e. Signalons enfin que l’on profite de cette op´eration pour d´eterminer l’intervalle transverse νtr, de l’ordre 0, 07 ˚A, en relevant la fr´equence des r´esonances transverses successives grˆace au lambdam`etre.

Optimisation de l’adaptation spatiale

Une fois la r´esonance optique rep´er´ee, il reste `a optimiser l’adaptation spatiale, qui doit ˆetre maximale si l’on veut pouvoir b´en´eficier d’une grande sensibilit´e comme nous l’avons vu dans la section1.5.2. Il s’agit d’injecter la cavit´e avec un faisceau poss´edant les mˆemes propri´et´es g´eom´etriques que le mode TEM00 de la cavit´e : le faisceau doit donc ˆetre parfaitement align´e sur la cavit´e, mais il doit ´egalement pr´esenter un profil identique `a celui du mode fondamental, qui est Gaussien et caract´eris´e par son col w0 reli´e `a la longueur L de la cavit´e et au rayon de courbure R du coupleur d’entr´ee par l’expression :

w₀² = ^λ π

p

L(R− L) (1.122) Dans les conditions typiques de notre exp´erience, c’est-`a-dire L = 0, 25 mm, R = 1 m, et λ = 810 nm, la valeur de ce col est voisine de 65 µm. Nous avons donc con¸cu le syst`eme d’injection du faisceau laser pour obtenir un tel col au niveau du miroir mobile de la cavit´e. Le dispositif se termine par une lentille de focalisation mont´ee sur une platine de translation, qui permet d’ajuster la position du col sur une plage de quelques centim`etres. Pour pouvoir proc´eder au r´eglage de l’adaptation

Figure 1.24: Mode fondamental et premiers modes transverses d’une cavit´e `a miroirs cylindriques. Le doublet situ´e en dessous de chaque image indique les

ordres (p, q) du mode concern´e.

spatiale, on se place `a la fr´equence de r´esonance optique d´etermin´ee lors de l’´etape pr´ec´edente, et on active une modulation de fr´equence du laser d’une amplitude de quelques dizaines de m´egahertz, en appliquant une tension sinuso¨ıdale `a 100 Hz sur la cale pi´ezo´electrique du miroir M4 du laser. Notons que pour que la cavit´e de filtrage reste `a r´esonance avec le faisceau incident, cette mˆeme modulation est envoy´ee avec un gain et une phase ad´equats sur la cale pi´ezo´electrique du FPF. On d´etecte l’intensit´e transmise par la cavit´e `a miroir mobile, qui d´ecrit un pic d’Airy de largeur ´egale `a deux fois la bande passante, `a l’aide d’une photodiode dont la sortie est reli´ee `a un oscilloscope num´erique.

On cherche dans un premier temps `a maximiser la hauteur du pic, en jouant sur l’orientation des miroirs de la ba¨ıonnette d’injection. Cette op´eration termin´ee, on note l’amplitude du pic I0, puis on augmente la fr´equence du laser d’une quantit´e νtr en utilisant le bilame, de fa¸con `a se placer autour de la premi`ere r´esonance transverse : si l’optimisation de la r´esonance fondamentale a ´et´e correctement r´ealis´ee, l’intensit´e de ce mode doit ˆetre quasiment nulle, sa valeur I1 ´etant reli´ee essentiellement au d´ecentrage du faisceau par rapport `a l’axe optique de la cavit´e. On augmente de nouveau la fr´equence de mani`ere `a se placer au voisinage de la seconde r´esonance transverse. L’amplitude de cette r´esonance est d’autant plus grande que le col du faisceau est mal adapt´e `a celui impos´e par la cavit´e. On cherchera donc `a faire diminuer l’amplitude de ce pic, en jouant sur la position de la derni`ere lentille de focalisation, c’est `a dire en d´epla¸cant le col du faisceau jusqu’`a ce qu’il se trouve dans le plan du miroir mobile. Le r´eglage est alors termin´e, et on rel`eve la hauteur du pic r´esiduel I2. On poursuit le balayage sur une dizaine de νtr, et on mesure les hauteurs Ik des r´esonances rencontr´ees. En g´en´eral, lorsque la cavit´e est correctement align´ee, la contribution des modes dont la fr´equence est ´eloign´ee de plus de 10νtr de celle du fondamental est compl`etement n´egligeable. La base des modes transverses ´etant orthogonale, on peut calculer l’adaptation

spatiale `a partir des n mesures pr´ec´edemment effectu´ees (´equation (1.112)) : ηcav = |α0|2 I^{in =} I0 X k∈N Ik ' X^I0 k∈[0,n] Ik (1.123) On trouve ainsi un accord ηcav entre le faisceau et la cavit´e proche de 98%. D´etermination de la finesse

Le pic d’Airy enregistr´e lors de l’´etape pr´ec´edente (figure1.25) permet de d´eterminer la bande passante de la cavit´e. On mesure pour cela sa largeur, que l’on compare `a celle du pic d’intensit´e transmis par la cavit´e FPF dans les mˆemes conditions de modulation, et dont on connaˆıt la bande passante, ´egale `a 5, 6 MHz (voir section

1.5.2). Pour la cavit´e cylindrique utilis´ee jusqu’ici comme exemple, on trouve une bande passante νBP = 1, 35 MHz.

Pour d´eterminer la finesse, il reste `a mesurer l’intervalle spectrale libre. Pour cela, on utilise dans un premier temps sa valeur approch´ee que l’on peut d´eduire de la mesure de νtr (´equation (1.106)). A partir de cette valeur, on change la fr´equence du laser (g´en´eralement `a l’aide du Lyot) de mani`ere `a se placer `a la fr´equence pr´esum´ee de la r´esonance longitudinale suivante. On affine enfin la recherche `a l’aide du bilame jusqu’`a l’obtention de cette seconde r´esonance. L’´ecart en lon-gueur d’onde que nous avons mesur´e est ∆λ = 13, 4 ˚A pour une longueur d’onde moyenne de 810 nm. On en d´eduit la valeur de l’intervalle spectral libre :

νISL= c^∆λ

λ2 = 613 GHz. (1.124) Cette derni`ere mesure permet de connaˆıtre la longueur de la cavit´e,

L0 = ^c 2νISL

= 0, 24 mm, (1.125) ainsi que la finesse de la cavit´e (´eq.(1.107)) :

F = ^νISL 2νBP

= 230 000. (1.126) On en d´eduit par la mˆeme occasion les pertes totales de la cavit´e (´equation (1.108)) T + P = 27 ppm.

D´etermination des pertes de la cavit´e

On d´etermine les pertes `a partir de la mesure du coefficient de r´eflexion `a r´esonance, comme nous l’avons expliqu´e dans la section 1.5.1. L’expression (1.101) que nous en avons donn´ee doit cependant ˆetre modifi´ee, et tenir compte de l’adaptation spatiale : en effet, si celle-ci est imparfaite, seule la partie du champ incident coupl´ee `a la cavit´e est sensible aux pertes, le reste de la lumi`ere ´etant simplement r´efl´echi, R0 = ηcav  T − P T + P 2 + 1− ηcav. (1.127) Le coefficient de r´eflexion `a r´esonance est donn´e par le rapport des intensit´es r´efl´echies `a r´esonance et hors r´esonance. Pour r´ealiser ces mesures, on utilise les

Figure 1.25: Pic d’Airy en transmission de la cavit´e. On d´eduit de l’ajustement lorentzien (courbe en tirets) la valeur de la bande passante ν_BP = 1, 35 MHz et

la finesse F = 230 000.

photodiodes de la d´etection homodyne. L’oscillateur local est coup´e, et les deux sorties continues des photodiodes sont envoy´ees sur un amplificateur sommateur, de mani`ere `a obtenir un signal proportionnel `a l’intensit´e du champ r´efl´echi par la cavit´e. En comparant les signaux collect´es `a r´esonance et hors r´esonance, on obtient un coefficient de r´eflexion `a r´esonance R0 = 11 % pour la cavit´e `a miroirs cylindriques. En utilisant les valeurs pr´ec´edemment mesur´ees des pertes et de l’adaptation spatiale, l’´equation (1.127) permet d’´etablir que les pertes P et la transmission T valent respectivement 9 ppm et 18 ppm. Comme on pouvait s’y attendre, la transmission mesur´ee est en tr`es bon accord avec les sp´ecifications du fabricant indiquant 20 ppm, alors que les pertes son l´eg`erement sup´erieures au ppm attendu d’apr`es la tr`es faible rugosit´e de la surface du substrat.

Optimisation et calibration de la d´etection

Une fois l’optimisation et la caract´erisation de la cavit´e `a miroir mobile r´ealis´ees, la mesure ultra-sensible de d´eplacements requiert d’optimiser et de calibrer le dispositif de d´etection homodyne.

Recouvrement spatial

En dehors des aspects concernant l’´equilibrage des deux voies de d´etection et la r´eduction des pertes optiques dont nous avons d´ej`a parl´e dans la section 1.5.3, il est important de maximiser le recouvrement spatial η<sub>OL</sub> entre le faisceau de me-sure r´efl´echi par la cavit´e et l’oscillateur local. On optimise pour cela le contraste des interf´erences `a basses fr´equences observ´ees sur le signal I₋, qui est une fonc-tion croissante du recouvrement d’apr`es l’´equafonc-tion (1.120). L’op´eration consiste `a appliquer une rampe de fr´equence sur le v´erin du miroir de l’oscillateur local, et de faire ainsi d´efiler les franges d’interf´erence, que l’on visualise sur un oscilloscope. On r`egle alors l’orientation et la position du support de ce miroir, afin de maxi-miser l’amplitude des interf´erences. Lorsque l’on a termin´e le r´eglage, on rel`eve l’amplitude crˆete-`a-crˆete I^c.c.₋ des interf´erences, puis on mesure les intensit´es I^out

et IOL, obtenues en masquant successivement l’oscillateur local et le faisceau de mesure, et en additionnant la sortie des deux photodiodes `a chaque fois. On sait alors d’apr`es l’´equation (1.120) que le recouvrement ηOL est donn´e par :

ηOL= ^I

c.c. −

16I^outI_OL ^(1.128) Nous sommes ainsi parvenus `a atteindre un recouvrement de 94% avec la cavit´e `a miroirs cylindriques.

Calibration de la d´etection

La calibration de la d´etection permet de convertir la tension qu’elle fournit en d´eplacement ´equivalent du miroir. Nous pr´esentons rapidement la technique an-ciennement utilis´ee, qui consiste `a appliquer une modulation de fr´equence δνm

connue au laser, et `a faire correspondre son amplitude (en Hz) `a celle du signal mesur´e en volts sur la d´etection homodyne. On sait en effet qu’une variation de la fr´equence du laser est ´equivalente `a une variation δx de longueur `a fr´equence optique ν constante (´equation (1.103)) :

δx L0

= ^δνm

ν ^{. (1.129)} Cette relation permet de transformer la modulation de fr´equence en modulation ´equivalente de longueur, et ainsi de convertir les variations de tension d´elivr´ees par la d´etection homodyne en d´eplacements du miroir.

En pratique, la premi`ere ´etape de la calibration consiste `a ´etalonner la modulation de fr´equence δνm, cr´e´ee en appliquant une tension sinuso¨ıdale sur le modulateur ´electro-optique interne du laser. On la compare pour cela `a la bande passante νF P F

BP de la cavit´e de filtrage (FPF) : lorsque celle-ci se trouve hors de r´esonance, la modulation de fr´equence provoque une modulation de l’intensit´e qui lui est proportionnelle, avec une pente maximale `a mi-transmission, c’est-`a-dire pour un d´esaccord ψ = ±γ (voir figure 1.26). Pour une amplitude de modulation petite devant la bande passante de la cavit´e FPF (δν_m  νF P F

BP ), et `a basses fr´equences, c’est-`a-dire pour une fr´equence de modulation Ωm  νF P F

BP , on peut montrer facilement [56] que la profondeur de la modulation d’intensit´e δI[Ωm]/I est ´egale `a : δI[Ω<sub>m</sub>] I <sup>=</sup> δν<sub>m</sub>[Ω<sub>m</sub>] νF P F BP (1.130) Exp´erimentalement, on s’assure tout d’abord que le modulateur ´electro-optique ne produit aucune modulation d’intensit´e en mesurant l’intensit´e transmise par la cavit´e FPF lorsque celle-ci ce trouve `a r´esonance, puis on d´eplace son point de fonctionnement en ajoutant un offset au signal d’erreur pilotant l’asservissement de la cavit´e. On mesure ensuite la modulation d’intensit´e transmise δI[Ω_m], ainsi que l’intensit´e moyenne transmise I, ce qui nous donne finalement l’amplitude de la modulation de fr´equence correspondante δνm[Ωm].

L’´etalonnage de la modulation de r´ef´erence ayant ´et´e r´ealis´e, on peut maintenant passer `a la seconde phase de la calibration, qui consiste `a convertir le signal collect´e `a la sortie de la d´etection homodyne en m`etres. Pour cela, on mesure l’effet de la modulation de fr´equence δνm[Ωm] sur la d´etection homodyne. L’amplitude Vm[Ωm] (en Volt) du signal d´etect´e `a la fr´equence Ωmpermet alors directement de convertir

-4 -2 0 2 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Désaccord ؐà Transmission

∆Ψ

∆I

Figure 1.26: Principe de l’´etalonnage de la modulation de r´ef´erence : les va-riations δψ du d´esaccord provoqu´ees par la modulation de fr´equence se tra-duisent par une modulation δI de l’intensit´e qui est maximale lorsque le point de fonctionnement de la cavit´e (en vert) est `a mi-transmission. La mesure de cette modulation permet donc de remonter `a l’amplitude de la modulation de

fr´equence.

un signal quelconque VDH[Ωm] collect´e `a la sortie de la d´etection homodyne en variation de fr´equence ´equivalente δν[Ωm], puis, via la correspondance donn´ee par la relation (1.129), en d´eplacement ´equivalent δx[Ω_m] :

δx[Ωm] = L^δνm[Ωm] ν

VDH[Ωm]

Vm[Ωm] ^{. (1.131)} Calibration des spectres de bruit

La calibration pr´ec´edente, valable `a la pulsation Ωm, doit ˆetre ´etendue sur une plage plus large en fr´equence si l’on veut exprimer les spectres de bruit de phase observ´es en terme de d´eplacements ´equivalents du miroir mobile. Comme nous avons v´erifi´e que le dispositif de d´etection pr´esente une bande passante de plusieurs dizaines de megahertz, la seule d´ependance en fr´equence est due au filtrage par la cavit´e `a miroir mobile. L’´equation (1.42) permet en effet de relier le spectre Sout

ϕ de la phase du faisceau r´efl´echi au spectre Sx des d´eplacements du miroir (g´en´eralisation de l’´equation (1.44)) :

S_ϕ^out[Ω] = S_ϕⁱⁿ[Ω] + 64F^{2 1} 1 + (Ω/Ωcav)2

S_x[Ω]

λ2 . (1.132) La calibration (1.131) doit donc ˆetre corrig´ee par une d´ependance en fr´equence de la forme p

1 + (Ω/Ωcav)2.

Par ailleurs, la calibration d’une modulation diff`ere de celle d’un bruit, car ce der-nier est d´efini comme une amplitude spectrale exprim´ee en m/√

Hz (´equation (1.20)). Exp´erimentalement, on utilise un analyseur de spectres pour acqu´erir le bruit de position du miroir : l’analyseur mesure la puissance PDH[Ω] du si-gnal d´elivr´e par la d´etection homodyne, int´egr´ee sur une certaine bande νRBW de

fr´equence, correspondant `a la largeur spectrale d’analyse (Resolution bandwidth). Cette puissance est donc reli´ee `a la tension V_DH[Ω] (qui s’exprime donc en V /√

Hz dans le cas d’un bruit) par la relation :

P_DH[Ω] = ^VDH[Ω]

2ν_RBW

R ^(1.133)

o`u R = 50 Ω est l’imp´edance d’entr´ee de l’appareil. L’analyseur de spectres