D´emonstrations exp´erimentales de mesure QND en optique

Pour r´ealiser un dispositif de mesure quantique non-destructive, il faut avant toute chose disposer d’un syst`eme r´egi par ses fluctuations quantiques. La deuxi`eme condition pr´ealable, tout aussi importante que la premi`ere, est de pouvoir mesurer ces fluctuations, avec une pr´ecision suffisante. Ainsi, au milieu des ann´ees 1980, l’optique quantique, qui disposait alors de sources et de d´etecteurs fonctionnant au niveau quantique, est naturellement devenue l’un des domaines les plus pro-pices `a l’´etude des questions fondamentales relatives `a la m´ecanique quantique, et en particulier `a celle des mesures QND. L’id´ee g´en´erale qui s’est alors r´epandue

consistait `a r´ealiser la mesure quantique non destructive de l’intensit´e d’un fais-ceau signal, en le couplant au moyen d’une interaction conservative `a un second faisceau, mesur´e de mani`ere destructive. Le transfert des fluctuations du premier faisceau sur le deuxi`eme permet dans ces conditions d’acc´eder `a l’intensit´e du faisceau signal, sans la perturber. Le couplage est en pratique r´ealis´e `a l’aide de milieux non-lin´eaires [47,48] : les propri´et´es optiques de tels milieux sont modifi´ees par la lumi`ere qui les traverse. Les changements induits par le faisceau signal sur le milieu sont alors lus par le faisceau de mesure.

Effet Kerr crois´e

Un grand nombre d’exp´eriences se sont ainsi appuy´ees sur l’utilisation de ”l’effet Kerr crois´e” (voir fig.1.14). Un milieu Kerr est un milieu non lin´eaire dont l’indice d´epend lin´eairement de l’intensit´e de la lumi`ere qui le traverse. L’effet Kerr crois´e correspond `a une situation pour laquelle l’indice de propagation d’un faisceau est modifi´e par l’intensit´e de l’autre. Dans le cas id´eal, le passage des deux faisceaux dans le milieu Kerr se traduit donc par une modification crois´ee de leur phase, leur intensit´e ´etant conserv´ee au cours de la propagation. Leurs quadratures (d´efinies par les ´equations (1.37) et (1.38)) ob´eissent donc aux relations d’entr´ee-sortie suivantes :

δp^out_m = δpⁱⁿ_m, (1.64) δq^out_m = δq_mⁱⁿ+ gδpⁱⁿ_s , (1.65) δp^out_s = δpⁱⁿ_s , (1.66) δq^out_s = δq_sⁱⁿ+ gδpⁱⁿ_m, (1.67) o`u les indices ”m” et ”s” d´esignent respectivement les variables relatives au faisceau de mesure et au faisceau signal, les exposants ”in” et ”out” d´esignent les champs entrants et sortants du cristal, et o`u g est le gain non-lin´eaire crois´e, qui d´epend des propri´et´es du milieu Kerr, de l’intensit´e moyenne des deux faisceaux, de leurs longueurs d’ondes, et de la longueur du cristal.

Les ´equations (1.64–1.67) regroupent l’ensemble des ph´enom`enes physiques in-tervenant dans une mesure quantique non destructive id´eale. L’´equation (1.65) traduit le report de l’observable mesur´ee -l’intensit´e du faisceau signal- sur une autre -la phase du faisceau de mesure- vou´ee `a une lecture destructive. L’´equation (1.66) illustre le caract`ere non destructif de la mesure, puisque le passage du faisceau signal dans le cristal ne modifie pas ses fluctuations d’intensit´e. Enfin, l’´equation (1.67) correspond `a l’action en retour de la mesure, in´evitable, mais enti`erement concentr´ee sur la phase du faisceau signal, `a laquelle on ne s’int´eresse pas. L’´equation (1.65) nous rappelle en outre que mˆeme dans le cas id´eal, la mesure est contamin´ee par le bruit de l’appareil utilis´e pour la r´ealiser. Ici, il s’agit du bruit quantique de phase du faisceau sonde qui peut rendre la mesure totalement inefficace s’il pr´evaut par rapport `a l’effet Kerr.

En pratique, le milieu `a effet Kerr peut ˆetre une simple fibre optique [49, 50], ou bien un syst`eme r´esonnant, comme par exemple une vapeur atomique [51] ou en-core des atomes froids [52]. Dans tous les cas, l’impl´ementation d’une mesure quan-tique non destructive est soumise `a un certain nombre d’artefacts exp´erimentaux (absorption, non-lin´earit´es parasites, ´emission spontan´ee...) qui vont limiter son efficacit´e.

Figure 1.14: Principe de la mesure quantique non destructive par effet Kerr crois´e. Sⁱⁿ et Mⁱⁿ d´esignent respectivement le faisceau signal et le faisceau de mesure. Ces deux faisceaux sont inject´es dans un milieu Kerr, qui permet de transcrire les fluctuations d’intensit´e du premier sur la phase du second (´etape d’´ecriture). L’homodynage du faisceau de mesure avec un faisceau de r´ef´erence

permet d’acc´eder `a la lecture de la phase du faisceau de mesure.

Caract´erisation d’une mesure QND r´eelle

Nous avons vu dans le paragraphe pr´ec´edent qu’une mesure quantique non destruc-tive r´eelle est limit´ee par des bruits aussi bien d’ordres fondamentaux (terme δqin m

dans l’´equation (1.65)) que d’ordres exp´erimentaux. Ceci explique la n´ecessit´e de qualifier quantitativement l’efficacit´e de la mesure, afin d’illustrer la pertinence de la strat´egie mise en place vis-`a-vis des crit`eres id´eaux ´enonc´es dans la section1.4.1. Pour le premier crit`ere (efficacit´e de la mesure), on d´efinit ainsi les corr´elations entre le signal incident δpin

s et l’observable mesur´ee δqout m : Cs−m = ^{< δp} in s δqout m > ∆pin s ∆qout m , (1.68)

o`u < ... > d´esigne la moyenne sur l’ensemble des r´ealisations possibles du champ, et o`u ∆pin

s et ∆qout

m d´esignent respectivement la variance des fluctuations d’intensit´e du faisceau signal incident et la variance des fluctuations de phase du faisceau de

mesure transmis. Cette fonction est normalis´ee `a 1,|Cs−m| ´etant ´egal `a 0 lorsque les fluctuations sont d´ecorr´el´ees, et ´egal `a 1 lorsqu’elles sont parfaitement corr´el´ees. Le premier crit`ere stipule que ces corr´elations doivent ˆetre fortes (Cs−m → 1) en r´egime quantique, c’est-`a-dire pour un faisceau incident au bruit quantique standard (∆pin

s = 1).

Dans le cas d’un effet Kerr crois´e, les expressions (1.65) et (1.66) permettent d’expliciter ces corr´elations en fonction du gain du milieu Kerr et des dispersions des faisceaux incidents :

Cs−m = ^g∆p in s p (∆qin m)2+ g2(∆pin s )2 = p ^g 1 + g2, (1.69) dans la situation optimale o`u le faisceau de mesure est aussi au bruit quantique standard (∆qin

m = 1). L’efficacit´e de la mesure est donc d’autant plus grande que le gain non-lin´eaire g est grand, comme on pouvait s’y attendre `a partir de l’´equation (1.65) : un grand gain rend n´egligeable le bruit δqin

m devant le r´esultat de la mesure. Le second crit`ere QND exprime le fait que le signal n’est pas d´egrad´e par la mesure. Il se traduit par des corr´elations entr´ee-sortie proche de 1, o`u les corr´elations sont d´efinies par : Cin−out = ^{< δp} in s δpout s > ∆pin s ∆pout s . (1.70) Dans le cas d’un effet Kerr crois´e id´eal, on trouve `a partir de l’´equation (1.66) Cin−out = 1, mais ces corr´elations sont en g´en´eral d´egrad´ees par les pertes dans le milieu non-lin´eaire. En les assimilant `a des pertes globales η, on peut ´ecrire :

δp^out_s = p

1− η2δpⁱⁿ_s + ηδp_v, (1.71) o`u δpv repr´esente les fluctuations du vide entrant dans le milieu Kerr. En pr´esence de pertes, les corr´elations deviennent donc :

Cin−out=p

1− η2. (1.72) Les deux fonctions de corr´elation (1.68) et (1.70) suffisent `a d´efinir une mesure QND. Elles sont toutefois inexploitables exp´erimentalement car elles n´ecessitent de mesurer les corr´elations entre des champs entrants et sortants, ce qui ne peut ˆetre fait au niveau quantique. Deux nouveaux crit`eres ont alors ´et´e d´efinis, qui ne portent que sur les champs sortant :

Quantum State Preparation (QSP)

Le crit`ere le plus simple consiste `a ´etudier les corr´elations entre l’intensit´e signal et la phase de mesure des champs sortants :

C⁰in−out = ^{< δp} out s δqout m > ∆pout s ∆qout m . (1.73) Dans le cas d’un effet Kerr crois´e de gain g avec des pertes η, ces corr´elations s’´ecrivent C0 in−out = p 1− η2g p 1 + g2 , (1.74)

et combinent en fait les deux crit`eres pr´ec´edents (´equations (1.69) et (1.72)). Plutˆot que de calculer ces corr´elations, il est commode de d´eterminer la variance condi-tionnelle de l’observable mesur´ee, d´efinie par :

(∆p_s|m)² = (∆p^out_s )²(1− |C⁰s−m|²). (1.75) Cette quantit´e traduit l’incertitude r´esiduelle persistant sur l’intensit´e du faisceau signal, apr`es la mesure de la phase du faisceau sonde. Pour qu’une mesure puisse ˆetre consid´er´ee comme QND, il faut qu’elle permette d’acqu´erir de l’information sur l’´etat quantique du faisceau signal, c’est-`a-dire que l’incertitude r´esiduelle doit ˆetre plus petite que le bruit de photon standard :

(∆p_s|m)² < 1. (1.76) La variance est nulle si les corr´elations C0

s−m sont parfaites, puisqu’on connait parfaitement le signal en sortie `a partir de la mesure de la sonde. On a alors pr´epar´e un ´etat quantique parfaitement d´efini du signal (Quantum State Preparation). Dans le cas de l’effet Kerr crois´e, on trouve `a partir de l’´equation (1.74) :

(∆p_s|m)² = ^{1 + η}

2g2

1 + g2 . (1.77) On retrouve sur cette expression que le crit`ere (1.76) ne permet pas de distinguer l’efficacit´e du couplage (grand gain g) de sa qualit´e (faibles pertes η), qu’il faut pouvoir ´evaluer ind´ependamment.

R´ep´eteur quantique

Le crit`ere pr´ec´edent assure que la mesure reproduit le signal sortant, mais il ne garantit pas que le signal en sortie ressemble `a celui `a l’entr´ee. Si on effectue deux mesures successives (avec deux appareils diff´erents), les deux r´esultats obte-nus peuvent ne pas se ressembler alors qu’ils sont identiques pour deux mesures QND id´eales successives (condition de r´ep´etition au niveau quantique). Comme il n’est pas possible de mesurer exp´erimentalement les corr´elations entr´ee-sortie, ni envisageable pour des raisons de coˆut de construire deux appareils distincts pour effectuer deux mesures successives, on utilise en fait des modulations clas-siques du signal pour v´erifier cette condition de r´ep´etition. On d´efinit pour cela les coefficients de transferts du rapport signal `a bruit pour le signal et pour la sonde :

Ts = ^SNR out s SNRⁱⁿ_s ^{, Tm =} SNR^out_m SNRⁱⁿ_s ^{, (1.78)} o`u SNR<sup>in/out</sup><sub>s/m</sub> repr´esente le rapport signal `a bruit pour le signal (s) ou pour la sonde (m), mesur´e `a l’entr´ee (in) ou `a la sortie (out) de l’appareil. Dans le cas d’une mesure QND id´eale, les rapports signal `a bruit sont pr´eserv´es et Ts= Tm = 1. Par contre, on peut montrer qu’une mesure classique v´erifie toujours Ts+ Tm ≤ 1. Le cas limite Ts+ Tm = 1 correspond par exemple `a une mesure classique r´ealis´ee `a l’aide d’une lame s´eparatrice comme celle de la figure1.15. On pr´el`eve avec la lame une partie du faisceau incident pour r´ealiser la mesure. Si on cherche `a am´eliorer le transfert Tm vers la mesure en augmentant la r´eflexion r, on h´erite en contrepartie d’une d´egradation du transfert Ts du signal, puisque le coefficient de transmission t diminue. Ceci peut se d´emontrer en regardant comment la lame agit sur une

modulation d’intensit´e classique δpclass :

δp^out_s = t(δpⁱⁿ+ δp^class) + rδpv, (1.79) δp^out_m = −r(δpin+ δp^class) + tδpv, (1.80) o`u δpv d´esigne toujours les fluctuations du vide entrant par le port non-utilis´e de la lame s´eparatrice. Ces deux ´equations permettent d’´etablir le spectre des fluctuations des deux faisceaux en sortie de la lame, en se souvenant que ∆pin = ∆pv = 1 et r2+ t2 = 1 :

S_s^out = 1 + t²(∆p^class)², (1.81) S_m^out = 1 + r²(∆p^class)², (1.82) Ici, on s’int´eresse `a la mesure du signal classique δpclass, initialement limit´ee par les fluctuations quantiques d’intensit´e du faisceau incident δpin, ce qui correspond `a un rapport signal `a bruit incident SNRⁱⁿ_s = (∆pclass)2/(∆pin)2 = (∆pclass)2. On en d´eduit les coefficients de transferts pour chacun des faisceau :

Ts = ^SNR out s SNRⁱⁿ_s ^{= t} 2, (1.83) Tm = ^SNR out m SNRⁱⁿ_s ^{= r} 2, (1.84)

Figure 1.15: Transfert du rapport signal `a bruit pour la sonde de mesure et le signal dans le cas classique.

On voit donc que dans le cas de la lame s´eparatrice, la somme Tm+ Ts des coef-ficients de transfert est ´egale `a 1. Une mesure QND devra pr´eserver les rapports signaux `a bruits du signal et de la sonde mieux que ne le fait une mesure classique, c’est-`a-dire qu’elle devra satisfaire `a la condition (dite de R´ep´eteur Quantique) :

T_s+ T_m > 1. (1.85) Finalement, on dira qu’une mesure est QND si elle v´erifie `a la fois les crit`eres de pr´eparation d’´etat quantique et de r´ep´eteur quantique d´efinis respectivement par les ´equations (1.76) et (1.85) [53]. Le report de ces crit`eres dans le plan{Ts+ Tm, ∆p<sub>s|m</sub>} permet alors de conclure quant `a la nature de la mesure. La figure 1.16

repr´esente ce plan, dans lequel ont ´et´e transcrit les param`etres relatifs `a diff´erentes strat´egies de mesure bas´ees sur l’effet Kerr. Cette figure permet d’illustrer la diffi-cult´e de r´ealiser une mesure quantique non-destructive. En effet, une mesure QND id´eale doit permettre de d´eterminer parfaitement l’´etat quantique de l’intensit´e du

faisceau signal (∆p_s|m= 0), sans le d´et´eriorer et sans ajouter de bruit sur la mesure (Ts+ Tm = 2). Or, la m´ethode la plus concluante (triangle rouge), mise au point en 1997 dans le groupe de Philippe Grangier, et bas´ee sur l’utilisation d’atomes de Rubidium froids [52], ne leur a pas permis d’extraire plus de la moiti´e de l’in-formation sur l’´etat quantique de l’intensit´e du faisceau signal (∆p_s|m = 0.45). Soulignons toutefois que ceci constitue un r´esultat remarquable, les conditions de leur exp´erience approchant celles d’une mesure QND id´eale (Ts= 0, 9), limit´ee es-sentiellement par le bruit de la sonde (Tm = 0, 65) en raison d’un gain de couplage insuffisamment ´elev´e.

Figure 1.16: Le plan{Ts+ T_m, ∆p_s|m}, dans lequel on ´et´e report´es les crit`eres de diff´erentes strat´egies de mesures. Le cadran sup´erieur gauche (T<sub>s</sub>+ T<sub>m</sub> ≤ 1, ∆p<sub>s|m</sub>≥ 1) correspond au domaine de la mesure classique. Le cadran inf´erieur gauche (Ts+ Tm ≤ 1, ∆p<sub>s|m</sub> < 1) correspond `a un ensemble de strat´egies ne v´erifiant que le crit`ere QSP. Le cadran sup´erieur droit (T_s+ T_m > 1, ∆p_s|m≥ 1) illustre une m´ethode capable de correctement pr´eserver le signal, sans pour autant en extraire de l’information au niveau quantique (amplification sans bruit par exemple). Enfin, le dernier cadran (T_s+ T_m > 1, ∆p_s|m< 1) est le seul dans lequel figurent les m´ethodes de mesure qui m´eritent la d´enomination QND. La ligne en pointill´es repr´esente le comportement pr´evu dans le cas d’un milieu

Kerr id´eal sans perte (∆p_s|m= _1+g¹2, Ts+ Tm= 1 + _1+g^g22).