Probl`eme pos´e par l’utilisation d’une d´etection synchrone

Comme pour tout asservissement, le principe de fonctionnement de la d´etection synchrone consiste `a produire un signal d’erreur qui s’annule lorsque le laser est `a r´esonance avec la cavit´e, en changeant de signe de part et d’autre de la r´esonance. Ce signal est obtenu par d´erivation du pic d’Airy, en utilisant une modulation puis d´emodulation `a haute fr´equence. En pratique, on cr´ee une modulation du d´esaccord entre la cavit´e et la fr´equence du laser, qui est convertie hors r´esonance en modulation d’intensit´e du faisceau r´efl´echi, dont l’amplitude est proportionnelle au d´esaccord et dont la phase varie de π d’un bord `a l’autre du pic d’Airy. Plus pr´ecis´ement, en notant δν(t) le d´esaccord de la fr´equence du laser par rapport `a la r´esonance de la cavit´e que l’on cherche `a contrˆoler, on ajoute une modula-tion d’amplitude δν_ref ´evoluant `a la fr´equence Ω<sub>ref</sub>, grande devant les fr´equences d’´evolution du d´esaccord δν. Comme le montre la figure2.13, on obtient une modu-lation d’intensit´e du faisceau r´efl´echi `a la fr´equence Ω_ref, dont l’amplitude reproduit le d´esaccord δν(t) : selon que l’on se trouve en-de¸c`a ou au-del`a de la fr´equence du mode fondamental de la cavit´e, cette modulation d’intensit´e se retrouve res-pectivement en phase ou en opposition de phase par rapport `a la modulation de r´ef´erence, et son enveloppe varie proportionnellement au d´esaccord δν(t) si celui-ci reste petit devant la bande passante de la cavit´e. En d´emodulant l’intensit´e trans-mise `a la fr´equence Ω_ref, on obtient un signal basse fr´equence proportionnel au d´esaccord δν(t), qui permet bien de contre-r´eagir sur la fr´equence du laser afin de la maintenir `a r´esonance avec la cavit´e.

Un tel asservissement n’agit qu’`a des fr´equences inf´erieures `a Ωref, qui peut ˆetre ´egalement vue comme la fr´equence d’´echantillonnage de la d´etection, d´efinissant une coupure au-del`a de laquelle l’asservissement devient inefficace. Nous avions choisi de fixer cette coupure `a 100 kHz, afin de disposer d’un asservissement ra-pide, capable de compenser les vibrations des miroirs et le bruit classique du laser qui interviennent de mani`ere significative jusqu’`a cette fr´equence. La cavit´e ´etant rigide, la modulation δνref de l’´ecart `a r´esonance est cr´e´ee en modulant la fr´equence du laser grˆace `a son modulateur ´electro-optique interne, dont la bande passante d´epasse la dizaine de megahertz. Ceci ne poserait aucun probl`eme, si la cavit´e de filtrage F P F ne s’interposait pas entre le laser et la cavit´e F P M : les fluctuations d’intensit´e δI `a la fr´equence Ωref r´esultant des ´ecarts en fr´equence δνFPF de la cavit´e F P F autour de sa r´esonance vont en effet contaminer celles caus´ees par le d´esaccord entre le laser et la cavit´e F P M, c’est-`a-dire le signal d’erreur recherch´e

δIFPM (voir figure 2.14) :

δIFPF = α(δν− δνFPF), (2.1) δI_FPM = β(δν− bFPM) + δI_FPF. (2.2) o`u bFPM d´esigne le bruit auquel la cavit´e de mesure est soumise, et α et β sont des coefficients de transfert dont le rapport d´epend essentiellement des rapports entre les bandes passantes des deux cavit´es : si α β, c’est-`a-dire si la bande passante du F P M est grande devant celle du F P F , l’intensit´e transmise par la cavit´e F P M sera beaucoup moins sensible `a l’´ecart `a r´esonance sur la cavit´e F P M qu’`a celui sur la cavit´e F P F , dont les fluctuations constitueront alors la contribution essentielle au signal d’erreur. Si `a l’inverse α β, la contamination des fluctuations du F P F sur le F P M sera n´egligeable, et le signal d’erreur rendra compte uniquement des fluctuations du F P M comme on le d´esire. Par ailleurs, le laser est soumis `a une contre-r´eaction globale :

δν = bLaser− gδIFPM, (2.3) alors que la cavit´e F P F est asservie grˆace `a un asservissement local qui contrˆole sa longueur (voir figure 2.14)

δνFPF = bFPF+ h(δν− δνFPF). (2.4) o`u g et h repr´esentent les gains des deux asservissements, et o`u bLaser et bFPF

sont les bruits auxquels le laser et la cavit´e F P F sont respectivement soumis. Les quatre ´equations (2.1-2.4) forment un syst`eme lin´eaire `a quatre inconnues (δν,

-4 -2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Désaccord ͐ Νcav Transmission démodulation ∆ΝHtL ∆Ν_refHtL

+

Figure 2.13: Principe de la d´etection synchrone. Une modulation de r´ef´erence δν_ref est appliqu´ee `a la fr´equence du laser, et vient s’ajouter aux fluctuations δν(t) du d´esaccord par rapport `a la r´esonance de la cavit´e. Il en r´esulte une modulation de l’intensit´e du faisceau transmis ou r´efl´echi `a la fr´equence Ω<sub>ref</sub> de la modulation δν<sub>ref</sub>, dont l’enveloppe varie proportionnellement `a l’amplitude du d´esaccord. En d´emodulant cette modulation d’intensit´e, on dispose bien d’un signal d’erreur proportionnel aux fluctuations δν(t) que l’on cherche `a corriger.

Figure 2.14: Les diff´erents bruits en jeu dans nos asservissements. Le fr´equence du laser pr´esente un bruit bLaser, conduisant `a des fluctuations totales δν qui tiennent compte de l’effet de l’asservissement. Ces fluctuations induisent un ´ecart `a r´esonance δν_FPFde la cavit´e F P F , en tenant compte ´egalement du bruit bFPF de celle-ci, et se traduisent `a sa sortie par un bruit d’intensit´e δIFPF. Ces variations d’intensit´e traversent la cavit´e F P M , et s’ajoutent aux fluctuations

d’intensit´e caus´ees la cavit´e F P M , soumise `a un bruit b_FPM.

δν_FPF, δI_FPF et δI_FPM), qu’il est facile de r´esoudre. On peut ainsi exprimer les fluctuations du F P M autour de la r´esonance :

δν− bFPM = ^{1 + h} (1 + βg)(1 + h) + αg  bLaser+ ^αg 1 + h^bFPF−  1− ^αg 1 + h  bFPM  . (2.5) Cette expression montre que les fluctuations r´esiduelles du d´esaccord au niveau de la cavit´e F P M sont la combinaison des bruits affectant le laser, la cavit´e de filtrage, et la cavit´e de mesure elle-mˆeme. En consid´erant la limite d’un couplage α β, la contribution du bruit bFPF s’annule, et les fluctuations du F P M s’´ecrivent :

δν− bFPM= ¹

1 + βg^(bLaser− bFPM). (2.6) En faisant tendre g vers l’infini, on voit qu’en pr´esence de deux cavit´es d´ecoupl´ees, cette m´ethode de d´etection synchrone a le potentiel de parfaitement maintenir le laser et la cavit´e F P M `a r´esonance.

En revanche, si le param`etre de couplage n’est pas n´egligeable (ce qui est le cas dans notre exp´erience, o`u les bandes passantes du F P F et du F P M sont comparables), la limite g 7→ ∞ conduit `a un bruit r´esiduel non nul, faisant intervenir les bruits auxquels sont soumises les deux cavit´es :

δν− bFPM = ^α

La cavit´e de filtrage est asservie `a basse fr´equence (sa d´etection synchrone fonc-tionne `a 4, 5 kHz), pour lesquelles h 7→ ∞, et l’´equation (2.7) montre que dans ces conditions, l’asservissement du F P M permet au laser de suivre les fluctua-tions auxquelles la cavit´e de mesure est contrainte. Ceci ´etait une nouvelle fois pr´evisible : lorsque la cavit´e de filtrage est parfaitement asservie `a r´esonance avec le laser, son point de fonctionnement se situe en permanence `a son maximum de transmission, et le bruit d’intensit´e δIFPF qu’elle transmet est donc nul. En re-vanche, `a plus haute fr´equence, l’asservissement du F P F devient inactif (h 7→ 0), et il subsiste un bruit r´esiduel irr´eductible :

(δν− bFPM)_HF = ^α

α + β^{(bFPF+ bFPM). (2.8)} La situation `a haute fr´equence est alors pire en pr´esence d’un asservissement que si l’on avait laiss´e le syst`eme libre, le bruit de la cavit´e F P M n’´etant pas compens´e par la contre-r´eaction, qui introduit de surcroˆıt un bruit suppl´ementaire bFPF li´e `a la cavit´e de filtrage.

La mise en place d’un asservissement rapide (c’est-`a-dire agissant `a des fr´equences sup´erieures `a celle de la r´ef´erence de la d´etection synchrone du F P F , i.e. 4, 5 kHz) n´ecessite donc de cr´eer un signal d’erreur pour l’asservissement du F P M compl`etement ind´ependant de celui du F P F : nous avons alors pens´e `a la mise en place d’une d´etection Pound-Drever-Hall en aval de la cavit´e de filtrage, dont nous allons voir qu’elle satisfait ce crit`ere, en plus de pr´esenter de nombreux autres avantages.