Bruit sur la mesure et action en retour : la limite quantique

Nous discutons dans cette section des cons´equences de la nature quantique de la lumi`ere sur la mesure. Nous nous appuyons pour cela sur les r´esultats ´etablis dans la section pr´ec´edente, en n´egligeant toutefois les effets de filtrage li´es `a la cavit´e (Ω Ωcav), afin de simplifier la pr´esentation.

Bruit sur la mesure

Nous avons vu dans la section 1.1.2 que la phase du faisceau r´efl´echi par une ca-vit´e Fabry-P´erot de grande finesse ´etait extrˆemement sensible aux d´eplacements du miroir mobile, ce qui rend son utilisation particuli`erement int´eressante si l’on veut acc´eder `a une mesure tr`es pr´ecise de la position du miroir. Cependant, la lumi`ere coh´erente utilis´ee pour r´ealiser ce type de mesure pr´esente elle-mˆeme des fluctuations, comme nous l’avons vu dans la section 1.2.1. On peut donc pr´evoir que tout d´eplacement du miroir qui induira une variation de la phase du fais-ceau r´efl´echi plus petite que ses fluctuations quantiques sera ind´etectable. Plus pr´ecis´ement, l’´equation (1.42) montre qu’`a fr´equence faible devant Ωcav, les fluc-tuations de phase du faisceau incident se retrouvent int´egralement dans le faisceau r´efl´echi. La prise en compte du bruit quantique de phase du faisceau de mesure re-vient donc `a modifier l’´equation (1.4) de la mani`ere suivante [´eqs. (1.13) et (1.42)] :

δϕ^out[Ω] = ¹ 2|αout|^δq

out[Ω] = δϕⁱⁿ[Ω] + 8F^δx[Ω]

λ ^{, (1.44)} o`u δϕin[Ω] d´esigne les fluctuations quantiques de phase du faisceau incident. Le plus petit d´eplacement δxshot accessible `a la mesure s’obtient en ´egalisant l’effet du signal δx et le bruit δϕin (dont le spectre est donn´e par l’´equation 1.22) :

δxshot ' ^λ 16F^pIⁱⁿ

. (1.45) Dans notre exp´erience, nous utilisons typiquement un faisceau de longueur d’onde λ = 800 nm et de puissance Pin = 1, 5 mW correspondant `a une intensit´e (ex-prim´ee en photons par seconde) Iin = Pin/(hν) ' 6 × 1015 s−1, o`u h est la constante de Planck et ν la fr´equence du faisceau laser. La finesse de la cavit´e est typiquement de l’ordre de 300 000. Pour ces param`etres, on trouve que le plus petit d´eplacement mesurable correspond `a une amplitude spectrale δxshot ' 2 × 10−21

m/√ Hz.

L’expression (1.45) sugg`ere de plus que la mesure est d’autant plus sensible que le faisceau utilis´e pour la mesure est intense. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que ceci n’est pas exact, en raison des effets induits par la pression de radiation sur le miroir mobile, que nous avons n´eglig´e jusque-l`a.

Action en retour de la mesure

En m´ecanique quantique, le processus de mesure perturbe toujours le syst`eme sur lequel on l’effectue : c’est ce que l’on appelle l’action en retour de la mesure. Dans le cas de la mesure interf´erom´etrique de la position d’un miroir mobile, qui nous int´eresse plus particuli`erement dans ce manuscrit, c’est la nature quantique de la

lumi`ere, notre instrument de mesure, qui est responsable de ce ph´enom`ene d’action en retour. En effet, comme nous venons de le voir dans la section 1.2.1, la lumi`ere qui p´en`etre dans la cavit´e pr´esente des fluctuations quantiques d’intensit´e. D’autre part, la conservation de l’impulsion du syst`eme {lumi`ere+miroir} implique l’exis-tence d’une force de pression de radiation, proportionnelle `a l’intensit´e intracavit´e, exerc´ee par la lumi`ere sur le miroir mobile. Les fluctuations quantiques d’intensit´e du champ lumineux vont donc entraˆıner des fluctuations de cette force de pression de radiation, sous l’effet de laquelle le miroir mobile va se mettre en mouvement : la mesure vient donc ainsi perturber la position du miroir.

Pour pouvoir ´etudier quantitativement cet effet, nous nous pla¸cons dans le cadre de la th´eorie de la r´eponse lin´eaire [39], qui nous permet d’exprimer le mouvement du miroir mobile en fonction de la r´esultante des forces qui lui sont appliqu´ees. En passant dans l’espace de Fourier, les composantes spectrales du d´eplacement x[Ω] et de la r´esultante des forces F [Ω] sont en effet reli´ees par :

x[Ω] = χ[Ω]F [Ω], (1.46) o`u la susceptibilit´e χ[Ω] d´ecrit la r´eponse m´ecanique du miroir. Nous verrons dans la suite que le miroir peut ˆetre consid´er´e comme une assembl´ee d’oscillateurs har-moniques, chacun ´etant associ´e `a un mode de vibration du miroir. Nous nous limitons dans un premier temps `a un mouvement pouvant ˆetre d´ecrit par un seul mode propre, par exemple un d´eplacement global du miroir dˆu `a une suspension de type pendulaire, ou encore une d´eformation de surface du miroir produite par un seul mode de vibration du substrat. Dans ces conditions la susceptibilit´e du miroir prend la forme d’une lorentzienne :

χ[Ω] = ¹ M(Ω2

0− Ω2 − iΩΩ0/Q)^{, (1.47)} o`u le mode propre du mouvement du miroir est caract´eris´e par une pulsation propre Ω0, une masse M et un facteur de qualit´e m´ecanique Q. Nous verrons que dans le cas des miroirs mobiles plan-convexe que nous utilisons, ces param`etres valent typiquement Ω0/2π = 1 MHz, M = 100 mg et Q = 106.

Pour achever la caract´erisation quantitative de l’action en retour, nous devons encore donner l’expression de la force de pression de radiation qu’exerce la lumi`ere sur le miroir. Pour cela, il suffit d’effectuer un simple bilan d’impulsion sur le syst`eme {lumi`ere+miroir}, comme nous l’avons sugg´er´e plus haut. Un photon se r´efl´echissant sur le miroir perd une impulsion 2~k, impulsion gagn´ee par le miroir mobile, en vertu de la conservation de l’impulsion du syst`eme total. Ceci ´etant valable pour tous les photons r´efl´echis par le miroir, on en d´eduit l’expression de la force instantan´ee de pression de radiation :

Frad(t) = 2~kI(t), (1.48) o`u I(t) est l’intensit´e lumineuse exprim´ee en flux de photons.

En ´ecrivant l’´equation (1.46) `a fr´equence nulle, on obtient l’expression du d´eplacement moyen du miroir dˆu `a la force de pression de radiation moyenne :

xrad = χ[0]Frad = ^2~kI M0Ω2

0

o`u l’on a not´e I l’intensit´e intracavit´e moyenne. Notons que dans cette expres-sion, χ[0] d´esigne la r´eponse basse fr´equence du miroir mobile, qui est en g´en´eral diff´erente de la valeur `a fr´equence nulle de la susceptibilit´e donn´ee par l’´equation (1.47). En effet, comme nous venons de le signaler, le miroir mobile peut ˆetre consid´er´e comme une assembl´ee d’oscillateurs harmoniques, et sa r´eponse basse fr´equence r´esulte donc de la contribution de toutes ses r´esonances. La masse M₀ introduite dans l’´equation (1.49) est donc en r´ealit´e une masse effective prenant en compte le caract`ere multi-modal du miroir mobile, cette masse ´etant en g´en´eral faible devant celle de chaque mode pris individuellement -typiquement un milli`eme de la masse d’un mode quelconque du r´esonateur-.

Pour une cavit´e de finesse 300 000 et une puissance incidente Pin = 1.5 mW, les ´equations (1.3) et (1.48) permettent de d´eterminer que la valeur moyenne de la force de pression de radiation exerc´ee sur le miroir mobile est de l’ordre de Frad ' 2 × 10−6 N. Dans le cas du r´esonateur plan-convexe ayant les param`etres m´ecaniques d´ecrits plus haut, dont on prendra la masse effective `a fr´equence nulle ´egale `a M<sub>0</sub> ' 0.1 mg, l’´equation (1.49) permet d’estimer l’effet de recul statique induit par cette force, xrad ' 5 × 10−13 m. Si cet effet de recul semble tr`es petit, il n’est toutefois pas n´egligeable devant la largeur λ/2F ' 1, 3 × 10−12m de la r´esonance de la cavit´e.

Cette partie basse fr´equence de la force ne contribue pas `a l’action en retour, qui trouve son origine dans la nature fluctuante de l’intensit´e de la lumi`ere. L’´equation (1.46), ´ecrite `a fr´equence non nulle, nous permet donc d’exprimer l’amplitude des d´eplacements dus `a l’action en retour :

δxrad[Ω] = χ[Ω]δFrad[Ω] = 2~kχ[Ω]δI[Ω]. (1.50) En utilisant l’expression (1.39) donnant le bruit d’intensit´e δI = αδp du champ intracavit´e, on en d´eduit le bruit de position du miroir li´e au bruit quantique d’intensit´e pour Ω Ωcav :

δxrad[Ω] = ^8~F^pIⁱⁿ

λ ^χ[Ω]δp

in. (1.51) Cette expression permet de calculer l’amplitude spectrale du bruit de position dˆu aux fluctuations quantiques d’intensit´e du faisceau intracavit´e, en utilisant les param`etres du miroir mobile pr´ec´edemment d´efinis. Pour un faisceau incident coh´erent (Sin

I = 1), on obtient une courbe Lorentzienne, repr´esent´ee sur la figure

1.10. On constate en particulier qu’`a la fr´equence de r´esonance du miroir mobile, l’amplitude des d´eplacements provoqu´es par l’action en retour est de l’ordre de 10−17 m/√

Hz, soit un facteur 10 000 au dessus du bruit de phase δxshot, ce qui montre qu’il est indispensable de prendre en compte les effets de pression de radiation pour ´etablir la limite de sensibilit´e relative `a un tel r´esonateur.

De plus, l’´equation (1.51) montre que contrairement au bruit quantique de phase, le bruit quantique de pression de radiation est d’autant plus grand que l’inten-sit´e du faisceau de mesure l’est aussi. Ceci explique qu’on ne puisse pas am´eliorer ind´efiniment la sensibilit´e de la mesure, soumise `a une limite appel´ee Limite Quan-tique Standard, que nous pr´esentons dans le paragraphe suivant.

Limite quantique standard

Figure 1.10: Amplitude spectrale du bruit de position attendu dˆu aux fluctua-tions quantiques d’intensit´e du faisceau incident. On a consid´er´e un mode du miroir caract´eris´e par une fr´equence propre de 1 MHz, une masse de 100 mg et un facteur de qualit´e Q = 10⁶ avec un faisceau incident coh´erent de puissance

1, 5 mW.

mesure, les fluctuations de phase du faisceau r´efl´echi par la cavit´e s’´ecrivent, pour une cavit´e `a r´esonance (ψ = 0) et `a basse fr´equence :

δϕ^out[Ω] = δϕⁱⁿ[Ω] + ⁸F

λ ^{(δx[Ω] + δxrad[Ω]), (1.52)} o`u δx est la variation de longueur de la cavit´e que l’on cherche `a mesurer, qui exclue les d´eplacements induits par la pression de radiation.

Cette expression nous permet de d´eterminer le plus petit d´eplacement mesu-rable, en utilisant les relations (1.22) et (1.51), caract´eris´e par le spectre de bruit ´equivalent suivant : S_x^min[Ω] = ^λ 2 256F2I^{in +} 64~2F2Iⁱⁿ λ2 |χ[Ω]|2 (1.53) Le premier terme correspond au bruit de phase d´ej`a calcul´e (´equation (1.45)), le second terme aux effets de pression de radiation, proportionnels `a la r´eponse |χ|² du miroir. A une fr´equence donn´ee Ω, la sensibilit´e (cf figure 1.11) de la mesure pr´esente un minimum en fonction de l’intensit´e moyenne incidente, r´esultant du meilleur compromis entre ces deux bruits quantiques. Ce minimum d´efinit ce que l’on appelle la limite quantique standard (LQS)¹ [12, 40]. On calcule ais´ement la

1. Notons cependant que la LQS ne peut ˆetre consid´er´ee comme une v´eritable limite fonda-mentale, son calcul reposant sur un certain nombre d’hypoth`eses telle que l’utilisation d’´etats coh´erents du champs dont les fluctuations de phase et d’intensit´e sont d´ecorr´el´ees. Il est possible de battre cette limite en utilisant des ´etats comprim´es du champ, ou encore en d´esaccordant la cavit´e. Il existe toutefois une limite quantique ultime, li´ee aux processus de dissipation, qui est beaucoup plus petite que la limite quantique standard, puisqu’elle consiste `a remplacer dans l’´equation (1.55) le module de la susceptibilit´e par sa partie imaginaire [14].

valeur de Iⁱⁿ pour laquelle ce minimum est r´ealis´e, et l’on obtient : Iⁱⁿ_LQS[Ω] = ^λ

2

128~|χ[Ω]|F2. (1.54) La sensibilit´e de la mesure correspondante se calcule alors `a partir de l’´equation (1.53), et l’on trouve un d´eplacement minimal observable :

δx_LQS[Ω] =p Smin

x [Ω] =p

~|χ[Ω]|. (1.55) Cette ´equation montre que la limite quantique standard d´epend uniquement des param`etres m´ecaniques du miroir mobile. On voit plus particuli`erement sur cette expression que la sensibilit´e est repouss´ee d’autant plus bas que la susceptibi-lit´e m´ecanique du miroir est faible. En revanche si l’on souhaite exacerber la r´eponse du miroir aux effets quantiques de la pression de radiation afin d’obser-ver la LQS exp´erimentalement, on choisira un miroir dot´e de la meilleure r´eponse m´ecanique possible. Nous allons d´eterminer dans la section suivante les condi-tions plus pr´ecises pour mettre en ´evidence les effets quantiques de la pression de radiation. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1 ´ 10^-21 2 ´ 10^-21 5 ´ 10^-21 1 ´ 10^-20 2 ´ 10^-20 5 ´ 10^-20 Puissance @mWD D éplacement Am  Hz E

Figure 1.11: Sensibilit´e de la mesure du d´eplacement en fonction de la puis-sance moyenne incidente. Courbe en tirets : limite de sensibilit´e due au bruit quantique de pression de radiation. Courbe en pointill´es : limite de sensibilit´e due au bruit de phase du faisceau incident. Courbe en trait plein : sensibilit´e to-tale r´esultante. Les courbes sont calcul´ees `a basse fr´equence o`u χ[0] = 1/M₀Ω2 0 avec M0 = 0, 1 mg et Ω0/2π = 1 M Hz. La limite quantique standard est

atteinte pour Pⁱⁿ = 0, 25 mW.