4.4 Confrontation de distributions statistiques aux séries reconstituées
4.4.4 Quelques réflexions concernant la méthode de test employée
Nous venons de voir que la simulation d’échantillons, à partir d’une distribution statistique candidate pour représenter l’échantillon observé, permet dans certains cas de rejeter la validité de cette distribution. En utilisant cette procédure de test, la distribution de Gumbel a pu être rejetée de façon quasi systématique pour deux des cours d’eau étudiés, alors que dans le même temps la distribution de Fréchet ne pouvait pas l’être, du moins lorsqu’elle était ajustée en utilisant les données historiques.
La méthode de test employée présente donc manifestement un intérêt pour faciliter le choix d’une distribution candidate, en particulier lorsqu’il s’agit de rejeter une distribution dont l’ajus- tement à l’échantillon observé ne semble pas bon visuellement. Toutefois, les résultats obtenus
dans le cas de la Salz et du Lauquet viennent modérer cette impression, puisque dans ces deux cas aucune des deux distributions testées ne peut être rejetée.
Si les tests effectués permettent finalement, dans deux cas sur quatre, d’effectuer un choix entre les distributions de Gumbel et de Fréchet, il reste difficile de dire si ces résultats peuvent être attribués à la capacité discriminante du test mené, ou simplement à la nature particulière des échantillons observés sur l’Orbiel et la Clamoux.
Afin d’en savoir un peu plus sur les capacités du test utilisé, celui ci a été reproduit à partir d’échantillons simulés, dont nous connaissons cette fois la distribution parente. Ces échantillons ont été générés à partir des distributions de Fréchet, ajustées sur les quatre bassins étudiés en utilisant l’expression de vraisemblance n˚4. Nous avons donc cette fois la certitude que ces échantillons ne sont pas issus d’une loi de Gumbel. En reproduisant, sur ces échantillons la procédure de test employée précédemment, il devient possible d’éprouver la robustesse de ce test, c’est à dire de savoir dans quelle proportion la distribution de Gumbel aurait pu être rejetée, à partir d’échantillons n’étant pas issus de cette distribution.
5000 échantillons ont été simulés dans chaque cas. Pour chacun de ces échantillons, la procédure de test de la distribution de Gumbel a été reproduite (ajustement de la distribution, simultation de 5000 échantillons issus de cette distribution et comparaison des vraisemblances obtenues à celle de l’échantillon observé). Le test a été réalisé successivement en utilisant les fonctions de vraisemblance n˚1 à n˚3, et n˚5, et en réalisant la comparaison des vraisemblances calculées sur la totalité des échantillons, puis sur leur partie systématique et leur partie historique seules. Dès que la valeur de vraisemblance de l’échantillon observé était dépassée dans moins de 5% ou plus de 95% des simulations, il a été considéré que la distribution testée pouvait être rejetée.
Le tableau 4.4 résume les résultats obtenus. La conclusion qui peut être tirée est que la mé- thode de test employée présente une capacité de discrimination limitée, en particulier lorsque le coefficient k (ou coefficient de forme) de la distribution de Fréchet parente est proche de 0 (les distributions de Fréchet et Gumbel restent alors relativement proches, du moins dans la gamme de périodes de retour concernée par les échantillons que nous étudions). Dans le cas de la Salz par exemple, la distribution de Gumbel, lorsqu’elle est ajustée avec les vraisemblances n˚1 et n˚2, ne peut être exclue que dans 30% des cas.
La capacité discriminante du test augmente bien évidemment lorsque les distributions de Gum- bel testées s’éloignent de la distribution parente : c’est le cas pour la Clamoux, l’Orbiel et Le Lauquet, cours d’eau pour lesquels le coefficient de forme de la distribution parente est plus important. Dans ces cas le rejet de la loi de Gumbel est possible dans au moins 50 à 60% des cas, y compris lorsque cette loi est ajustée en utilisant les données historiques. On peut également re- marquer que le pourcentage de rejet augmente lorsque la méthode d’ajustement employée éloigne la distribution de Gumbel testée de la distribution parente : ceci est notamment le cas lorsque
Fonction de % de rejet de la distribution de Gumbel,
Cours vraisemblance selon la vraisemblance examinée
d’eau utilisée vraisemblance vraisemblance vraisemblance rejet
(ajustement et test) totale systématique historique global
Clamoux n˚1 (eq.(4.11)) 0.6 55.1 48.3 64.0 n˚2 (eq.(4.12)) 0.0 37.1 49.3 55.8 n˚3 (eq.(4.13)) 4.2 44.9 82.4 84.3 n˚5 (eq.(4.15)) 4.4 4.4 88.1 89.4 Orbiel n˚1 (eq.(4.11)) 3.1 66.3 36.3 70.4 n˚2 (eq.(4.12)) 0.0 49.4 49.7 60.6 n˚3 (eq.(4.13)) 4.3 56.9 91.9 93.8 n˚5 (eq.(4.15)) 15.8 15.8 92.3 95.9 Lauquet n˚1 (eq.(4.11)) 0.6 53.8 20.9 55.0 n˚2 (eq.(4.12)) 0.0 34.6 31.5 41.6 n˚3 (eq.(4.13)) 2.0 35.8 84.3 85.7 n˚5 (eq.(4.15)) 5.0 5.0 87.3 88.6 Salz n˚1 (eq.(4.11)) 0.0 31.3 6.6 31.5 n˚2 (eq.(4.12)) 0.0 17.1 25.7 30.9 n˚3 (eq.(4.13)) 0.7 14.4 65.4 66.1 n˚5 (eq.(4.15)) 0.5 0.5 72.2 72.3
Tab. 4.4 – Résultats du test de validité de la distribution de Gumbel, réalisé sur des échantillons issus de la distribution de Fréchet : % de rejet de la distribution en fonction de la nature de la vraisemblance utilisée pour le test
les vraisemblances n˚3 et n˚5 sont utilisées pour l’ajustement. L’influence favorable des données historiques, sur l’ajustement de la distribution de Gumbel, est donc à nouveau perceptible ici : plus ces données sont valorisées de façon complète, plus la distribution de Gumbel se rapproche de l’échantillon observé, et moins elle peut être rejetée sur la base du test statistique mené.
Finalement, les résultats du test statistique proposé s’avèrent très dépendants de la fluctua- tion de l’échantillon observé, sauf dans les cas où la distribution testée est très éloignée de la distribution parente (cf. vraisemblances n˚3 et 5). Lorsque la distribution testée ne peut être rejetée sur la base du test, elle ne constitue donc pas pour autant une candidate sérieuse pour la distribution parente de l’échantillon observé. Nous retrouvons ici le principe même d’un test d’hypothèse en statistique : voulant rejeter une hypothèse, ce test fait généralement en sorte de minimiser le risque de rejeter à tort. La conclusion du test est donc acquise avec quasi-certitude lorsque l’hypothèse est effectivement rejetée. En revanche, le doute subsiste lorsque l’hypothèse n’est pas rejetée.