Este apêndice fornece definições básicas relativas à classe de processos produzidos pelos mo- delos GSPN [103]. Os processos estocásticos, que será o foco principal, são processos marko- vianos com espaço de estados finito em tempo contínuo (cadeia de Markov de tempo con- tínuo). O objetivo não é fornecer um tratamento formal, rigoroso e completo; em vez disso, desenvolve-se uma noção sobre a estrutura e a dinâmica dos processos estocásticos de interesse para fornecer as bases para modelos ISPN [33] - extensão intervalar dos modelos GSPN. Existe uma vasta literatura sobre processos estocásticos para quem tem interesse de aprofundar sobre o assunto. Este texto foi produzido consultando-se [76, 5, 107, 12].
Os modelos matemáticos podem ser categorizados como sendo probabilísticos e determinís- ticos. Nos casos em que modelos probabilísticos são usados, a representação é dada por uma coleção ou família de variáveis aleatórias. As coleções de variáveis aleatórias que são indexadas por um parâmetro tal como o tempo e o espaço são conhecidas como processo estocástico (ou “aleatório” ou processo de “chance”). Um processo estocástico é um modelo probabilístico de um sistema que envolve aleatoriedade. Se o sistema é observado em pontos discretos de tempo (épocas) n= 0, 1, ··· onde Xn é o estado do sistema no tempo n, então {Xn, n ≥ 0} é
um processo estocástico que o descrevendo. No caso em que o sistema é observado em tempos discretos (que podem não ser igualmente espaçados no eixo do tempo) ele é chamado processo estocástico de tempo discreto. Alguns exemplos de Xn podem ser o INPC ( Índice Nacional
de Preço ao Consumidor - IBGE :: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), observado a cada mês; o número de impressoras não vendidas de um lote no começo do n-ésimo dia de venda do produto; precipitação pluviométrica em Pernambuco neste século ou o número de assassinatos no Recife no n-ésimo dia de contagem, só para citar alguns exemplos.
Se o sistema é observado continuamente sobre o tempo com X(t), sendo seu estado no
tempo t, então ele é descrito por um processo estocástico de tempo contínuo {X(t); t ≥ 0}. Por exemplo, X(t) pode representar o número de microcomputadores sem funcionar em um
laboratório num tempo t, a posição das nuvens de chuva sobre uma região no tempo t, ou o saldo bancário no tempo t.
Introduzindo um pouco de formalismo, um processo estocástico é uma coleção de vari- áveis aleatórias{X (α) , α ∈ T }, indexado pelo parâmetroα com valores no conjunto T . As variáveis aleatórias têm valores de um conjunto S, chamado espaço de estado do processo estocástico. Em muitos casos o parâmetroα representa o tempo. Normalmente encontram-se dois casos: (i) T ={0,1,2,···}, o qual se escreve {Xn, n ≥ 0}, em vez de {X(α), α ∈ T }; e
(ii) T = [ 0, ∞), para o qual se escreve{X(t); t ≥ 0}, em vez de {X(α), α ∈ T }. Também é
comum encontrar S⊂ {0,1,2,···} ou S ⊂ (−∞,∞).
Considera-se{X(α), α ∈ T } ser um processo estocástico com espaço de estado S e X : T →
Figura B.1 Caminhos de amostragem típicos de processos estocásticos
S ser uma função. Pode-se pensar{X(α), α∈ T } como uma possível evolução (trajetória) de
{X(α), α ∈ T }. As funções x são chamadas de caminhos amostrais do processo estocástico.
A Figura B.1 mostra alguns caminhos amostrais típicos de processos estocásticos. Como esse processos estocásticos seguem um caminho de amostragem aleatório, ele é algumas vezes chamado de função aleatória. Geralmente o conjunto de todos os caminhos amostrais, o chamado espaço de amostras do processo estocástico, é não contável (observe que isto é ver- dade até nos casos de processos estocásticos de tempo discreto {Xn, n ≥ 0} com espaço de
estados finitos S. Um dos objetivos do estudo dos processos estocásticos é estudar o comporta- mento dos caminhos amostrais que o sistema segue, com o objetivo final de previsão e controle do futuro do sistema.
Na identificação da natureza do processo estocástico é importante classificá-lo com base na natureza de seus parâmetros: espaço de estado e parâmetro de espaço. As classes diferentes dos processos estocásticos são dados em forma de tabela (Tabela B.1).
Tabela B.1 Processo Estocástico Espaço do parâmetro Espaço do Estado
Discreto Contínuo
Discreto 1 3
Eis exemplos correspondentes aos processos estocásticos da Tabela B.1:
1. Espaço de estados e espaço de parâmetros discreto: número de preferências de consumi- dores, observadas semanalmente.
2. Espaço de estados discreto e espaço de parâmetros contínuo: número de pessoas es- perando numa fila em qualquer hora do dia.
3. Espaço de estados contínuo e espaço de parâmetros discreto: quantidade de gasolina em estoque observada em épocas de tempo discreto.
4. Espaço de estados contínuo e espaço de parâmetros contínuo: quantidade de água numa barragem observada num intervalo de tempo.
B.1
Cadeias de Markov
Uma cadeia de Markov é um processo estocástico que apresenta a propriedade markoviana em que os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido.
Uma maneira simples de visualizar um tipo específico de cadeia de Markov é através de uma máquina de estados finitos. Se algo está no estado y no tempo n, então a probabilidade de que se mova para o estado x no tempo n+ 1 não depende de n, e somente depende do estado atual y
em que está. Assim em qualquer tempo n, uma cadeia de Markov finita pode ser caracterizada por uma matriz de probabilidades, cujo elemento(x, y) é dado por Pr(Xn+1 = x|Xn= y) , e é
independente do tempo n. Estes tipos de cadeia de Markov finitas e discretas podem também ser descritas por meio de um grafo dirigido, onde cada aresta é rotulada com as probabilidade de transição de um estado a outro, sendo esses estados representados como os nós conectados pelas arestas.
Propriedade Markoviana: Se o presente estado do sistema é conhecido, o futuro do sis- tema é independente do seu passado.
Em outras palavras, o sistema, tendo a propriedade acima, o passado afeta o futuro somente através do presente; ou, afirmado ainda de outra maneira, o estado atual do sistema contém todas as informações relevantes necessárias para produzir o futuro em sentido probabilístico. Embora existam cadeias de Markov para tempo discreto, na sequência só faremos a discussão de cadeias de Markov de tempo contínuo para permitir o estabelecimento da formulação que permita a análise estado do estacionário e do estado transiente da mesma.
B.1.1 Cadeias de Markov de tempo contínuo
A propriedade de Markov (ausência de memória) para uma cadeia de Markov de tempo con- tínuo é dada por:
P[X(tk+1) = xk+1| X(tk) = xk, X(tk−1) = xk−1, . . . , X(t0) = x0]
onde t0≤ t1≤ ··· ≤ tk≤ tk+1.
O valor de X(tk+1) depende somente de xk e não depende de qualquer história passada
dos estados (sem memória de estado passado). O tempo gasto no presente estado também é irrelevante na determinação do próximo estado (sem memória de época).
O estudo de cadeias de Markov de tempo contínuo utiliza as taxas nas quais os eventos acontecem (transição de estados). Isto permite especificar um modelo para que se possa realizar a análise do mesmo.
B.2
Observações
O objetivo deste texto é introduzir os principais componentes da teoria e do formalismo ISPN e também dos exemplos de algumas de suas aplicações. É necessário para distinguir entre CTMC e ICTMC subjacentes a GSPN (clássica) e a ISPN (intervalar), respectivamente. Este apêndice foi incluído para relembrar conceitos básicos teóricos dos processos estocásticos com cadeias de Markov. Posteriormente, no Apêndice E, faremos a extensão intervalar dos conceitos para a ICTMC e derivar suas equações do estado estacionário e no estado transiente.