Nesta se¸c˜ao, vamos analisar a entropia emitida por um buraco negro durante um pro- cesso de evapora¸c˜ao regido pela mudan¸ca de topologia, de forma a comparar os resultados obtidos aos j´a obtidos por investiga¸c˜oes semicl´assicas de Zurek e Page [61, 62].
A entropia de um sistema mede quanta informa¸c˜ao a respeito de sua configura¸c˜ao interna est´a oculta a um observador externo ao sistema. Supondo, ent˜ao, que tudo o que se sabe a respeito da configura¸c˜ao interna de um sistema ´e que mesmo pode ser encontrado em um estado dentro de um conjunto de estados poss´ıveis, tome pn como
sendo a probabilidade do sistema ser encontrado no n-´esimo estado. Ent˜ao, a entropia do sistema ´e dada pela rela¸c˜ao de Shannon [142–145].
S = −Xpnlnpn (3.27)
Para o c´alculo dessa entropia, vamos usar o resultado obtido em (3.10), onde deve ser inclu´ıdo, ainda, um fator Γ relacionado ao espalhamento sofrido pela radia¸c˜ao devido `a curvatura do espa¸co-tempo nas proximidades do buraco negro. Este ´e conhecido como fator “gray body”. Dessa forma, a probabilidade de um buraco negro percorrer n passos no espectro descrito na figura (15) ser´a proporcional a Γ(n) e−δAkn4 .
caso de um buraco negro de Schwarzschild, a radia¸c˜ao ser´a emitida em frequˆencias dadas por ωjn= 1 2√π( p ln(2j + 1) −pln(2j + 1 − n)) (3.28)
Para guiar nossas discuss˜oes, vamos usar um modelo simples sugerido por Hod [146]. ´
E sabido que, para campos sem massa, Γ(¯ω) assume os seguintes valores
Γ(¯ω) = (
0 para ω < ¯¯ ωc
1 para ω¯c ≥ ¯ωc
A raz˜ao R =| ˙Srad/ ˙SBH| da taxa de emiss˜ao de entropia pelo buraco negro quˆantico
pela taxa de decr´escimo na entropia do buraco negro ´e dada por:
R = − PNs i=1 P2k+1 n=1 CΓ(n)e− δAkn 4 ln h CΓ(n)e−δAkn4 i PNs i=1 P2k+1 n=1 CΓ(n)e −δAkn4 δAkn 4 , (3.29)
onde C ´e um fator de normaliza¸c˜ao, definida pela condi¸c˜ao abaixo:
Ns X i=1 2k+1 X n=1 CΓ(n)e−δAkn4 = 1 . (3.30)
O n´umero efetivo de esp´ecies de part´ıculas ( Ns) leva em conta os v´arios modos
emitidos. Vamos considerar Ns = ( 2j + 1 para 2j + 1 < 112 112 para 2j + 1 ≥ 112
Onde Ns ´e tomado como igual a 112, o n´umero de modos de part´ıculas sem massa
que contribuem predominantemente `a radia¸c˜ao emitida pelo buraco negro 3, quando
Dim(S2
F) = 2j + 1 ≥ 112 e igual a 2j + 1 quando a dimens˜ao da esfera fuzzy for menor
que a quantidade de modos. Isto porque os modos emitidos pelo buraco negro, em nosso tratamento devem ser limitados pelo n´umero de graus de liberdade presentes na esfera fuzzy.
Plotamos R na figura (16), onde tomamos ¯ωc ≃ 0.2 (o pico do espectro [147–149]).
Deste gr´afico, temos que a evolu¸c˜ao n˜ao-unit´aria da geometria do buraco negro, devido `a mudan¸ca de topologia, imp˜oe `a evapora¸c˜ao dos buracos negros a obediˆencia a uma “segunda lei da termodinˆamica”, desde que R ´e sempre maior ou igual a 1.
500 1000 1500 j 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 R
Figura 16: Raz˜ao da taxa de emiss˜ao de entropia por um buraco negro quˆantico pela taxa de decr´escimo da entropia do buraco negro.
´
E importante notarmos que a taxa de emiss˜ao de entropia pelo buraco negro decresce `a medida que o espa¸camento entre as linhas do espectro cresce. A entropia da radia¸c˜ao deve ser maximal no limite semicl´assico, onde o buraco negro pode estar em qualquer estado de ´area. De fato, pelo gr´afico, observamos que R se aproxima do valor predito pela teoria semicl´assica [61], que ´e aproximadamente 1, 3. Por outro lado, no limite quˆantico, somente valores especiais s˜ao permitidos para a ´area do horizonte de eventos, de forma que a entropia da radia¸c˜ao emitida pelo buraco negro torna-se menor. Isto aponta para a possibilidade de alguma informa¸c˜ao a respeito do estado quˆantico inicial do buraco negro escapar, nos ´ultimos est´agios de sua evapora¸c˜ao, tornando-se acess´ıvel para um observador em nosso universo.
CONCLUS ˜AO
Nesta tese, mostramos que um modelo baseado na mudan¸ca de topologia de uma variedade quˆantica pode ser usado para esclarecer os problemas ainda em aberto em termodinˆamica dos buracos negros, como a origem de sua entropia e o problema da perda de informa¸c˜ao. Para isso, n´os conectamos o processo de emiss˜ao por buracos negros com o processo de mudan¸ca de topologia de uma variedade quˆantica, a esfera fuzzy, a qual modela o horizonte de eventos do buraco negro.
Identificamos os estados quˆanticos definidos sobre a esfera fuzzy com estados quˆanticos relacionados `a geometria do horizonte de eventos (estados de ´area) e, a partir do processo de mudan¸ca de topologia, obtivemos as regras de sele¸c˜ao para a transi¸c˜ao entre estes esta- dos. Assim, pudemos encontrar a amplitude de probabilidade de o buraco negro evaporar a partir das regras de sele¸c˜ao para o processo de mudan¸ca de topologia. Isto forneceu um melhor entendimento da f´ormula de Bekenstein-Hawking, desde que o processo de mudan¸ca de topologia nos fornece uma rela¸c˜ao para a entropia dos buracos negros que concorda com o nosso entendimento usual da entropia como o logaritmo do n´umero de micro-estados do sistema.
Globalmente, o processo de mudan¸ca de topologia ocorre de forma que nem a condi¸c˜ao de unitariedade, nem a de localidade s˜ao desrespeitadas. Assim conseguimos construir um modelo para a evapora¸c˜ao dos buracos negros onde o problema da perda de informa¸c˜ao ´e superado. Por outro lado, para um observador em nosso universo, que vˆe a evapora¸c˜ao do buraco negro, o processo ocorre de forma n˜ao-unit´aria, desde que o mesmo n˜ao tem acesso aos graus de liberdade presentes no universo bebˆe.
A partir do estudo do processo de evapora¸c˜ao, encontramos um espectro de ´area que ´e cont´ınuo no limite semicl´assico mas se torna discreto `a medida que o buraco negro aproxima-se da escala de Planck. No sentido de investigarmos as influˆencias da forma encontrada para o espectro de ´area do buraco negro para o processo de evapora¸c˜ao, n´os mostramos, usando alguns resultados do formalismo de tunelamento quˆantico, que uma part´ıcula emitida pelo buraco negro em seus ´ultimos est´agios de evapora¸c˜ao, quando o espectro de ´area se torna discreto, est´a sujeita a um princ´ıpio da incerteza generalizado,
o que possui efeitos significantes no processo de evapora¸c˜ao, desde que grandezas como temperatura e entropia, que caracterizam o buraco negro precisam ser corrigidas. Cal- culamos, ent˜ao, a raz˜ao entre as taxas de varia¸c˜ao de entropia da radia¸c˜ao e a taxa de varia¸c˜ao de entropia do buraco negro R =| ˙Srad/ ˙SBH |. N´os obtivemos que R ´e maior
que 1, mostrado que o mecanismo considerado ´e capaz de reproduzir a segunda lei da termodinˆamica. A obediˆencia `a segunda lei generalizada teria como origem a evolu¸c˜ao n˜ao-unit´aria vista por um observador em nosso universo. Obtivemos, tamb´em, que R se aproxima de 1.3, quando j tende ao infinito, o que concorda com o resultado semicl´assico previsto por Zurek [61]. Por outro lado, R tende para 1, quando o buraco negro se apro- xima da escala de Planck, ou seja, quando j tende a zero. Este ´ultimo resultado aponta para a possibilidade de que, nos ´ultimos est´agios da evapora¸c˜ao, alguma informa¸c˜ao possa escapar do buraco negro juntamente com a radia¸c˜ao, desde que a mesma se torna menos entr´opica. Isto corresponde, de fato, ao que se espera em um cen´ario com a presen¸ca de um princ´ıpio da incerteza generalizado, onde a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entre modos consecu- tivos emitidos por um buraco negro ´e diferente de zero. De fato, Nozari e Mehdipour [155] encontraram a seguinte express˜ao para a fun¸c˜ao que mede a correla¸c˜ao existente entre dois modos emitidos consecutivamente:
χ(ω1 + ω2; ω1, ω2) = = 4παω1ω2[ − 8M(ω1+ ω2) + 10ω12 + 15ω1ω2+ 22 3 ω 2 2] . (3.1)
Assim, a existˆencia de correla¸c˜oes entre os diferentes modos emitidos pelo buraco negro dependem diretamente do parˆametro α advindo do princ´ıpio da incerteza generalizado. No limite de α → 0 as correla¸c˜oes entre os modos deixam de existir.
Entre as perspectivas do trabalho, est˜ao a aplica¸c˜ao da de mudan¸ca de topologia no sentido de obter uma poss´ıvel explica¸c˜ao para a terceira lei da mecˆanica dos buracos negros, a qual diz que a gravidade superficial de um buraco negro n˜ao pode ser reduzida a zero por uma quantidade finita de processos. De forma an´aloga ao que acontece com a terceira lei da termodinˆamica, a qual necessita da teoria quˆantica para ser explicada, a terceira lei da mecˆanica dos buracos negros ser´a possivelmente explicada por uma teoria de gravidade quˆantica. Al´em disso, o estudo dos casos de buracos negros com rota¸c˜ao e carga, a aplica¸c˜ao da abordagem de mudan¸ca de topologia ao efeito Unruh e ao estudo da expans˜ao c´osmica est˜ao entre as poss´ıveis aplica¸c˜oes futuras deste trabalho.