Tourisme et croissance : une relation ambigüe
Section 3. Modélisation théorique de la non-linéarité entre tourisme et croissance
3.1. L’introduction du tourisme dans un modèle de croissance endogène à la Romer
3.1.1. Les fondamentaux du modèle de croissance endogène de Romer
L’effort en R&D, moteur de la croissance à long terme
L’originalité du modèle de Romer (1990) est d’introduire l’effort de recherche et développement, ou encore de production de nouvelles idées, comme une activité qui répond à des incitations économiques. Trois types d’agents coexistent dans ce modèle. Premièrement, les producteurs de la production finale engagent du travail et des intrants intermédiaires et les combinent pour produire la production finale qui est vendue au prix unitaire. Dans le secteur des biens intermédiaires, les entreprises monopolistiques transforment les brevets, les idées venant des entreprises de R&D ou le capital étranger importé en biens intermédiaires non durables. Les bons producteurs intermédiaires sont monopolistes et chacun d’eux fixe le même prix et vend la même quantité de son produit 𝑋𝑋. Deuxièmement, les entreprises de R&D consacrent des ressources pour inventer de nouveaux produits. Une fois qu’un produit a été inventé, l’entreprise de R&D innovante obtient un brevet perpétuel, qui permet à l’entreprise de vendre le bien au prix qu’il choisit. Ce prix est choisi pour maximiser les bénéfices. Troisièmement, les ménages maximisent l’utilité, sous réserve de la contrainte budgétaire habituelle.
L’économie est donc composée d’un secteur qui produit le bien final. Ces biens sont ensuite utilisés pour être consommés, et investir. Ce secteur va utiliser différents inputs. La fonction de production de ce bien retient l’hypothèse de la concurrence monopolistique inspirée de Dixit et Stiglitz (1977), c’est-à-dire de
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différenciation horizontale des produits. La variété possible de biens intermédiaires peut s’interpréter comme la variété possible de services touristiques, c’est-à-dire de types d’hébergement, de restauration, d’activités touristiques (sportives, culturelles ou récréatives) et des combinaisons possibles entre tous ces services.
La fonction de production s’écrit :
𝑌𝑌𝑖𝑖 =𝐴𝐴𝐿𝐿𝑖𝑖1−𝛼𝛼 ��𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖�𝛼𝛼
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
𝑑𝑑𝑑𝑑
Où 𝛼𝛼 est compris entre 0 et 1, 𝐴𝐴 le paramètre décrivant le progrès technique, 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖 est l’input travail, 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 est l’emploi du 𝑗𝑗Pe type de bien intermédiaire spécialisé et 𝑁𝑁 est le nombre de variétés d’intermédiaires. Cette formulation considère la variété des biens intermédiaires comme un élément de la fonction de production. L’augmentation de la diversité accroît par hypothèse la productivité des biens intermédiaires. Plus α est proche de 0 plus la diversité est productive. La fonction de production de l’équation (1.1.1) spécifie la productivité marginale décroissante de chaque entrée, 𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖 et 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖, et des rendements constants à l’échelle dans toutes les entrées ensemble.
Sous sa forme la plus simple, le modèle suppose qu’une unité de capital peut être transformée sans effort en une seule unité de biens intermédiaires. Cette hypothèse implique le plein emploi du capital, c’est-à-dire que :
𝐾𝐾= � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
= 𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖
La fonction de production peut être réécrite comme : 𝑌𝑌𝑖𝑖 =𝐴𝐴𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖1−𝛼𝛼𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖𝛼𝛼=𝐴𝐴𝐿𝐿𝑝𝑝𝑖𝑖1−𝛼𝛼(𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖)𝛼𝛼𝑁𝑁1−𝛼𝛼
Pour 𝑁𝑁 donné, l’équation (1.1.2) implique que la production présente des rendements d’échelle constants dans 𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖 et 𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖, la quantité totale d’intrants intermédiaires. Pour des quantités données de 𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖 et 𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖, 𝑌𝑌𝑖𝑖 augmente avec 𝑁𝑁 selon le terme 𝑁𝑁1−𝛼𝛼. Le progrès technologique prend la forme dans l’expansion en 𝑁𝑁, le nombre de biens intermédiaires spécialisés disponibles, plutôt que dans
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l’augmentation dans 𝐴𝐴, la productivité paramètre. Ainsi, le changement technologique sous la forme d’une 𝑁𝑁 évite la tendance à la baisse des rendements.
Les biens finaux, 𝑌𝑌𝑖𝑖, sont physiquement identiques. L’ensemble de ces biens produits,𝑌𝑌, peut être utilisé de façon parfaitement substituable à des fins diverses : la consommation des résidents, la consommation touristique et la production d’intermédiaires. Ainsi, un 4e agent s’ajoute à ceux proposés par Romer : les touristes. Tous les prix sont mesurés en unités du flux homogène de marchandises, 𝑌𝑌.
Ainsi, les emplois de la production totale (produit intérieur brut) peuvent s’écrire :
𝑌𝑌=𝑐𝑐𝐿𝐿+𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇+𝜂𝜂𝑁𝑁̇
Donnant la contrainte technologique suivante : 𝐾𝐾̇=𝜂𝜂𝑁𝑁̇ =𝑌𝑌 − 𝑐𝑐𝐿𝐿 − 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇
Où 𝐾𝐾̇ est l’investissement (flux du capital), 𝑐𝑐𝐿𝐿 est la consommation des résidents (désigné également 𝐶𝐶), avec 𝐿𝐿= 𝐿𝐿𝑌𝑌 +𝐿𝐿𝐴𝐴, soit les travailleurs produisant des biens finaux (𝐿𝐿𝑌𝑌) et de la connaissance (𝐿𝐿𝐴𝐴), 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇 la consommation touristique extérieur, avec 𝑐𝑐𝑇𝑇 exogène et déterminé par le marché international et 𝑇𝑇 correspondant au nombre de touristes. 𝑁𝑁̇ représente la création d’une nouvelle variété de 𝑁𝑁 au coût unitaire de 𝜂𝜂.
Le profit pour un producteur d’un bien final est :
𝜋𝜋𝑖𝑖 =𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝑤𝑤𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖 − � 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
Où est 𝑤𝑤 le taux de salaire et 𝑃𝑃𝑖𝑖 le prix des biens intermédiaires. Le marché des biens finaux est en concurrence pure et parfaite, ce qui implique que les prix des facteurs sont égaux au produit marginal et que les profits sont nuls.
Ceci permet de déterminer la quantité 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 comme une fonction de demande : 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖�𝐴𝐴𝛼𝛼
𝑃𝑃𝑖𝑖�
1 1−𝛼𝛼⁄
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Où l’élasticité de la demande pour chaque bien intermédiaire est constante et égale à −1 (1⁄ − 𝛼𝛼).
Le secteur des biens intermédiaires opère en concurrence monopolistique, c’est-à-dire que les entreprises ont un certain pouvoir de marché. Ce pouvoir lui permet d’appliquer des droits de propriété ou brevets, et ainsi de dégager des profits.
Le flux de profit du producteur équivaut à :
𝜋𝜋𝑑𝑑(𝑣𝑣)=�𝑃𝑃𝑗𝑗(𝑣𝑣)−1�𝑋𝑋𝑗𝑗(𝑣𝑣)
A l’instant 𝑣𝑣 et où :
𝑋𝑋𝑖𝑖(𝑣𝑣) =𝐿𝐿𝑌𝑌𝑖𝑖�𝐴𝐴𝛼𝛼 𝑃𝑃𝑖𝑖�
1 1−𝛼𝛼⁄
Est l’agrégat des quantités demandées au producteur 𝑑𝑑 et 𝐿𝐿=∑ 𝐿𝐿𝑖𝑖 est constant.
Le problème de maximisation de 𝜋𝜋𝑑𝑑(𝑣𝑣) permet d’obtenir le prix du monopole : 𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑣𝑣) =𝑃𝑃 =1
𝛼𝛼
Par conséquent, le prix 𝑃𝑃𝑗𝑗 est constant dans le temps et pour tous les biens intermédiaires.
Si On substitue 𝑃𝑃𝑗𝑗 de l’équation (1.1.7) à l’équation (1.1.6), nous pouvons déterminer la quantité totale produite de chaque produit intermédiaire :
𝑋𝑋𝑖𝑖 =𝐴𝐴1⁄(1−𝛼𝛼)𝛼𝛼2⁄(1−𝛼𝛼)𝐿𝐿
𝑋𝑋𝑖𝑖 est également constant dans le temps et pour tous les biens intermédiaires.
Ainsi, la quantité totale de biens intermédiaires produite, dénommée 𝑋𝑋, est donnée à :
𝑋𝑋=𝑁𝑁𝑋𝑋𝑖𝑖=𝐴𝐴1⁄(1−𝛼𝛼)𝛼𝛼2⁄(1−𝛼𝛼)𝐿𝐿𝑁𝑁
En intégrant (1.1.9) dans (1.1.2), le niveau de production totale peut s’écrire : 𝑌𝑌=𝐴𝐴𝐿𝐿1−𝛼𝛼𝑋𝑋𝛼𝛼𝑁𝑁1−𝛼𝛼=𝐴𝐴1⁄(1−𝛼𝛼)𝛼𝛼2⁄(1−𝛼𝛼)𝐿𝐿𝑁𝑁
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Ce secteur est caractérisé par une concurrence parfaite, utilisant le capital humain (𝐿𝐿𝐴𝐴) et le stock existant de brevets, designs, etc. Les idées sont des biens exclusifs et peuvent donc être vendues comme des brevets. Par ailleurs, dans ce secteur, le stock d’idée passée (𝐴𝐴) permet de trouver plus facilement de nouvelles idées. Ainsi, la productivité de la production de brevet augmente avec le stock de brevets.
La fonction de production peut s’écrire : 𝐴𝐴̇𝑡𝑡 =𝛿𝛿𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 Où 𝛿𝛿 est le paramètre de productivité.
Derniers acteurs économiques du modèle de Romer (1990), les ménages cherchent à maximiser leur utilité. Le choix de la fonction d’utilité du consommateur est contraint par la nécessité d’obtenir une croissance équilibrée à taux constant. Les fonctions ayant cette propriété sont dites à aversion relative pour le risque constante (CRRA), et s’écrivent (on suppose de plus que tous les consommateurs sont identiques et sont en nombre constant) :
𝑈𝑈(𝐶𝐶𝑡𝑡) =𝐶𝐶𝑡𝑡1−𝜎𝜎−1 1− 𝜎𝜎
Où 𝐶𝐶𝑡𝑡 est la consommation, qui peut également écrire que 𝐶𝐶𝑡𝑡 =𝑐𝑐𝐿𝐿. Le consommateur maximise son utilité à un horizon infini :
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑈𝑈(𝐶𝐶𝑡𝑡) =� 𝐶𝐶𝑡𝑡1−𝜎𝜎−1 1− 𝜎𝜎
∞
0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
La contrainte budgétaire agrégée s’écrit :
𝑑𝑑(𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑑𝑑𝑎𝑎)⁄𝑑𝑑𝑑𝑑=𝑤𝑤𝐿𝐿+𝑟𝑟. (𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑑𝑑𝑎𝑎)− 𝐶𝐶 Où 𝑟𝑟 est le taux d’intérêt.
Le résultat satisfait l’équation d’Euler :
𝐶𝐶̇ 𝐶𝐶⁄ = (1⁄𝜃𝜃)(𝑟𝑟 𝜌𝜌⁄ )
La condition de transversalité habituelle implique que 𝑟𝑟 doit dépasser le taux de croissance à long terme, 𝑌𝑌.
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Ainsi, les emplois de la production totale (produit intérieur brut) peuvent s’écrire :
𝑌𝑌=𝑐𝑐𝐿𝐿+𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇+𝜂𝜂𝑁𝑁̇
Le modèle de Romer établit que l’économie converge vers un sentier de croissance équilibré le long duquel les différentes variables caractéristiques croissent à un même taux. La déterminitation ce sentier équilibré passe par la résolution du problème du planificateur social. Ce dernier cherche a maximiser l’utilité du ménage représentatif, sous la containte de budget de l’économie.
En prenant en compte les différentes équations, l’Hamiltonien de ce problème s’écrit :
𝐻𝐻=� 𝐶𝐶𝑡𝑡1−𝜎𝜎−1 1− 𝜎𝜎
∞
0 𝑒𝑒−𝜌𝜌𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑+𝜆𝜆.�𝐴𝐴1⁄(1−𝛼𝛼)𝛼𝛼2⁄(1−𝛼𝛼)𝐿𝐿𝑁𝑁 − 𝑐𝑐𝐿𝐿 − 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇�+𝜇𝜇[𝛿𝛿𝐻𝐻𝐴𝐴𝐴𝐴]
Avec comme conditions du premier ordre : 𝜆𝜆̇= 𝜌𝜌𝜆𝜆 −𝜕𝜕𝐻𝐻
𝜕𝜕𝐾𝐾; 𝜇𝜇̇̇ =𝜌𝜌𝜇𝜇𝜕𝜕𝐻𝐻
𝜕𝜕𝐴𝐴
La condition de premier ordre de la maximisation de 𝐻𝐻 par rapport 𝐶𝐶 relie l’utilité marginale au multiplieur 𝜆𝜆 :
𝐶𝐶−𝜎𝜎= 𝜆𝜆
Celle de 𝐻𝐻 par rapport 𝐻𝐻𝐴𝐴 montre que l’économie est fonction du travail, du capital humain et du progrès technique, comme le modèle néoclassique :
𝑌𝑌= 𝐿𝐿𝑝𝑝𝛿𝛿𝜇𝜇
𝛼𝛼𝜆𝜆 𝐴𝐴= (𝐿𝐿 − 𝐿𝐿𝐴𝐴)𝛿𝛿𝜇𝜇 𝛼𝛼𝜆𝜆 𝐴𝐴 Résolution du sentier de croissance équilibré
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Pour un sentier de croissance équilibré, il faut que le progrès technique 𝐴𝐴, le capital 𝐾𝐾 et la production 𝑌𝑌 croissent à des taux exponentiels constants, avec un taux d’intérêt et une évolution démographique constants. La résolution des conditions du premier ordre combiné aux équations permet d’aboutir au taux commun de croissance de toutes les variables. 𝑔𝑔 :
𝑔𝑔=𝑌𝑌̇
𝑌𝑌=𝐶𝐶̇
𝐶𝐶=𝐾𝐾̇
𝐾𝐾=𝐴𝐴̇
𝐴𝐴=𝛿𝛿𝐿𝐿𝑎𝑎 1
Où 𝐿𝐿𝑎𝑎 les travailleurs de la connaissance et 𝛿𝛿 le paramètre de productivité de ces travailleurs.