Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
S´erie 7
Martin Jucker
6 avril 2009
1 Principe d’exclusion de Pauli
Soit un puits de potentiel `a une dimension :
L x
0 V(x)
V(x) =
∞ , x= 0 0 ,0< x < L
∞ , x=L
Pour le cas o`u nous avons seulement un ´electron, la r´esolution de l’´equation de Schroedinger implique un nombre quantiquen. A ce nombre quantique on rajoute le spin.
A Si le puits contient deux ´electrons, est-il possible d’avoir { n= 1, s= 1/2
n= 1, s= 1/2 ?
B Si on veut avoir le mˆeme nombre quantique n pour les deux ´electrons, quel est la valeur de spour chaque ´electron ?
C Si maintenant nous avons trois ´electrons, pouvons-nous avoir
n= 1, s= 1/2 n= 1, s=−1/2 n= 0, s= 1/2
?
1
2 Etats des ´ electrons
Rappel : Les ´electrons dans un atome sont caract´eris´es par les nombres quantiques : n = 1,2, ...
l = 0,1,2, ...,(n−1) m = 0,±1,±2, ...,±l
s = ±1/2
Unecouche est caract´eris´ee par des ´etats avec le mˆeme nombre quantiquen.
A Combien d’´etats y a-t-il dans une couche ?
B Tous les ´etats avec les mˆemes nombresnetl forment une sous-couche. Combien d’´etats y a-t-il dans une sous-couche ?
Notez que tous les ´etats d’une mˆeme couche (mˆemen) ont la mˆeme ´energie.
3 Le spectre des rayons X
A En reprenant l’exercice sur l’atome de Bohr et en supposant que le noyau a une chargeZe, montrez que les niveaux d’´energie sont donn´es par
En=−2π2Z2e4m h2
( 1 4πϵ0
)2
1 n2.
Notez que pour l’atome d’hydrog`ene (Z = 1),
En=−2π2e4m h2
( 1 4πϵ0
)2 1 n2.
Notez aussi que Z2e4 provient de (Ze)2·e2. Ce r´esultat sera important pour l’exercice de la s´erie du 21 avril, o`u nous calculerons le spectre de ligne des rayons X.
Rappel Dans un tube `a rayons X, des ´electrons arrachent un ´electron de la couche K (n=1).
Les rayons X sont ´emis lorsqu’un ´electron de la couche L (n=2) tombe sur la couche K. Il s’agit l`a de la ligneKα. La ligne appel´eeKβ correspond `a la transition d’un ´electron de la couche M sur la couche K.
B Si le m´etal poss`ede un noyau ayant Z protons, en appliquant la formule de Bohr donnant les niveaux d’´energie, donnez la longueur d’onde de la raie Kα.
C La ligne Kαdu Molybd`ene (Z = 42) a pour longueur d’ondeλ= 0.072nm (valeur exp´erimentale).
Utilisez le r´esultat de la question (A) pour calculer la valeur de la longueur d’onde de la raie Kαdu Molybd`ene.
Notez que l’accord avec l’exp´erience est meilleur si cous remplacezZ2 par (Z−1)2.
2
D Moseley a mesur´e l’´energie des photons des rayons X ´emis par plusieurs ´el´ements et a fait le diagramme suivant :
Montrez que le diagramme de Moseley est compatible avec la formule obtenue sous (A) en rempla¸cant Z2 par (Z−1)2.
On justifie ce remplacement en disant que le noyau est ´ecrant´e par la charge n´egative de l’´electron qui reste sur la couche K. On consid`ere que la charge du noyau n’est alors plus Z maisZ−1.
E Faites vous-mˆemes un diagramme de Moseley grˆace aux donn´ees suivantes : El´ement λ[pm] Z
Ti 275
V 250
Cr 229
Mn 210
Fe 193
Co 179
Ni 166
Cu 154
Zn 143
Ga 134
Completez le tableau par la valeur deZ.
F L’´energie de ionisation des ´electrons de la couche K du Mo est de 20keV. Si vous voulez faire un tube `a rayons X avec du Mo, quelle est l’´energie minimale des ´electrons incidents ?
3
