Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
Corrig´es de la S´erie 6 du 30 mars 2009
Martin Jucker
On utilisera souvent la formule d’int´egration suivante :
∫
xneaxdx= eax an+1
[(ax)n−n(ax)n−1+n(n−1)(ax)n−1−. . .+ (−1)nn!] .
1 Atome d’hydrog` ene : Valeur moyenne ⟨ r ⟩ de l’´ etat (n=1,l=0)
A Il faut pr´eciser que la fonction d’onde donn´ee ne repr´esente que la partie d´ependante du rayon. On a alors d´ej`a int´egr´e sur les angles. Reste a calculer l’int´egrale sur r :
∫ ∞
0
|ψ|2r2dr = 4 a30
∫ ∞
0
r2exp (
−2 r a0
) dr
= 4
a30
∫ ∞
0
a30ρ2exp (−2ρ)dρ
= 4 [e−2ρ
−8
(4ρ2+ 2ρ+ 2)]∞
0
= 4 4 = 1.
B La valeur moyenne⟨r⟩ est
∫ ∞
0
(ψ∗rψ)r2dr = 4 a30
∫ ∞
0
r3exp (
−2 r a0
) dr
= 4a0
∫ ∞
0
ρ3exp (−2ρ)dρ
= 4a0
[e−2ρ 16
(−8ρ3−12ρ2−12ρ−6)]∞
0
= 4a0
[ 6 16
]
= 3 2a0.
1
C La probabilit´e de trouver l’´electron `a l’int´erieur du rayonr =R est : P(r≤R) =
∫ R
0
|ψ|2r2dr= [partie (A)] =
= 4 [e−2ρ
−8
(4ρ2+ 2ρ+ 2)]ρ0=R/a0
0
= 4 [2
8 −e−2ρ0 4
(2ρ20+ρ0+ 1)]
= 1−e−2ρ0(
2ρ20+ρ0+ 1) .
a On resoud alors num´eriquement pour trouver aR
0 = ρ0 t.q. P(r ≤R) =0.9 : On trouve
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
R/a0
alors
R≈ 5 2a0.
b On remarque alors que le rayon pour 90% de probabilit´e est plus grand que le rayon moyen. En effet, comme le montre la figure, la valeur moyenne⟨r⟩correspond `a 66% de probabilit´e de trouver l’´electron `a l’int´erieur du rayonR=⟨r⟩.
2
2 Atome d’hydrog` ene : Valeur moyenne ⟨ E
cin⟩ de l’´ etat (n=1,l=0)
Pour calculer la valeur moyenne de l’´energie cin´etique d’un ´electron dans l’´etat (n=1,l=0), on utilise le fait que Ecin = p2/2m et que l’op´erateur impulsion s’´ecrit p = −i~∇. Aussi, le Laplacien s’´ecrit :
∇2 = ∂2
∂r2 +2 r
∂
∂r + 1 r2Λ2.
Or, [
∂2
∂r2 +2 r
∂
∂r ]
e−r/a0 = [1
a20 − 2 r
1 a0
]
e−r/a0, et alors
⟨Ecin⟩ =
⟨ p2 2m
⟩
=−~2 2m
4 a30
∫ ∞
0
r2e−r/a0 [1
a20 −2 r
1 a0
]
e−r/a0dr
= ~2 2ma20
[ 4 a30
∫ 0
∞r2e−2r/a0dr− 8 a20
∫ 0
∞re−2r/a0dr ]
= ~2 2ma20
4 a30
[ e−2r/a0
−8/a30 (
4 ( r
a0
)2 + 4r
a0
+ 2 )]0
∞
− 8 a20
[ e−2r/a0
4/a20 (
−2 r a0 −1
)]0
∞
= ~2 2ma20
{ 4 a30
[
−a30 4
] + 8
a20 [a20
4 ]}
= ~2
2ma20{−1 + 2}
= ~2 2ma20
3 Relation d’incertitude de Heisenberg
On a :
a0
100∆px& 1
2~⇔∆px& 100
a0 1
2~⇒∆Ecin= ∆p2
2m & 5000
2
~2
ma20 = 5000⟨Ecin⟩.
On voit alors ais´ement que l’incertitude sur l’´energie cin´etique (i.e. sa variance) est plus que trois ordres de magnitude plus grande que sa valeur moyenne. Ceci montre l’effet du principe d’incertitude : Si l’on veut connaˆıtre la position avec une haute pr´ecision (`a 1.5% de sa valeur moyenne pr`es), on perd toute information sur son impulsion et donc son ´energie cin´etique.
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