Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP S´erie 5

Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP

S´erie 5

Martin Jucker

martin.jucker@epfl.ch

23 mars 2009

Interpretation des nombres quantiques (m, l) 1 Mouvement d’une particule sur un cercle

Soit une particule libre en mouvement circulaire de rayonR.

A Ecrivez l’´equation de Schroedinger en coordonn´ees cylindriques dans le plan 0xy

∂²

∂x² + ∂²

∂y² = ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r + 1 r²

∂²

∂ϕ². B R´esolvez l’´equation de Schroedinger.

C Sachant que le moment angulaireJ_z selon l’axe 0zest ´egal `aJ_z=±pr, ´ecrivez l’´equation pour l’´energie.

D Interpr´etez la quantification de l’´energie en terme de Jz.

1

2 Mouvement d’une particule sur une sph` ere

Soit une particule libre en mouvement sur une sph`ere de rayonR.

A Reprenez la question (1A) en coordonn´ees sph´eriques.

∇² = ∂²

∂r² +2 r

∂

∂r + 1 r²Λ²

Λ² = 1

sin²θ

∂²

∂ϕ² + 1 sinθ

∂

∂θ (

sinθ ∂

∂θ )

B Sans d´emonstration (thm des polynˆomes de Legendre et cours de la semaine pass´ee), nous disons que

1

r²Λ²ψ(θ, ϕ) =−2m₀E

~² ψ, avec

E = ~²

2m0r²l(l+ 1),

etm0 la masse de la particule. A comparer avec le r´esultat (1B).

C Similaire au cas (1C), l’´energie d’une particule en rotation est E= J²

2I,

o`u I =m₀r² est le moment d’inertie et J =Iω le moment angulaire, avec ω la fr´equence de rotation.

D Interpr´etez le r´esultat du point (2B) en utilisantJ.

2