Physique g´en´erale III Prof. Tran, CRPP
Corrig´es du test du 20 Javril 2009
1 Question de cours (0.5 point)
Expliquez la diff´erence entre la physique classique et la physique quantique.
La grande diff´erence avec la physique classique est le fait que les ´equations du mouvement ne sont plus d´eterministiques. En fait, au lieu de directement calculer une quantit´e observable, comme la position o`u la vitesse d’une particule, on a maintenant une ´equation (d´eterministique) qui donne la valeur de la fonction d’onde, dont la norme repr´esente une densit´e de probabilit´e de tourver une particule `a un certain endroit donn´e. Pour revenir aux quantit´es mesurables (les observables), on calcule alors une valeur moyenne. De cette formulation probabiliste suit un certain nombre de caract´eristiques seulement trouv´ees dans la physique quantique, comme par exemple
– La quantification – de l’´energie – de l’impulsion
– du moment cin´etique
– La relation d’incertitude de Heisenberg, selon laquelle les valeurs de deux moments conjugu´es ne peuvent pas ˆetre connues de mani`ere pr´ecise
– L’effet tunnel, i.e. la possibilit´e de passage d’une particule par un puits de potentiel plus grand que son ´energie cin´etique
2 Question de cours (1.5 point)
A Rappelez l’exp´erience d’interf´erence avec deux fentes en employant une source d’´electrons.
Voir Chapitre 1, section 1.2 du cours.
B Si vous envoyez les ´electrons un par un, comment la figure d’interf´erence finale se forme- t-elle ?
Idem.
C Si la source ´emet un ´electron apr`es l’autre, est-il possible que deux points lumineux appa- raissent simultan´ement sur l’´ecran ?
Non, ceci n’est pas possible. Si l’on envoie un ´electron et mesure o`u va cet ´electron, on trouvera toujours un seul point d’impact.
3 Particule dans un potentiel (1.5 points)
A Ecrivez et r´esolvez l’´equation de Schroedinger dans le cas de la barri`ere de potentiel sui- vante :
V0
x V
V(x) =
{ 0 , x <0 V0 , x≥0 La vitesse de la particule en x→ −∞ estv0 >0 telle que
1
2mv02>|eV0|. La particule est un ´electron de masse m et de charge −e.
Avec le potentiel et la charge de la particule donn´es, on remarque que la barri`ere de potentiel en effet va dans le n´egatif, i.e. ceci n’est pas vraiment une “barri`ere” dans le sens strict du mot.
L’´equation de Schroedinger est
−~2 2m
( d2 dx2 +U
)
ψ=Eψ
⇔ d2
dx2ψ+2m(E−U)
~2 ψ= 0.
La solution g´en´erale est alors
ψ=
{ Aeik1x+Be−ik1x , x <0 Ceik2x+De−ik2x , x >0 avec les nombres d’onde
k1 =
√2mE
~2 , k2 =
√2m(E−U)
~2 ,
o`u on note U =−eV0 <0. On consid`ere qu’il n’y a pas d’onde incidente de la droite, et donc on pose D= 0. Les conditions de continuit´e (ψ∈C1) nous donnent `a x= 0
{
Donc, on trouve B =A(k1−k2)/(k1+k2) et C=A2k1/(k1+k2), t.q.
ψ=A {
eik1x+kk1−k2
1+k2e−ik1x , x <0
2k1
k1+k2eik2x , x >0
Remarque : Il y avait une confusion entre les termes de potentielet´energie potentielle. Ici, on donne lepotentielV(x), et l’´energie potentielle vaut alorsU =−eV. Naturellement, l’´energie potentielle diminue alors `a x≥0, et le fait que 12mv02>|eV0|n’a aucun effet. On a donc aussi accept´e l’interpr´etation deV(x) comme ´energie potentielle, et donc 12mv02>|V0|nous dit qu’il n’y a pas de r´eflexion dans le cas classique. Dans les deux cas, les r´esultats ne changent pas dans leurs expressions math´ematiques.
B Quelle est la fraction de la fonction d’onde correspondante `a la particule r´efl´echie par la barri`ere de potentiel ?
La fraction r´efl´echie correspond au facteur B/A= kk1−k2
1+k2.
C Expliquez la diff´erence entre la situation quantique et la situation classique.
Dans la situation classique, il n’y a pas de r´eflexion, tandis que dans la situation quantique, le coefficient de r´eflexion est non-nul.
4 Atome d’hydrog` ene (1.5 points)
A La r´esolution de l´equation de Schroedinger donne la fonction d’onde ψ(r) pour l’´electron autour du proton (noyau). ψ est caract´eris´e par les 4 nombres quantiques(n, l, m, s). Rappelez les valeurs de ces 4 nombres quantiques. Lequel d’entre eux d´efinit l’´energie de l’´electron ? Les nombres peuvent prendre les valeurs suivantes :
– n∈ {1,2,3, ...} – l∈ {0,1, ..., n−1}
– m∈ {−l,−l+ 1, ...,−1,0,1, ..., l−1, l}
– s∈ {−0.5,0.5}
L’´energie de l’´electron est d´efinie par le nombren.
B Les r`egles de transition impliquent que
∆l=±1, ∆m= 0,±1.
Quelles sont les transitions possibles si n∈ {1,2,3} et l∈ {0,1}? Avec ces r`egles on peut avoir les transitions
n l m s → n’ l’ m’ s’
3 1 ±1,0 ±1/2 → 2 0 0 ±1/2
3 0 0 ±1/2 → 2 1 ±1,0 ±1/2
→ 1 0 0 ±1/2
2 1 ±1,0 ±1/2 → 1 0 0 ±1/2
E
0 n=3
n=2
n=1
l=0 l=1
C Pour l’´etat(n= 1, l= 0, m= 0), la fonction d’onde est donn´ee par
ψ(r, θ, ϕ) = 2
√4π ( 1
a0 )3/2
exp (
−2 a0r
) ,
avec a0= 4πϵ0~2/mee2 est le rayon de Bohr.
Calculez la valeur moyenne de l’´energie potentielle U(r) =− e2
4πϵ0 1 r
La valeur moyenne d’une observable est
⟨A⟩=
∫ ψ∗AψdV
∫ψ∗ψdV .
En effet, une faute de frappe a eu comme effet que la fonctionψn’est pas norm´ee. Il faut alors calculer la norme deψ comme suit :
∫
ψ∗ψdV = 1 4π
4 a304π
∫ ∞
0
r2exp (
−4 a0r
)
= 4
a30 [
e−4r/a0 (−4/a0)3
((
−4 a0
)2
+ 4 a0
r+ 2 )]∞ [ ] 0
Donc, dans notre cas, il faut calculer l’int´egrale
⟨U⟩ = 4 4π
1 a304π
∫ ∞
0
− e2 4πϵ0re−
4 a0r
dr
= − e2 πϵa30
[ e−
4 a0r
(4/a0)2 (
−4 a0
r−1 )]∞
0
= − e2 16πϵ0a0
,
et la diviser par |ψ|2 pour obtenir
⟨U⟩=− e2 2πϵ0a0.
D Si l´energie de l’´electron pour cet ´etat est En=− mee4
32π2ϵ20~2 1
n2 = 2.179×10−18J, calculez la valeur moyenne de l’´energie cin´etique.
Ici, on invoque simplement que l’´energie totale est la somme de l’´energie cin´etique est de l’´energie potentielle (en valeur moyennes). Donc,
⟨T⟩=⟨E⟩ − ⟨U⟩=− mee4
32π2ϵ20~2 + e2
2πϵa0 = mee4 8π2ϵ20~2
(
−1 4 + 1
)
= 3mee4 32π2ϵ20~2
1 n2, On a alors
⟨T⟩=−3E.
Remarque On voit ici le probl`eme avec la faute de frappe dans l’exponentielle deψ: l’´energie cin´etique est en effet trois fois plus grande que l’´energie totale. Ceci est dˆu au fait que la formule pour l’´energie donn´ee est seulement valable pour la forme correcte deψ, dans quel cas (si on fait les mˆeme calculs) l’´energie cin´etique et potentielle ont la mˆeme valeur qui vaut la moiti´e de l’´energie totale. On peut aussi v´erifier que avec ces donn´es, ⟨U⟩ = 4En. De mani`ere correcte, on devrait oubli´e la forme donn´ee pour l’´energie et calculer l’´energie cin´etique directement en utilisant l’op´erateur (−~2/2m)∇2.
