Physique g´en´erale III Prof. Tran, CRPP
Corrig´es de la S´erie 5 du 23 mars 2009
Martin Jucker
martin.jucker@epfl.ch
Interpretation des nombres quantiques (m, l) 1 Mouvement d’une particule sur un cercle
A L’´equation de Schroedinger est
− ~2 2m0
£∇2+V¤
ψ=Eψ,
o`u m0 est la masse de la particule. La derni`ere ´equation devient alors dans notre cas d’une particule libre dans les coordonn´ees cylindriques et dans le plan 0xy
− ~2 2m0
·∂2
∂r2 +1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂ϕ2
¸
ψ=Eψ.
Or, on sait que le mouvement est circulaire de rayon constant r = R. La fonction d’onde est alors non-nulle seulement enr =R et ne d´epend pas de r dans cette r´egion. On trouve alors
− ~2 2m0
1 R2
∂2
∂ϕ2ψ=Eψ.
B L´equation de Schroedinger peut ˆetre ´ecrite comme suit :
∂2
∂ϕ2ψ+2m0R2
~2 E
| {z }
m2
ψ= 0,
dont on sait qu’il s’agit d’une ´equation d’un oscillateur avec la solution de la forme
ψ=Acos(mϕ).
On sait que le mouvement est ciculaire et donc la solution doit ˆetre p´eriodique dans l’angleϕ: ψ(ϕ) =ψ(ψ+ 2nπ), n∈N
1
⇔ cos(mϕ) = cos(mϕ+ 2πnmϕ) = cos(mϕ)cos(2nmπ)−sin(mϕ) sin(2nmπ)
⇔ cos(2nmπ) = 1 et sin(2nmπ) = 0
⇔ m∈N.
On trouve alors de la d´efinition du nombrem E= ~2m2
2m0R2, m∈N,
i.e. la quantification de l’´energie pour un rayon r=R donn´e avec le nombre quantique m.
C De la d´efinition, on a
Jz2 =p2R2. Or, l’´energie de la particule libre est
E= p2 2m0. Combinant ces deux relations, on trouve alors
E= Jz2 2m0R2.
D Si l’on compare les deux ´equations pour l’´energie du point (B) et (C), on trouve que
Jz=±~m,
et donc le nombre quantiquem est associ´e `a la quantification du moment angulaire selon l’axe 0z.
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2 Mouvement d’une particule sur une sph` ere
Soit une particule libre en mouvement sur une sph`ere de rayonR.
A Ici, on a la mˆeme situation que dans le premier exercice, dans le sens que le mouvement est restreint `ar =R=cst. L’´equation de Schroedinger devient alors
− ~2 2m0
£∇2+V¤
ψ=− ~2 2m0
·∂2
∂r2 + 2 r
∂
∂r + 1 r2Λ2
¸
ψ=− ~2 2m0
1
R2Λ2ψ=Eψ.
B Ici, la solution est alors donn´ee :
E = ~2
2m0r2l(l+ 1).
On voit ais´ement la similarit´e avec le r´esultat (1B), en particulier la quantification de l’´energie, mais cette fois-ci avec le nombre quantiquel et la d´ependence l(l+ 1). La diff´erence vient du fait d’avoir affaire `a deux angles au lieu d’un seul et donc une dimension de plus.
C + D Similaire au cas (1C), on trouve que
J2 =~2l(l+ 1),
et donc le nombre quantique l est associ´e `a la quantification du moment angulaire total J. On remarque alors que la conditionm∈[−l, l] vient du fait que la composante selon 0z du moment angulaire ne peut pas ˆetre plus grande que le moment angulaire total.
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