Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
S´erie 2
Martin Jucker
2 mars 2009
1 Barri` ere de potentiel
On consi`ere la barri`ere de potentiel suivante
V0
x V
V(x) =
{ 0 , x <0 V0 , x≥0
Une particule de masse met de vitesse v0 se propage vers la barri`ere. On remarque que 1
2mv20 < V0. A R´esoudre le probl`eme dans le cas classique.
B R´esoudre dans le cas quantique. La densit´e de probabilit´e ΨΨ∗ est-elle nulle pour x >0 ?
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2 Oscillateur harmonique
Soit le potentielV = 12kx2.
A R´esoudre le cas classique d’une particule de massem dans un tel potentiel.
Indication : Trouver la force sur la particule.
B Cas quantique.
L’´equation de Schroedinger s’´ecrit (
−~2 2m
d2 dx2 +k
2x2 )
Ψ =EΨ.
Nous voulons que Ψ soit born´e `a x→ ±∞et prenons l’ansatz suivant : Ψ(x) =N H(y)e−y
2 2 , avec
y= x
a, a= (~2
mk )1/4
, N = Constante de normalisation.
(a) V´erifier que aa bien la dimension d’une longueur.
(b) V´erifier que les fonction suivantes vous permettent de satisfaire l’´equation de Schroedinger – H =H0(y) = 1
– H =H1(y) = 2y – H =H2(y) = 4y2−2 – H =H3(y) = 8y3−12y
Calculer l’´energie correspondante `a chacune des fonctionsHn, n= 0...3. Exprimer cette ´energie en fonction de l’indicende la fonction H et de ω=√
k/m. Que remarquez-vous ?
Remarque Les fonctionsHn sont connus sous le nom de polynˆomes de Hermite.
C Avec les r´esultats quantiques que vous avez obtenus, quelle est la diff´erence entre le cas classique et le cas quantique ?
Esquisser ΨΨ∗ en fonction de x pourn= 0 etn= 1.
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3 Fonction d’onde
La fonction d’one Ψ d’un ´electron de l’atome d’hydrog`ene dans son ´etat de base est Ψ(r) =
( 1 πa30
)1/2
exp {
−r a0
} .
Ici, r est la coordonn´ee radiale en coordonn´ees sph´eriques,a0 est le rayon de l’atome de Bohr a0= 4πϵm0h2
ee2 = 5.3×10−11m.
A La fonction Ψ(r) est-elle normalis´ee ? Astuce : On donne ∫
x2eaxdx= eax
a3 (a2x2−2ax+ 2).
B Quelle est la probabilit´e de trouver l’´electron dans la sph`ere de rayon a0?
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