Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
Corrig´es de la s´erie 3 du 9 mars 2008
Martin Jucker
1 Atome de Bohr
A En coordonn´ees polaires, la position s’´ecrit
x=rˆer (1)
pour trouver l’acc´el´eration, il faut alors d´eriver deux fois par rapport au temps
˙
x = rˆ˙er+re˙ˆr= ˙rˆer+rθˆ˙eθ =vrˆer+vθˆeθ
¨
x = rˆ¨er+ ˙rθˆ˙eθ+ ˙rθˆ˙eθ+rθˆ¨eθ−rθ˙2eˆr
= (
¨ r−rθ˙2
) ˆ er+
(
rθ¨+ 2 ˙rθ˙ )
ˆ eθ
Pour un mouvement cirulaire, le rayon reste constant, i.e. ˙r = ¨r = 0, et donc l’acc´el´eration s’´ecrit
¨ x=
(
¨ r−rθ˙2
) ˆ er Aussi, dans la premi`ere ligne on voit que la vitesse s’´ecrit
v=vθ =rθ.˙
Avec la force de Coulomb on peut donc ´ecrire la loi de Newton comme suit m
(
¨ r−rθ˙2
)
ˆer=− 1 4πϵ0
e2
r2ˆer. (2)
De (2) on voit ais´ement que l’acc´el´eration selon ˆeθ est nulle, i.e. ¨θ= 0. Selon ˆer on a mrθ˙2 = 1
4πϵ0 e2 r2 mv2
r = 1
4πϵ0
e2 r2, et finalement
v2= 1 4πϵ0
e2
mr. (3)
1
B : Rayon de Bohr Si l’on prend le carr´e de la condition de quantification de Bohr, on trouve facilement
m2v2r2 = n2~2 mre2
4πϵ0 = n2~2
⇔rn = 4πϵ0n2~2 me2 Num´eriquement, ceci nous donne :
r1 ≡a0= 5.3×10−11m.
C : Energie de l’´electron Le poteniel ´electrique cr´e´e par le proton est V(r) = 1
4πϵ0
e r. L’´energie s’´ecrit donc
En = T+U = 1
2mv2(rn)− 1 4πϵ0
e2 rn
= 1
4πϵ0 e2 rn
(1 2 −1
)
=− e2 8πϵ0
1 rn. Or,
1 rn = 1
4πϵ0 me2 n2~2, et donc
En=−2π2e4m h2
( 1 4πϵ0
)2
1
n2. (4)
D : Explication de Bohr du spectre de ligne Le facteur est K = 2π2e4m
h2
( 1 4πϵ0
)2
= 2.2×10−18J = 13.6eV.
La diff´erence d’´energie entre deux niveaux m, n est
∆E =Em−En= − K [ 1
m2 − 1 n2
]
= K
[ 1 n2 − 1
m2 ]
(5) Finalement, la longueur d’onde du photon cr´e´e est
∆E=hν =hc λ, et on trouve alors de (5)
1 λ =R
( 1 n2 − 1
m2 )
, (6)
2
formule connue sous le nom deforumle de Rydberg, avec laconstante de Rydberg R= e4m
8ϵ20h3c.
On remarque que pour n→ ∞, En → 0, ce qui correspond `a une distance infinie du noyeau.
La valeur de 13,6eV correspond en fait `a la valeur absolue de l’´energie pour n = 1, l´etat fondamental, i.e. l’´etat avec la plus basse ´energie.
Les niveaux d’´energie sont dessin´es dans la figure suivante :
1 2 3 4
n
Avec la formule (6), on peut alors calculer les longueurs d’onde correspondant aux transitions demand´ees :
– Transition den= 2 `an= 1 :λ= 121nm, on est donc dans la partie ultraviolette du spectre.
– Transition den= 3 `a n= 2 : λ= 652nm, on est donc juste dans le rouge.
– Transition den= 4 `a n= 3 : λ= 1864nm, on est donc dans la partie infrarouge du spectre.
E : Critique du mod`ele de Bohr Au cours des calculs, on a fait plusieures approximations, qui font que le r´esultat final n’est pas toujours exacte :
– En r´ealit´e, les orbites ne sont pas des cercles dans un plan 2D. En effet, dans des mod`eles quantiques plus avanc´es, on trouve des “nuages” de densit´e de probabilit´e de pr´esence de l’´electron en trois dimensions.
– Tous ceci et fait pour l’atome d’hydrog`ene. D`es qu’il s’agit d’un atome plus lourd, avec plus de protons et ´electrons, le mod`ele n’est plus ad´equat.
– Ce mod`ele ne donne aucune information sur l’intensit´e des lignes dans le spectre. Par contre, dans les exp´eriences on voit des diff´erences d’intensit´e d’une ligne `a une autre.
3
– Peut-ˆetre le point le plus important : Admettons que l’´electron tourne autour du noyeau.
Ceci veut dire que l’´electron est attir´e vers le centre et subit alors une acc´el´eration vers le centre pour changer de direction contˆument. Mais on sait qu’une particule charg´ee acc´el´er´ee
´
emet un rayonnement, appel´eBremsstrahlung.
La puissance rayonn´ee par un tel ´electron vaut P = µ0e2a2γ6
6πc , (7)
o`u a = v2/r est l’acc´el´eration et γ = 1/√
1−v2/c2 ≈ 1 la correction relativiste. On peut alors calculer le temps qui correspond `a l’instant o`u l’´energie rayonn´ee est ´egale `a l’´energie de l’´electron dans l’´etat fondamentalE1. On trouve
E1
P(r1) = 3h2
mce2 = 1.9×10−7s.
On voit que l’´electron perd en fait son ´energie tr`es vite et par consequent il tombe sur le noyau et il n’existe plus d’atome.
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