Physique g´en´erale III Prof. Tran, CRPP
Corrig´es de la s´erie 4 du 16 mars 2009
Martin Jucker
16 mars 2009
1 Atome de Bohr (suite)
de Broglie nous dit quemv =p=~k. On trouve alors facilement mrv =pr=~kr = 2π
λ ~r=n~, d’o`u la relation cherche´ee
2πr =nλ.
2 Orthogonalit´ e des fonctions d’onde
Le produit scalaire est d´efini comme l’int´egrale sur l’espace
⟨a, b⟩=
∫
d3ra∗(r)a(r), et il faut donc v´erifier que
∫ 2π
0
∫ π
0
Ylm∗ Yl′m′sinθdθdϕ=δmm′δll′.
On note que dans ce cas, les harmoniques sont orthonorm´ees. Or, on voit ais´ement que le produit Ylm∗ Yl′m′ pour m ̸=m′, l’int´egrale sur la phaseniϕ va toujours s’annuler. Par contre, cette phase va toujours disparaˆıtre si m = m′ et les cosθ et sinθ ainsi que les facteurs sont choisis pour bien obtenir
∫ 2π
0
∫ π
0
|Ylm|2sinθdθdϕ= 2π
∫ π
0
|Ylm|2sinθdθ= 1.
1
3 ”Taille” de l’atome d’hydrog` ene
Il y a diff´erentes mani`eres pour d´efinir une “taille” de l’atome. P.ex. on peut trouver le rayon auquel la probabilit´e de trouver l’´electron dans la sph`ere int´erieure au rayon vaut une valeur donn´ee (p.ex. 90%). Tandis que ceci est tout `a fait justifiable, c’est compliqu´ee car on est oblig´e de resoudre l’int´egrale trois-dimensionnelle. En plus, cette longueur sera, comme la longueur trouv´ee de la deuxi`eme mani`ere, aussi un multiple du rayon de Bohr a0.
La deuxi`eme possibilit´e est alors la suivante : Le facteur d´eterminant est dans tous les cas (toute valeur den) l’exponentielle d´ecroissante enρ. Or, la valeur deρ est en 1/nest donc la “taille”
de l’atome augmente avecn. En effet, on peut voir r/ρ [m] comme “rayon caract´eristique” de l’atome, dans le mˆeme esprit que l’on d´efinit le temps de vie des ´el´ements radioactifs avec τ dans le facteur exp (−t/τ) : Vu que dans l’exponentielle on a −ρ/2, la probabilit´e de trouver l’electron sera en exp (−ρ), et donc apr`es chaque distancer/ρ, la probabilit´e a diminu´ee d’un facteur e. Une fa¸con intuitive serait donc de se servir du fait que pour toute valeur de n, la densit´e de probabilit´eψψ∗ va diminuer d’un facteure1 chaque fois theρaugmente d’une unit´e.
Donc, chaque fois que r augmente d’une longueur na0/2, la densit´e de probabilit´e diminue d’un facteur e1. Pour conclure, la “taille” (=rayon caract´eristique) de l’atome d’hydrog`ene pour (n= 1, l= 0) vautr/ρ=a0/2, celle pour (n= 2, l= 0)r/ρ=a0.
4 Fonction d’onde de l’atome d’hydrog` ene
Vu que dans les deux cas, les d´ependences angulaires s’annulent (m =l= 0), les int´egrales se r´eduisent `a des int´egrales sur le rayon seulement. En effet, on a d´ej`a calcul´e la probabilit´e du ψ1,0,0 dans la s´erie 2 avec un r´esultat
P((n, l, m) = (1,0,0), r≤a0)≈32%.
Le calcul pour l’´etat (n, l, m) = (2,0,0) est
P((n, l, m) = (2,0,0), r≤a0) =
∫ 2π
0
∫ π
0
sinθdθdϕ
∫ a0
0
r2|ψ200|2dr= 4π 4π
∫ a0
0
r2R220dr
= 1
8
∫ 1
0
(2−ρ)2e−ρdρ= 1 8
∫ 1
0
(4−4ρ+ρ2)e−ρdρ
= +1 2
[−e−ρ(
ρ2+ 2ρ+ 2)]1 0
−1 2
[e−ρ(
ρ3+ 3ρ2+ 6ρ+ 6)]1 0
+1 8
[−e−ρ(
ρ4+ 4ρ3+ 12ρ2+ 24ρ+ 24)]1 0
≈ 8%−6% + 4% = 6%
On voit alors que la probabilit´e est beaucoup plus petite pour la deuxi`eme couche que pour la premi`ere. Donc, on a une probabilit´e beaucoup plus grande de trouver l’´electron plus loins de r = a0 dans la deuxi`eme couche que dans la premi`ere, et on dit donc que la taille de la premi`ere couche est plus petite que celle de la deuxi`eme.
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