Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP
S´erie 3
Martin Jucker
9 mars 2009
1 Atome de Bohr
Le mod`ele de l’atome de Bohr est un m´elange de physique classique avec une quantification.
A Consid´erons l’atome d’hydrog`ene comme ayant un noyau form´e d’un proton et d’un ´electron (classique) tournant autour du proton. On suppose que l’orbite de l’´electron est circulaire. A partir de l’´equation de Newton pour un mouvement circulaire et de la force de Coulomb, trouvez la relation entre le rayonr de l’orbite de l’´electron et sa vitesse v=v(r).
B Bohr savait que le spectre d’´emission de l’hydrog`ene est form´e de lignes discr`etes. Il impose alors la r`egle de quantification suivante :
Le moment angulaire L de l’´electron vaut n~,n= 1,2,3.
En m´ecanique classique, le moment angulaire vaut L=mvr,
o`uv est la vitesse de l’´electron etr son rayon. La condition de quantification de Bohrest donc
mvr=n~.
A partir des r´esultats de la question A, montrez que la valeur des rayons rn des orbites de l’´electron selon la condition de quantification de Bohr est
rn= 4πϵ0n2~2 me2.
Calculez num´eriquement la valeur der1, appel´e lerayon de Bohr.
Indication : ~ = 1.054 ×10−34Js, m = 9 × 10−31kg, e = 1.6 ×10−19C, ϵ0 = 8.8 × 10−12J−1C2m−1.
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C : Energie de l’´electron Selon Bohr, les seules orbites possibles de l’´electron sont des cercles de rayon rn. L’´energie totale de l’´electron sur une orbite de rayon rn est la somme de l’´energie cin´etiqueT et de l’´energie potentielle U
En=T+U = 1
2mv2(rn)−eV(rn),
o`u V est le poteniel ´electrique cr´e´e par le proton. Calculez En. Montrez que la d´ependance de En en nest de la forme
En=−2π2e4m h2
( 1 4πϵ0
)2
1 n2.
D : Explication de Bohr du spectre de ligne Calculez le coefficient devant 1/n2 dans l’expression pr´ec´edente et exprimez-le en eV (Rappel : 1eV=1.6x10−19J).
On appelle niveau d’´energie fondamental le niveau d’´energie plus bas E1 et les ´energies E2, E3, ...avec
E1< E2< E3< ...
sont lesniveaux excit´es. Bohr interpr´etait les lignes d’´emission comme le passage d’un ´etat excit´e En `a un autre ´etatEm. La nomenclature spectroscopique est :
– Passage d’un ´etat En(n >1) `aE1 :S´erie de Lyman – Passage d’un ´etat En(n >2) `aE2 :S´erie de Balmer – Passage d’un ´etatEn(n >3) `aE3 :S´erie de Paschen
Donnez la formule qui donne la longueur d’ondeλ lors d’une transition d’un ´etat n `a un ´etat m avec n > m(Attention : les ´energies sont n´egatives).
Que vaut En pour n→ ∞? Le coefficient devant 1/n2 que vous avez calcul´e plus haut vaut 13.6eV. Avez-vous une interpr´etation pour cette valeur ?
Dessinez les niveaux d’´energie En (en eV) pour n= 1,2,3,4 Dans quelle r´egion du spectre se trouve :
– la ligne de la s´erie de Lyman correspondant `a la transition den= 2 `a n= 1 ? – la ligne de la s´erie de Balmer correspondant `a la transition de n= 3 `a n= 2 ? – la ligne de la s´erie de Paschen correspondant `a la transition de n= 4 `a n= 3 ?
Pour r´epondre `a cette question, calculez la longueur d’onde correspondante `a la ligne spectrale.
Le spectre visible s’´etend de 650nm (rouge) `a 400nm (violet).
E : Critique du mod`ele de Bohr Avec ce que vous savez, critiquez le mod`ele de Bohr.
Malheureusement, vous allez manquer une critique tr`es importante et je vous r´eferre au corrig´e.
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