Physique g´en´erale IV Prof. Tran, CRPP Corrig´es de la s´erie 1
Martin Jucker
29 f´evrier 2009
1 Quelques calculs simples
A De la relation de dispersion d’une onde ´electromagn´etiqueω=cket des d´efinitionsω= 2πν etk= 2π/λon obtient directement
ν= c
λ= 3×108m/s
500×10−9m = 6×1014s−1 = 600T Hz.
L’´energie d’un photon est
E =hν= 6.6×10−34J s·6×1014s−1= 4×10−19J.
La puissance nous donne la quantit´e d’´energie par seconde [J/s]. Si maintenant on divise ce nombre par l’´energie d’un photon, on trouve le nombre de photons ´emis par seconde :
N
s = 100J s
1
4×10−19J = 2.5×1020photons/s.
Remarque : On peut introduire une nouvelle unit´e d’´energie dite l’electronvolt eV. 1eV equivaut l’´energie gagn´ee par un ´electron qui parcourt une diff´erence de potentiel de 1V et vaut donc 1eV = 1.6022×10−19C·1V = 1.6022×10−19J. L’´energie de notre photon est alors ca. 2.5eV.
B L’´energie de l’´electron dans un potentiel de 10kV correspond alors `aE= 10keV = 1.6022× 10−15J. L’impulsion est alors mv=√
2mE = 5.4×10−23. Donc, sa longueur d’onde est λ= h
mv = 6.6×10−34J s
5.4×10−23kgms−1 = 1.2×10−11m.
Comme on l’a d´ej`a fait implicitement, on peut ´ecrire l’impulsion mv en fonction de l’´energie E. On remarque que l’on consid`ere des particules libres dans cette approche, i.e. sans ´energie potentielle. Comme E=p2/2m, on trouve facilement
λ= h
p = h
√2mE.
1
La longueur d’onde associ´ee `a un homme de 70kg et se promenant `a pied `a 5km/h est finalement λ= h
mv = 6.6×10−34J s
70kg·1.4m/s = 6.8×10−36m.
Donc, la nature ondulatoire ne joue aucun rˆole dans la vie courante de notre bonhomme. Il est aussi int´eressant `a noter que cette longueur d’onde est plus petite que la longueur dite de Planck (1.6×10−34m), longueur `a laquelle notre physique n’a plus de validit´e et personne ne sait ce qui se passe sur une si petite ´echelle spatiale.
2 Effet Compton
L’´equation pour la conservation de l’impulsion peut ˆetre ´ecrite directement sous forme vecto- rielle :
~k=~k′+p, (1)
o`u pest l’impulsion de l’´electron apr`es la collision (celle d’avant la collision ´etant nulle). Pour noter la conservation de l’´energie on utilise la forme relativiste de l’´energie d’une particule
E =√
p2c2+m2c4.
On remarque que pour une particule au repos p = 0 et on obtient la fameuse expression E =mc2. Aussi, pour un photon m= 0 etp=~k=hν/cet on a E=hν. La conservation de l’´energie nous donne alors
hν+mc2 =hν′+√
p2c2+m2c4, (2) o`u m est la masse de l’´electron. Dans les deux ´equations on voit que l’impulsion de l’´electron papparaˆıt. Mais ici on ne s’int´eresse qu’au longueurs d’onde du photon avant et apr`es le choc.
Donc, le plus facile `a faire c’est d’´eliminer pdans les deux ´equations : De (1) on trouve :
p=~(k−k′)⇐⇒p2 =~2(k2+k′2−2kk′cosϕ) (3) Le membre de droite est le r´esultat du produit scalaire (k−k′)·(k−k′) =k2+k′2−2k·k′ et le fait quek·k′ =kk′cosϕpar d´efinition du produit scalaire.
De (2) on a :
p2= h2
c2(ν−ν′)2+ 2mh(ν−ν′) (4)
On peut alors ´egaliser les deux membres de doite des ´equations (3) et (4) pour trouver h2
c2(ν2+ν′2−2νν′cosϕ) = h2
c2(ν2+ν′2−2νν′) + 2mh(ν−ν′) h
c2νν′(1−cosϕ) = m(ν−ν′) ;ν = c λ 1
λλ′(1−cosϕ) = mc h
(1 λ− 1
λ′ )
λ′−λ = h
mc(1−cosϕ)
On consid`ere alors connue la longueur d’onde initiale λ. On remarque que l’on pourrait aussi utiliser l’´energie cin´etique mv2/2 directement et projeter les impulsions pour obtenir trois
´
equations pour les trois inconnuesλ′, θ, v.
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3 Effet photo´ electrique
Supposant que le photon donne toute son ´energie `a l’´electron revient `a dire que apr`es le choc, il n’existe plus de photon du tout. Le bilan ´energ´etique devient alors
hν=Ec= (m−m0)c2 =m0(γ−1)c2, et celui de l’impulsion s’´ecrit
~k=γmov.
On se rappelle alors quek= 2π/λ etν=c/λpour obtenir h
λ = m0(γ−1)c h
λ = γmov.
Il faudrait alors que γv
c =γ−1⇔γ ≡ 1
√1−v2/c2 = 1
1−v/c ⇔v= 0⇔hν= 0.
La seule solution est alors que la collision n’a pas lieu car il n’existe pas de photon incident !
4 Pourquoi des microscopes ´ electroniques ?
A La relation de de Broglie s’´ecrit λ= h
mv = h
m0v/√
1−v2/c2.
Il faut alors trouver la vitesse ´etant donn´ee l’´energie. Mais il faut faire attention `a ce que l’on consid`ere bien la correction relativiste aussi dans ce calcul :
E = 1
2mv2= m0v2 2√
1−v2/c2.
De cette ´equation on trouve une ´equation du deuxi`eme ordre pourv2 : v4+ 4E2
c2m20v2− 4E2
m20 =ax2+bx+c= 0, d’o`u on trouve
v2 = 3.5×1016m/s=⇒v= 1.9×108m/s=⇒γ = 1
√1−v2/c2 = 1.3.
Finalement, on trouve
λ= h
m0γv = 3×10−12m .
B La longueur d’onde du faisceau de lumi`ere visible est λvisible = 5×10−7m. Donc, en utilisant un ´electron relativiste au lieu de la lumi`ere visible on a une r´esolution qui est 5 ordres de grandeur plus precise ! (Ceci car l’extension spatiale des effets de diffraction ont le mˆeme ordre de grandeur que la longueur d’onde,d∼λ).
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