spin: moment angulaire intinsèqueo

Spin



spin: moment angulaire intinsèque

o

Dirac: équation de Dirac en mécanique quantique, tenant compte de la relativité

 fermions: spin = ½ ħ existence des antiparticules

o

Klein-Gordon: équation tenant compte aussi de la relativité

 bosons: spin = n ħ , n = 0, 1, 2…

spin S: classiquement, c’est dû à la rotation d’un corps

( comme le moment angulaire de rotation de la terre autour de son axe) moment angulaire orbital, L:

dû au mouvement de révolution autour d’un cœur

( comme le moment angulaire de la terre autour du soleil) J = moment angulaire total

J = L  S (addition vectorielle, respectant les règles de mécanique quantique) i







2 2

2 2 2

2 2 mc

c t

  

    



 

Groupe de symétrie discret



Définition

Un groupe de symétrie G est un ensemble d’éléments ayant les propriétés suivantes sous une opération donnée

Exemple:

f g G , h f g G

      ( f g h   )  f g h   ( )

tel que

e G f G e ff e f

       

1 tel que 1 1

f G, ff^ ff ^ f e^

      

clôture : associativité : identité :

inverse :

Groupe de symétrie continue (groupe de Lie)

Ce sont des groupes de transformation continue avec des éléments qui sont fonctions d’une variable continue

générateur du groupe

éléments

pour de petites transformations:

algèbre de Lie...



Moment angulaire en mécanique quantique – bref aperçu

m_J = -J, -J+1, … 0, … J-1, J

1 1 2 2

1 1

1 spin up 0

0 spin down

, : ,

,

J mJ  

  

 

     représentation SU(2):

0 1 0 1 0

1 0 ; 0 ; 0 1

x y x

i

    i     

      

générateurs: matrices de Pauli

représentation:

1 2

1 4

( ) _{spin spin}

S S    

1 0 0 1

0 1 1 0

2

;

x i y



 





 



       

 

       

       

 

Rotation d’un spineur

 x,y

x’,y’

' ( '

cos sin

( sin

c )

) os

x x

R y y

R



  

 

   

    

   

 

     

Pour un spineur, les composantes se transforment selon:

     

2

2 3

1 1

2 2 2

2 3

/

/ / / ...

! e i

i i i

    

  

      



  

     

 

     

     

  

               

 

     

1

1 0

0 1

R ( )

      ^   ^  ^     1

Addition de moments angulaires

J = L  S

- composantes m_L et m_S s’additionnent algébriquement pour donner m_J

- valeur maximum de J: J_max = L + S

- valeur minimum de J: J_min = |L-S|

- norme du vecteur:

- probabilités de combiner L et S pour obtenir J (ou décomposer J pour obtenir L et S) sont calculables: coefficients Clebsch-Gordan





J  J J 

Conservation du moment angulaire

34 37 7

2

*( )

S  



J=0 J=0 J= ¹₂ J= ⁷₂

3 ou 4

J 

 

3 ou 4

L_

 

3 1

3 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2

1 2

2 1

1 Exemples

0 3

1

: 1 0

3

1 3

3 ,

,

,

, , ,

, ,

J  M ,

 

   

Moment angulaire du noyau

noyau

nucleons i i

J   j

J = nb entier pour noyaux ayant un nombre pair de nucléons = nb demi-entier impair

 neutron  proton + electron

Valeur de spin du noyau reste généralement bas:

- énergie augmente avec le moment angulaire orbital - force spin-spin  une paire de nucléons est

dans un état de plus basse énergie si leurs spins sont opposés

Parité

Dans la vie de tous les jours, les lois de physique ne changent pas sous une transformation de parité:

En mécanique quantique, l’opérateur de parité commutera avec l’Hamiltonien :

mais

 fonction d’onde a une parité positive ou négative si le système est invariant sous une transformation de parité

ou ( , , ) ( , , )

P P

r    r  x y z     x y z

2 1

ˆ ˆ ( ) ( )

( ) ( )

P P r r

r r

 

 

   

  

 

 

par exemple, si dans l'équation de Schroedinger:

( ) ( )

V r   V r  

L’interaction forte (nucléaire) est invariante sous l’opérateur de parité  conservation de parité

 états nucléaires ont un nombre quantique de parité

Parité

x V x ( )

⇒

potentiel ( 1-dimension) fonction d’onde

en 3 dimensions

2 2

potentiel central, avec symétrie sphérique

2 1 4

:

2

( ) ( ) ( ) ( , )

( )!

( , ) (

( ) (

c

)

( )! os )

m l m l

m m im

l l

V r E r R r Y

m

l l m

Y P e

V r r

l m

V



     

  



     

 











  

 

2 1

1 1

1 1 1 2

( ) ( ) / ( )

( ) ( , ; ; )

m m

m m

l m l

l

P x x d P x

dx P x F l l x

 

  

 

 

     

 

 

 

parité si pair parité si impai

1

r

( , )

( , )

m m

l l

l l

Y     Y  

 

 

   

harmoniques sphériques

0 pour un potentiel indépendant de

m  

Parité intrinsèque des nucléons

Par convention, on assigne une parité positive au nucléon

- parité intrinsèque: une fois définie pour le proton, on n’a pas de liberté pour

les parités intrinsèques des autres particules, puisque la parité est conservée par l’interaction forte

parité: nombre quantique multiplicatif

- il existe des particules qui ont une parité intrinsèque négative: ex le pion 

- ainsi, en physique des particules, chaque particule a une parité intrinsèque bien définie

1

( ) ( ) ( ) ( )

P i j   P i  P j  

Conservation de la parité



État de parité d’un noyau

o dépend des parités intrinsèques (ici toutes +ves) et des moments angulaires des nucléons par rapport au centre de gravité



L’interaction nucléaire conserve la parité:

34 37

7

*

(

2 )

S     n Ar J 



 



P    

J

J

L

J P

0 0 0 0 +

0 0 1 1 −

0 0 2 2 +

0 0 3 3 −

0 0 4 4 +

J

J

L

J P

½

0 3 −

½

0 4 −

½

1 3 +

½

1 4 +

½

1 5 +

non-conservation de la parité



L’interaction faible ne conserve pas la parité

o

voir plus tard, désintégration 

o

exemple:



distribution angulaire de l’électron pas symétrique par rapport à une inversion de parité

n   p 

 

60 60

27

Co 

Ni  

 

Isospin



Isospin

o masse du proton ~ masse du neutron (modèle de quarks)

 suggère que le p et le n sont la même particule en tous points sauf pour un nombre quantique, appelé isospin (symbole T).

isospin: par analogie au spin ±½

o formellement, dans les calculs, on considère p et n comme deux états différents de la même particule (charge électrique cause une perturbation)

o dans l’espace d’isospin, une rotation de 180 degrés transforme un neutron en proton.

1 1 1 1

2 2 2 2

T m ,

: p  , ; n  ,  base 2

1 0

0 1

( ) :

; SU

p   n  

     

   

1 1

3 2 2

1 1

3 2 2

;

;

T n n T n n p

T p p T p p n





 

 

   

   





Isospin

o L’isospin est un nombre quantique conservé par l’interaction forte pour les nucléons:

3 1

Q T  

3 Y2

Q T 

2 2 2 2

p n 1

N   

    

  

   

   

→ indépendance de charge de l’interaction forte

2

rotation dans l'espace d'isospin dans le plan x-y:

cos sin

sin cos

N N   N e i^ N

 

  

      

(plus généralement autour d’un axe quelconque)

Noyaux miroir

Indépendance de charge

pareil pour ¹³C-¹³N, ¹⁵N-¹⁵O, ¹⁷O-¹⁷F, ….

Quelques autres nombres quantiques



charge électrique

o

quantité conservée de façon absolue: (symétrie U(1) de l’é.m.) dans les désintégrations et les réactions



nombre leptonique

o

leptons: électrons, neutrinos (voir interaction faible, plus tard)



muon, tau et neutrinos associés pas importants en physique nucléaire



(nb de leptons – nb d’anti-leptons) est conservé



nombre hadronique

o

hadron: nucléon



en fait, c’est le (nombre de quarks – nombre d’antiquarks) qui est conservé

 

14 14

6 8 7 7

e

e

n p e

C N e









  

  

Quelques autres nombres quantiques



saveur (non conservée par l’interaction faible)

o

quarks



étrangeté



charme



beauté

o

leptons (interaction faible seulement)



electron



muon



tau



couleur

o

chromodynamique quantique



isospin faible

o

SU(2) de l’interaction électrofaible