Pr´ecision d’un spectre

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Pr´ ecision d’un spectre

JR Seigne MP*, Clemenceau Nantes

September 9, 2021

Lorsqu’on fait effectuer ` a un ordinateur ou ` a un oscilloscope

num´erique, une analyse de Fourier pour visualiser le spectre

d’un signal, le spectre obtenu est d’autant plus pr´ecis que la

dur´ee de prise en compte du signal pour le calcul de la FFT est

longue. Cela est illustr´e par les images des enregistrements qui

suivent.

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Plus un signal est bref, plus l’intervalle des fr´equences significatives de celui-ci est petit et r´eciproquement.

Dur´ ee du signal ∆ t Largeur spectrale ∆ f

∆ t × ∆ f ≃ 1

Le spectre obtenu est d’autant plus pr´ecis que la dur´ee de prise

en compte du signal pour le calcul de la FFT est longue.

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee courte

Signal de fr´equence 400 Hz sur 2 p´eriodes.

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee courte

Signal de fr´equence 400 Hz sur 2 p´eriodes.

400 Hz 1 200 Hz

2 000 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee moyenne

Signal de fr´equence 400 Hz sur 20 p´eriodes.

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee moyenne

Signal de fr´equence 400 Hz sur 20 p´eriodes.

400 Hz 1 200 Hz

2 000 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal de fr´equence 400 Hz sur 200 p´eriodes.

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal de fr´equence 400 Hz sur 200 p´eriodes.

400 Hz 1 200 Hz

2 000 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee courte

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence 200 Hz sur 4 p´eriodes avec

F _e = 1 000 Hz .

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une dur´ ee courte

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence 200 Hz sur 4 p´eriodes avec F _e = 1 000 Hz .

200 Hz 1 200 Hz

800 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence 200 Hz avec F _e = 1 000 Hz .

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence 200 Hz avec F _e = 1 000 Hz .

200 Hz 1 200 Hz

800 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence f ₀ = 200 Hz avec

F _e = 300 Hz < 2 f ₀ .

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

Calcul sur une longue dur´ ee

Signal sinuso¨ıdal de fr´equence f ₀ = 200 Hz avec F _e = 300 Hz < 2 f ₀ .

100 Hz 400 Hz

200 Hz

500 Hz

spectre JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

FFT d’un cr´eneau FFT d’un signal

´echantillonn´e FFT d’un signal sous-

´echantillonn´e Conclusion

La pr´ ecision du spectre est en 1

∆ t o` u ∆ t est la dur´ ee totale prise pour le calcul

de la FFT.

Attention : le spectre peut ˆetre tr`es pr´ecis mˆeme si l’on ne respecte pas le crit`ere de Shannon F _e ≥ 2 f ₀ . On voit alors le ph´enom`ene de repliement du spectre.

Dans une FFT, seules les fr´ equences f ≤

F _e

ont du sens. 2