CORRECTION DE L EXERCICE 83 A FAIRE POUR LE MERCREDI 6 MAI ET DES EXERCICES 85 ET 86 A FAIRE PENDANT LE COURS DU MERCREDI 6

CORRECTION DE L EXERCICE 83 A FAIRE POUR LE MERCREDI 6 MAI ET DES EXERCICES 85 ET 86 A FAIRE PENDANT LE COURS DU MERCREDI 6

MAI

83 page 255.

z₁ 2i eⁱ³ La forme exponentielle de 2i est 2e ⁱ² Donc z1 2e ⁱ² eⁱ³ 2eⁱ

(

)

z2 (1 i)eⁱ⁶ 2 e ⁱ⁴ e

i

6 2eⁱ

(

)

z3 2eⁱ⁵ 2eⁱ eⁱ⁵ 2eⁱ

(

)

z4

3 eⁱ⁷

3e ⁱ⁷ z5

2 3eⁱ⁵

2eⁱ 3eⁱ⁵

2

3eⁱ

(

)

3eⁱ

4 5

z6

3i eⁱ

2 5

3eⁱ² eⁱ

2 5

3eⁱ

(

)

85 page 255.

1. z1

z₂

1 i 1 2

i 3 2

( 1 i)



 1

2 i 3

2



 1

2 i 3

2 

 1

2 i 3

2

1 2

1

2i ^{i 3} 2

3 2 1

4 3 4

1 3

2

i

(

)

2 La forme algébrique de z1

z2

est 1 3 2

3 1 2 i.

Si on essaie d appliquer la méthode du cours pour calculer un argument de z1

z2

, on arrive à un cos et un sin qui ne nous permettent pas de trouver l angle à l aide du tableau. Il faut donc procéder autrement : on écrit z1 et z2 sous forme exponentielle avant de calculer z1

z₂. z1 1 i a pour forme exponentielle 2 e

3 4i

(on le justifie graphiquement comme dans le cours)

z2

1

2 i 3

2 cos



 3 isin





3 e

i 3

Alors z₁ z2

2e

3 4 i

e

i 3

2 eⁱ

(

)

Une forme exponentielle de z1

z₂ est 2e

13 12i

. 2. On a alors



 z₁ z2

2 et arg



 z₁ z2

13 12 On veut en déduire cos



 11

12 et sin



 11

12 . On remarque que 11 12

13 12

24 12

13 12 2 Un autre argument de z1

z₂ est donc 11 12 On pouvait trouver directement 11

12 en prenant comme argument de 1 i l angle 5

4 à la place de 3

4 (on tourne dans l autre sens).

On utilise alors les formules cos( ) a

| |

b

| |

Une autre forme exponentielle de z1

z2

est donc 2e

11 12 i

. La forme algébrique de z1

z₂ est 1 3 2

3 1

2 i et on a



 z1

z2

2 et arg



 z1

z2

11 12 Alors cos

 11

12

1 3

2 2

1 3

2 2

(

)

2 2 2

2 6

4

2 6

4 et sin



 11

12

3 1 2

2

3 1 2 2

(

)

2 2 2

6 2

4 86 page 255.

1. c 3 2

3 2 i

| |



 3 2

2



 3 2

2 12

4 3

Soit un argument de c.

cos( ) 3 2 3

3 2 3

3 3 2 3 3

3 3 6

3

2 et sin( ) 3 2

3

3 2 3

1

2 Alors

6. La forme exponentielle de c est 3eⁱ⁶

d 3

2 e i

6 3

2 

 cos



6 isin

 6

3 2 



 3

2 1

2 i 3 4

3 4 i.

La forme algébriqu e d e d est 3 4

3 4 i. 2.

a. b. OA a pour affixe a 1 B a pour affixe b eⁱ³ cos



 3 isin



 3

1 2

3 2 i BC a pour affixe c b 3

2 3 2 i



 1

2 3

2 i 1 OA BC donc OAC B est un parallélogramme.

De plus, OA

| |

| |

| |

OA OB donc le parallélogramme OACB a deux côtés consécutifs de même longueur : OACB est un losange.