CORRECTION DES EXERCICES 5 ET 6 DE LA FICHE A FAIRE PENDANT LE COURS DU MERCREDI 27 MAI

CORRECTION DES EXERCICES 5 ET 6 DE LA FICHE A FAIRE PENDANT LE COURS DU MERCREDI 27 MAI

Exercice 5 : Antilles Guyane juin 2017 1.

a. La probabilité qu une pièce soit conforme est P(22,8 X 27,2).

L espérance de X est 25 donc la courbe est symétrique par rapport à la droite d équation x 25.

27,2 25 2,2 et 25 22,8 2,2. On a donc le schéma ci-dessous :

Par symétrie, l aire de la partie rose est égale à l aire de la partie orange, elle-même égale à 2,3% 0,023.

P(22,8 X 27,2) 1 (0,023 0,023) 0,954 (aire de la partie violette).

La probabilité qu une pièce soit conforme est donc 0,954.

b. On sait que P( 2 X 2 ) 0,954 (voir le cours) donc, ici, 2 2,2 et donc 1,1.

Méthode 2 : Soit Z X 25

1

. D après le cours, Z suit la loi N (0 1) . X 22,8  X 25 2,2  X 25

1

2,2

1

 Z 2,2

1

On a donc P

 

  Z ^2,2

1

0,023 avec Z qui suit la loi N (0 1) . A la calculatrice (InvNorm), on obtient 2,2

1

1,995 et donc 1,1.

c. P

( X 24) P((22,8 X 27,2) ( X 24)) P(22,8 X 27,2)

P(22,8 X 24) P(22,8 X 27,2) P

(X 24) 0,1589

0,954 P

(X 24) 0,167

La probabilité qu une pièce conforme ait une épaisseur de nickel inférieure à 24 m est environ 0,167.

2.

a. Dans le premier cas, la probabilité qu une pièce soit conforme est 0,954.

Dans le deuxième cas, la probabilité qu une pièce soit conforme est 0,98.

La probabilité qu une pièce soit conforme est supérieure dans le deuxième cas, ce qui signifie que l aire sous la courbe entre les droites d équations 22,8 et 27,2 est plus grande. La courbe est donc plus "resserée" autour de l espérance. Ainsi, l écart type est plus petit.

Alors

.

b. On suppose que que 98% des pièces sont conformes : p 0,98.

On a testé 500 pièces : n 500.

Parmi elles, 485 sont conformes : f

485

500 0, 97.

La variable aléatoire X

correspondant au nombre de pièces conformes suit la loi B(500 0,98) . On vérifie que les conditions sont réalisées : n 500 30 ; np 490 5 et n (1 p) 10 5 donc les conditions sont réalisées.

On détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% :

I est environ [0,967 0,993].

0,97 appartient à I donc on ne peut pas, au seuil de 95%, rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs.

Exercice 6 :

1. P( X 445) 0,5 P(440 X 445) 0,5 0,253 donc P( X 445) 0,247.

2. Soit N la taille du stock. On veut pouvoir changer toutes les lampes donc il faut qu il n y en ait pas plus de N qui soient non fonctionnelles. Il faut donc qu il y ait au moins 500 N lampes sur les 500 qui soient encore fonctionnelles après un an.

On cherche donc N tel que, P( X 500 N) 0,95.

On cherche donc N tel que P (X 500 N) 0,05

D après la calculatrice, 500 N 427,99 et donc N 72,01.

Il faut donc un stock d au moins 73 lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les

lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à 95%.