(a n ) ∈ ( C ∗ ) N telle que |a n +1 |/|a n | onverge vers

Liene de mathématiques appliquées

Analyse omplexe

TD 2. Séries entières

Exerie 1. (Critère de D'Alembert) Soit

(a ⁿ ) ∈ ( C ^∗ ) ^N

^{telle que}

|a ⁿ +1 |/|a ⁿ |

^{onverge vers}

une limite

l ∈ [0, +∞]

^{.Calulerlerayon de onvergene de}

P

a n z ⁿ

^{en fontionde}

l

^.

Exerie2. Calulerlerayon deonvergene de lasérieentière

P a ⁿ z ⁿ

^,ave

a ⁿ

^{égal à:}

1

n ² , n!, sin(αn)

^{(disuter selon lavaleur de}

α

⁾

, (log(n)) ² , 2 ⁿ n ⁿ

(2n)! , ln(n)

n ³ 3 ⁿ , e ^{√ n} ,

1 + (−1) ⁿ n

ⁿ .

Exerie3. Calulerlerayon deonvergene de sérieentière

P e ⁿ z ⁿ

²

.

Exerie4. Soit

f(x) = P

n ≥ 0 a n x ⁿ

^{unesérieentièrede rayondeonvergene}

1

^,ave

(a n ) ∈ C ^N

.Montrer que si

P a ⁿ

^{onverge alors}

f (x)

^onvergevers

P

a ⁿ

^lorsque

x → 1 ⁻ , x ∈ R

.En déduire les identités :

X ∞ n =1

(−1) ⁿ⁺¹

n = ln(2),

^et

X ∞ n =0

(−1) ⁿ

2n + 1 = arctan(1) = π 4

Exerie5. Soit

P u ⁿ

^et

P

v ⁿ

^deuxséries onvergentes àvaleursomplexes, etsoit

w ⁿ =

n

X

k=0

u ^k v ⁿ ₋ ^k .

Montrer quesi

P w n

^{estonvergentealors sasommeest égaleà}

X

n

u n

X

k

v k

^.

Exerie6. Soit

f (z) = P

n a ⁿ z ⁿ

^{unesérieentièrederayondeonvergene}

+∞

^,ave

(a ⁿ ) ∈ C ^N

.Montrer quesi lasérieonvergeuniformément alors

f

^{est unpolynme.}

Exerie 7. Soit

P

^{un polynme à÷ientsomplexes.}

1.Montrer qu'ilexiste une onstante

C 0 > 0

^etunentier

d

^{tels quepour tout}

z ∈ C

on ait

|P (z)| ≤ C 0 (1 + |z| ^d ).

2.Endéduire quelerayon de onvergene dela sérieentière

P P(n)z ⁿ

^{est plusgrand que}

1

^.

3. Montrer que si

P

^{n'est pas} identiquement nul le rayon de onvergene de

P P (n)z ⁿ

^est

exatement égal à

1

^.

Exerie 8. Déterminer le rayon de onvergene

R

^{de la série entière}

P

a n z ⁿ

^{ainsi que sa}

somme surl'intervalle

] − R, +R[

^{de l'axeréel, ave}

a ⁿ

^{égalà :}

4 ⁿ + 5 ⁿ

2 ⁿ , cos(2n), sin(n)

n! , 2 ⁿ (n + 1)! ·

Exerie9. Soit

(a, b) ∈ C ²

montrer que

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b), sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b).

Exerie10. Résoudre dans

C

leséquations

cos(z) = 0

^et

sh(z) = 0

^.