Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2013–2014
FEUILLE D’EXERCICES no2
Anneaux, idéaux, anneaux quotients
Important : dans tout ce qui suit, les anneaux considérés sont commutatifs uni- taires et lorsqu’on parle de morphismes d’anneaux ils sont implicitement unitaires.
Exercice 1 – Soit f un morphisme de l’anneau (R,+,×) dans lui-même.
1) Montrer que pour toutx de Qon a f(x) =x.
2)Montrer que pour tout x>0on af(x)>0et en déduire que f est croissante.
3) Déterminerf.
Exercice 2 – Soit A un anneau et N(A) l’ensemble de ses éléments nilpotents.
1) Montrer que N(A) est un idéal de A.
2) Soit I in idéal de A. On pose
√ I =n
x∈A; ∃n∈N\ {0}, xn ∈Io . Montrer que √
I est un idéal de A contenant I et N(A).
3) Soient I et J deux idéaux de A. Montrer : (i) √
A=A etp
{0}=N(A); (ii) I ⊆J ⇒√
I ⊆√ J; (iii) p√
I =√ I; (iv) √
I∩J =√ I∩√
J; (v) √
I+√ J ⊆√
I+J =p√
I+√ J.
Remarque : avant de traiter (iv) et (v) on pourra s’intéresser à la question 1) et au début de la question 5) de l’Exercice 3.
4) Soit un entier n >0. Déterminer √
nZ (dans l’anneau (Z,+,×)).
Exercice 3 – Soient A un anneau et I etJ deux idéaux de A.
1) On note I+J l’ensemble des i+j, (i, j)∈I×J. I+J ={i+j; (i, j)∈I×J}.
Montrer que I+J est le plus petit idéal de A contenant I∪J.
2) Montrer que
I∪J est un idéal de A⇔I ⊆J ou J ⊆I ⇔I∪J =I+J.
3) On note IJ l’ensemble des sommes finies de produits ij, (i, j) ∈ I×J (avec la convention usuelle qu’une somme vide est nulle).
IJ = nXn
k=1
ikjk; n ∈N, (ik, jk)∈I×J o
.
Montrer que IJ est le plus petit idéal de A contenant tous les ij, (i, j)∈I×J.
4) Soient I, J, K des idéaux deA. Montrer que (I+J)K =IK+J K.
5) Montrer que I∩J est un idéal et que IJ ⊆I ∩J.
6) Montrer que si I+J =A alors IJ =I∩J.
7) Supposons encore que I +J = A. Soient pI et pJ les surjections canoniques de A sur A/I et A/J. Soit f : A −→ A/I ×A/J l’application qui à x ∈ A associe (pI(x), pJ(x)). Montrer quef est un morphisme d’anneaux qui induit un isomorphisme
A IJ ' A
I × A J.
8)Ce résultat est une généralisation d’un théorème bien connu. Lequel ? Énoncer une généralisation au produit de n idéaux (n>2) et la prouver.
Exercice 4 – Soit A un anneau. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A est un corps ;
(ii) A6={0} et les seuls idéaux deA sont {0}et A;
(iii) A6={0}et tout morphisme d’anneaux de Adans un anneau non nul est injectif.
Exercice 5 – SoientA, B deux anneaux et f un morphisme d’anneaux surjectif de A dans B.
1) Soit I un idéal de A. Montrer que f(I) est un idéal de B.
2) Soit J un idéal de B. Montrer que f−1(J) est un idéal de A (cette propriété étant vraie même sif est non surjectif) et que l’on a un isomorphisme d’anneaux
A
f−1(J) ' B J.
3) Soient I un idéal de A et J un idéal de B. Comparer f−1(f(I)) et I + Kerf ainsi que f(f−1(J)) etJ.
4) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que f−1(f(I)) = I.
5) Montrer qu’il existe une bijection entre l’ensemble des idéaux de A contenant Kerf et l’ensemble des idéaux de B.
6) Application : déterminer les idéaux deZ/nZ(n >2).
